§2.2.1__椭圆及其标准方程(1)

【建构数学】
1. 椭圆定义： |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)
平面内与两个定点 F1, F2 的距离和等于常数（大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
M
注意:
椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内.
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24

y2
16 k
1
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
（3）两个焦点的坐标分别是(4,0), (4,0)
椭圆上一点到两焦点距离和为10. （5）求焦点在坐标轴上，且经过点A( 3,2),
定义 图形 方程
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
焦点 a,b,c之间的关系
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，
中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2 a2 cx a (x c)2 y2
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：MF1 MF2 2a
代入坐标 MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
X
§2.2.1 椭圆及其标准方程
生活中 的椭圆
数学实验
[1]取一条细绳，
[2]把它的两端固定在板上
的两点F1、F2
F1
[3]用铅笔尖（M）把细绳
拉紧，在板上慢慢移动观察
画出的图形
观察做图过程：
[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。
[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点 的距离和也固定。
M F2
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
课堂练习：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
(1) x 2 y 2 1 (4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1
解： AB BC AC 16, BC 6
y A
.
AB AC 10, 且10 BC
根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o 且B、C为焦点
Cx
以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直
角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ：
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
2a 10, 2c 6 a 5, c 3, b2 a2 c2 16
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F2
M
ox
F1
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
3)两类标准方程的对照表
∴所求椭圆的标准方程为： x2 y2 1 ( y 0) 25 16
例2 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，向x轴作垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0, y0 辅
则
x x0 ,
y y0 2
B(2 3,1)两点的椭圆的标准方程. y
P
(5) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）.
F2
x
F1
例2
F 已知经过椭圆 x2 y2 1的右焦点
25 16
2
作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B
两点，F
是椭圆的左焦点。
1
（1）求AF1B的周长；
（2）设M点的坐标； （3）写出点M的限制条件 （4）用坐标表示条件，列出方程 （4）化方程 f (x, y) 0 为最简形式
写出化简后的方程
坐标法
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程
建构数学
1)椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
助
y
点
x0 2 x, y0 y
P法
P( x0 , y0 )在圆x2 y2 4上
x02 y02 4
（2）如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长
有变化吗？为什么？
y A
F1 o F2 x
B
5、回顾小结 一种方法： 求椭圆标准方程的方法
二类方程:
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，
求顶点A的轨迹方程。
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0, 设a2 c2 b2 (b 0), b2 x2 a2 y 2 a2b2
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0).
2)椭圆的标准方程
F1
F2
（2）两个定点---两点间距离确定．
（3）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定．
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出
的椭圆较扁（ 线段）在同样的绳长下，两定点间距
离较短，则所画出的椭圆较圆（ 圆）
由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．
温故知新 ♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，