因式分解常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主
要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数
法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；
(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；
(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；
(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；
例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222
a b c ab bc ca ++=++，
则ABC ∆的形状是（ ）
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用
公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有
b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！
=))((b a n m ++
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-
=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---
=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --
练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ay ax y x ++-22
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因
式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-
=)())((y x a y x y x ++-+
=))((a y x y x +-+
例4、分解因式：2222c b ab a -+-
解：原式=222)2(c b ab a -+-
=2
2)(c b a --
=))((c b a c b a +---
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---
综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-
（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--
（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+
（11）abc
b a
c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 33
33-++ 四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2
23x x a ++能用十字相乘法分解因
式，求符合条件的a . 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求
24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。

于是98a ∆=-为完全平方数，1a =
例5、分解因式：652++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3
的分解适合，即2+3=5。

1 2
解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数
的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=
分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式：101132+-x x
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：101132+-x x =)53)(2(--x x
练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x
（3）317102+-x x （4）101162
++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：2
2128
8b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相
乘法进行分解。

1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：221288b
ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+
练习8、分解因式(1)2223y xy x +-
(2)2286n mn m +-(3)2
26b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x
1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy
练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a
综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a （5）222265x y x y x -- （6）
263442
2++-+-n m n mn m （7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++ 思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222
五、换元法。

(1)、换单项式
例1 分解因式x 6 + 14x 3 y + 49y 2.
分析：注意到x 6=（x 3）2，若把单项式x 3换元，设x 3 = m ，则x 6= m 2，
原式变形为
m 2 + 14m y + 49y 2= (m + 7y)2 = ( x 3 + 7y)2.
(2)、换多项式
例2 分解因式(x 2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2.
分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分
换元，设x 2 +6= m ，则x 2+4x+6= m+4x ，x 2+6x+6= m+6x ，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x 2= m 2 +10mx+24x 2+x 2= m 2 +10mx+25x 2
= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2
= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2
= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被
称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= 1 2
[(x2+4x+6) + (x2+6x+6)]= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2
= (x+2) 2 (x+3)2.
例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m= 1
2[ (x
2+x-2)+ (x2+x-12)]=x2+x-7，则
x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为
(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)
= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).
(3)、换常数
例1 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.
分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两
个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1.
于是，原式变形为
x 2(x+1) – m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x 2+x-m 2-m)
= x[(x 2 -m 2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]
= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x
（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22
=))(1(a x ax -+
=)2005)(12005(-+x x
（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=22)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652，则x A x x 2672+=++
∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++
=2)(x A +=22)66(++x x
练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++
（2）90)384)(23(22+++++x x x x
（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a
例14、分解因式（1）262234+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，
并且系数成“轴对称”。

这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)62(222x x x x x +---=[]6)()(2222-+-+x x x
x x 设t x x =+1，则21222-=+t x
x ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x
=()()2522+-t t x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()
1225222+++-x x x x
=)2)(12()1(2--+x x x
（2）144234+++-x x x x
解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x
x ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --
=)31)(11(2----x
x x x x =()()
13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x
（2）)(2122234x x x x x +++++ 六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）4323+-x x
解法1——拆项。

解法2——添项。

原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x
=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x
=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x
=2)2)(1(-+x x =2
)2)(1(-+x x
（2）3369-++x x x 解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x
=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x
=)111)(1(3363+++++-x x x x
=)32)(1)(1(362++++-x x x x x
练习15、分解因式
（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x
（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++
（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++
七、待定系数法。

例16、分解因式61362
2-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式
必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
∴
613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=+613231m n m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x
例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分
解此多项式。

（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必
为))((b y x a y x +-++
解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++
则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22
比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==132m b a
∴当1±=m 时，原多项式可以分解；
当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ；
当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x
（2）分析：82
3+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。

解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++
则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧===4147c b a ，
∴b a +=21
练习17、（1）分解因式291032
2-++--y x y xy x
（2）分解因式6752322+++++y x y xy x
（3） 已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式
之积，求常数p 并且分解因式。

（4） k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m 3-4m= .
3.分解因式： x 2-4y 2= __ _____.
4、分解因式：244x x ---=___________ ______。

5.将x n
-y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .
6、若5,6x y x y -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。

二、选择题
7、多项式
3222315520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、2
5mn
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+-
C 、()2
4545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是（ ）
(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+4
11．把（x －y ）2
－（y －x ）分解因式为（ ）
A ．（x －y ）（x －y －1）
B ．（y －x ）（x －y －1）
C ．（y －x ）（y －x －1）
D ．（y －x ）（y －x ＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2＋3c ）
B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）
C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）
D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）
13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）
A.2
B.4
C.2y 2
D.4y
2
三、把下列各式分解因式： 14、nx ny - 15、2294n m -
16、
()()m m n n n m -+- 17、3222a a b ab -+ 18、()222416x x +- 19、22)(16)(9n m n m --+；
五、解答题
20、如图，在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。

求纸片剩余部分的面积。

21
、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45d cm =，外径75D cm =，长3l m =。

利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(π取3.14，结果保留2位有效数字)
22()()
()()()
()()()(()()()()()
24284216842(1) 111(2) 1111(3) 1111(4) 111111(5) _________________________________________________x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=++--=+++--=++++-
经典二：
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321
=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()
()()
()()()
解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-
=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244222211111121111()()()
()()
()[()]
()()()
2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式x x 3234+-
解一：将32x 拆成222x x +，则有
原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 322222242222212()
()()()
()()
()()
解二：将常数-4拆成--13，则有
原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 322221331113314412()
()()()()
()()
()()
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：()()x x x 2241021100--++
=+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100
272310051456100
22
设y x x =-25，则
原式无论取何值都有的值一定是非负数=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440
4102110022
222
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B
∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()
()()()A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333
322333
22
3333332
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨
例1.在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2
证明： a b c ab bc 222166100--++=
∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a c b 2222226910250
350
820
880
20
2即，即于是有即()()()()
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例2. 已知：x x x x
+
=+=12133，则__________ 解：x x
x x x x 3321111+=+-+()() =++--=⨯=()[()]x x x x
1121212
2 说明：利用x x x x 2221
12+=+-()等式化繁为易。

题型展示
1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。

解：100)4)(3)(7(2
----x x x
=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤()()()()()()[()()]
()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x 7232100
5145610058516540
7341002222222
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。

一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形
成完全平方是一种常用的方法。

2.
将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。

解：a a a a 22221++++()()
=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a 2222
222
2221211()()()()
∴++=++==6742366143184922222()
说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟
1. 分解因式：
（）（）131083108
233315543222x x x x x a a a a ---+++-++-()()
（）（）323352
476223x xy y x y x x --+-+-+
2. 已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。

3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。

4. 求证：n n 35+是6的倍数。

（其中n 为整数）
5. 已知：a 、b 、c 是非零实数，且
a b c a b c b c a c a b
22211111113++=+++++=-，()()()，求a+b+c 的值。

6. 已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较a b c a b 222224+-和的大小。

经典三：因式分解练习题精选
一、填空：（30分）
1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____
3、232y x 与y x 612的公因式是＿
4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式2353515y y y ∙=中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

7、_____)
)(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x
x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。

10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2
2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

13、若)15)(1(152
-+=--x x ax x 则a =_____。

14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042=+x x ，的解是________。

二、选择题：（10分）
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
A 、－a 、
B 、))((b x x a a ---
C 、)(x a a -
D 、)(a x a --
2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）
A 、m=—2，k=6，
B 、m=2，k=12，
C 、m=—4，k=—12、
D m=4，k=12、
3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A 、1个，
B 、2个，
C 、3个，
D 、4个
4、计算)1011)(911()311)(211(2
232---- 的值是（ ） A 、21 B 、20
11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分）
1 、234352x x x --
2 、 2633x x -
3 、 22)2(4)2(25x y y x ---
4、22414y xy x +--
5、x x -5
6、13-x
7、2ax a b ax bx bx -++--2
8、811824+-x x
9 、24369y x -
10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x
四、代数式求值（15分）
1、 已知3
12=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

2、 若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值
3、 已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值
五、计算： （15）
（1） 0.7566.24366.3⨯-
⨯ （2） 200020012121⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛- （3）2
244222568562⨯+⨯⨯+⨯
六、试说明：（8分）
1、对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。

（结果保留两位有效数字）
2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：
甲：这是一个三次四项式
乙：三次项系数为1，常数项为1。

丙：这个多项式前三项有公因式
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。

（4分）
经典四：
因式分解
一、 选择题
1、代数式a 3b 2－21a 2b 3, 2
1a 3b 4＋a 4b 3,a 4b 2－a 2b 4的公因式是（ ） A 、a 3b 2 B 、a 2b 2 C 、a 2b 3 D 、a 3b 3
2、用提提公因式法分解因式5a(x －y)－10b ·(x －y)，提出的公因式应当为（ ）
A 、5a －10b
B 、5a ＋10b
C 、5(x －y )
D 、y －x
3、把－8m 3＋12m 2＋4m 分解因式，结果是（ ）
A 、－4m(2m 2－3m )
B 、－4m(2m 2＋3m －1)
C 、－4m(2m 2－3m －1)
D 、－2m(4m 2－6m ＋2)
4、把多项式－2x 4－4x 2分解因式，其结果是（ ）
A 、2(－x 4－2x 2)
B 、－2(x 4＋2x 2)
C 、－x 2(2x 2＋4)
D 、 －2x 2(x 2＋2)
5、（－2）1998＋（－2）1999等于（ ）
A 、－21998
B 、21998
C 、－21999
D 、21999
6、把16－x 4分解因式，其结果是（ ）
A 、(2－x)4
B 、(4＋x 2)( 4－x 2)
C 、(4＋x 2)(2＋x)(2－x)
D 、(2＋x)3(2－x)
7、把a 4－2a 2b 2＋b 4分解因式，结果是（ ）
A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4
B 、(a 2－b 2)2
C 、(a －b)4
D 、(a ＋b)2(a －b)2
8、把多项式2x 2－2x ＋2
1分解因式，其结果是（ ） A 、(2x －21)2 B 、2(x －21)2 C 、(x －21)2 D 、2
1 (x －1)
2 9、若9a 2＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是（ ）
A 、±4
B 、±2
C 、3
D 、4或2
10、－（2x －y ）(2x ＋y )是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）
A 、4x 2－y 2
B 、4x 2＋y 2
C 、－4x 2－y 2
D 、－4x 2＋y 2
11、多项式x 2＋3x －54分解因式为（ ）
A 、(x ＋6)(x －9)
B 、(x －6)(x ＋9)
C 、(x ＋6)(x ＋9)
D 、 (x －6)(x －9)
二、填空题
1、2x 2－4xy －2x = _______(x －2y －1)
2、4a 3b 2－10a 2b 3 = 2a 2b 2(________)
3、(1－a)mn ＋a －1=(________)(mn －1)
4、m(m －n)2－(n －m)2 =(__________)(__________)
5、x 2－(_______)＋16y 2=( )2
6、x 2－(_______)2=(x ＋5y)( x －5y)
7、a 2－4(a －b)2=(__________)·(__________)
8、a(x ＋y －z)＋b (x ＋y －z)－c (x ＋y －z)= (x ＋y －z)·(________)
9、16(x －y )2－9(x ＋y )2=(_________)·(___________)
10、(a ＋b )3－(a ＋b)=(a ＋b)·(___________)·(__________)
11、x 2＋3x ＋2=(___________)(__________)
12、已知x 2＋px ＋12=(x －2)(x －6)，则p=_______.
三、解答题
1、把下列各式因式分解。

(1)x 2－2x 3 (2)3y 3－6y 2＋3y
(3)a 2(x －2a)2－a(x －2a)2 (4)(x －2)2－x ＋2
(5)25m 2－10mn ＋n 2 (6)12a 2b(x －y)－4ab(y －x)
(7)(x －1)2(3x －2)＋(2－3x) (8)a 2＋5a ＋6
(9)x 2－11x ＋24 (10)y 2－12y －28
(11)x 2＋4x －5 (12)y 4－3y 3－28y 2
2、用简便方法计算。

（1）9992＋999 （2）2022－542＋256×352 (3)1998
1996199719972⨯- 3、已知：x ＋y=2
1,xy=1.求x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3的值。

四、探究创新乐园
1、若a －b=2,a －c=21,求(b －c)2＋3(b －c)＋4
9的值。

2、求证：1111－1110－119=119×109
五、证明(求值)
1．已知a ＋b=0，求a 3－2b 3＋a 2b －2ab 2的值．
2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
3．证明：(ac －bd)2＋(bc ＋ad)2=(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．
4．已知a=k ＋3，b=2k ＋2，c=3k －1，求a 2＋b 2＋c 2＋2ab －2bc －2ac 的值．
5．若x 2＋mx ＋n=(x －3)(x ＋4)，求(m ＋n)2的值．
6．当a 为何值时，多项式x 2＋7xy ＋ay 2－5x ＋43y －24可以分解为两个一次因式的乘积．
7．若x ，y 为任意有理数，比较6xy 与x 2＋9y 2的大小．
8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．
经典五：
因式分解分类练习题
因式分解—提公因式法
1、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A.y x -2
B.x x 22
+ C.22y x + D.22y xy x +- 2、在把xy a ay x a 32-+分解因式时，应提取的公因式是( ) A.2
a B.a C.ax D.ay 3、下列变形是因式分解的是( )
A.)3(322x x y y xy y x -=+-
B.2)1(3222+-=+-x x x
C.
)1)(1(1222-+=-+xy xy xy y x
D.)1(212--=--++x x x x x x n n n n
4、多项式3
4
4
3
4
2
2
4
3
2
2
3
b a b a b a b a b a b a +--，，的公因式
是 。

5
、
多
项
式
))(())((y x z x z y z y x z y x ---+-+--+= 。

6、已知c b a +=-2，则代数式=--------)()()(c b a c c b a b c b a a 。

7、用提公因式法将下列各式因式分解：
⑴ay ax -； ⑵236xz xyz -； ⑶y x z x 43+-； ⑷
ab abx aby 61236+-；
⑸
)
(2)(3a b y b a x -+-； ⑹
))(())((m y m x m y m x m x -----
8、若587=-b a ，求)78)(1211()87)(43(a b b a b a b a -----的值。

9、利用因式分解计算： ⑴31×3.14+27×3.14+42×3.14
⑵当4
120752===z y x ，，时，求yz x z xy xyz 2
22++的值。

因式分解—公式法
1、若16)3(22
+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于( ) A.3
B.5-
C.7
D.7或1-
2、若202
++kx x 能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( ) A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
3、下列分解正确的是( )
A.)3)(3(32
2
y x y x y x -+=- B. )32)(32(942
-+=-x x x
C.222)32(964y x y xy x -=+-
D.22)1(12-=--x x x
4、y x y x ---22分解因式的结果是 。

5、为使b x x +-72
在整数范围内可以分解因式，则b 可能取的值为 。

(任写一个) 6、分解因式：
⑴229)(y y x -+； ⑵b a b a ++-2
2
； ⑶
22)(5)(10x y a y x b ---；
⑷22)1()(+-+a b ab ；⑸2222)(4)(a x ax x a ---；⑹22)()(z y x z y x +--++
7、已知c b a ,,是△ABC 的三边，且满足关系式222222b bc ab c a -+=+，试判断△ABC 的形状。

8、⑴研究下列算式你会发现有什么规律，4×1×2+1=23，4×2×3+1=2
5，
4×3×4+1=27，4×4×5+1=2
9，…….请你将找出的规律用含一个字母的
等式表示出来 。

⑵试用上述规律计算：4×2006×2007+1= 。

9、当b a ,为何值时，多项式18642
2
++-+b a b a 有最小值？并求出这个最小值。

因式分解—分组分解法
1、用分组分解法把ac b c ab -+-分解因式，分组的方法有（ ）
A 、1种
B 、2种
C 、3种
D 、4种
2、用分组分解法分解bc c b a 22
2
2
+--，分组正确的是（ ）
A 、()()bc b c a 2222---
B 、()
bc c b a 2222+--
C 、()()bc c
b a
22
2
2
--- D 、()
bc c b
a 222
2
-+-
3、填空：
（
1
）
()(
)()()=-+=--+ay ax by bx ay ax
（2）()(
)()()=+=+--x y y x 2
2
42
（
3
）
(
)()(
)(
)
=-=+--bc c b a 444222
4、把下列各式因式分解：
1）xy x y x 215652
--+； 2）b a ab a 32172
--+； 3）
124322--+a x ax
5、把下列各式因式分解：
1）442
3
--+x x x ；2）ax ab bx a x 22
2
+--+；3）
12224+-+-y y x x x
6、把下列各式因式分解： 1）()()1122+-+b b a a ； 2）()()
2222b a cd d c ab +++
3）()()c b b c b a a 222-+-+
因式分解—十字相乘法
1、若()()35-+x x 是代数式152
--kx x 分解因式的结果，则k 的值为
（ ）
A 、－2
B 、2
C 、8
D 、－8
2、在多项式（1）672
++a a ，（2）342
++a a ，（3）862
++a a ， （4）1072
++a a ，（5）44152
++a a 中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2）B 、只有（3）（4）C 、只有（2）（5） D 、不同于以下答案
3、把22865y xy x -+分解因式得（ ）
A 、()()452-+x x
B 、()()452+-x x
C 、()()y x y x 452-+
D 、
()()y x y x 254+-
4、把下列各式因式分解：
（1）1032-+x x （2）232-+x x
（3）22152914y xy x -- （4）22152812ay axy ax -+- 5、把下列各式因式分解：
（1）354422-+ax x a （2）()()102322
----y x y x
（3）()()102292102
++-+x x （4）22224108393x x a x a +- 6、把下列各式因式分解：
（1）()
()
1247422
2+-+-x x x x （2）()()142--++y x x y y （3）624422-+-+-y x y xy x （4）()()()()95311-++-+a a a a。