二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

二次函数的存在性问题（相似三角形）
1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点
的坐标；
(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似若存在，求出P点的
坐标；若不存在，说明理由。

，` "
A A
B B
O^
x x y y
x
y
F
-2
,
-6
A C
E
P
D
B
5 *
1 2
4 6 G
2、设抛物线2
2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C.且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．
~
解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．
∴OA ·OB=OC 2；∴OB=
22
2
41
OC OA == ∴m=4．
3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.
·
（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是
否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得150a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
故抛物线的函数关系式为2
5y x x =-+
（2）C 在抛物线上，2
252,6m m ∴-+⨯=∴= C ∴点坐标为（2，6），
B 、
C 在直线y kx b '=+上
∴6266k b k b '
=+⎧⎨'-=+⎩
解得3,12k b '=-=∴直线BC 的解析式为312y x =-+
设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）11
46462422
OBC
S
∴=⨯⨯+⨯⨯-= （3）存在P ，使得OCD ∽CPE 设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=︒ 故2,6CE m EP n =-=-
若要OCD ∽CPE ，则要
OD DC CE EP =或OD DC EP CE = 即6226m n =--或62
62
n m =
-- 解得203m n =-或123n m =- 又(,)m n 在抛物线上，22035m n n m m =-⎧⎨
=-+⎩或2
1235n m
n m m
=-⎧⎨=-+⎩ 解得12211023,,6
509m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
或121226
,66m m n n ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 故P 点坐标为1050()39，和(6,6)-
；
4、如图，抛物线(1)(5)y a x x =+-与x 轴的交点为M N ，．直线y kx b =+与x 轴交于(20)P -，，与y 轴交于C ．若A B ，两点在直线y kx b =+
上，且AO BO ==
，AO BO ⊥．D 为线段MN 的中点，OH 为
Rt OPC △斜边上的高．
（1）OH 的长度等于 ；k = ，b = ．
（2）是否存在实数a ，使得抛物线(1)(5)y a x x =+-以D N E ，，为顶点的三角形与AOB △是否还有符合条件的E 点（简要说明理由）每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足
】
10PB PG <
解：（1）1OH =
；k =
b =（2）设存在实数a ，使抛物线(1)(5)y a x x =+-上有一点E ，满足以
D N
E ，，为顶点的三角形与等腰直角AOB △相似．
∴以D N E ，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，
一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形．
①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED DN ⊥．由抛物线(1)(5)y a x x =+-得：(10)M -，，
(50)N ，．(20)D ∴，，3ED DN ∴==．E ∴的坐标为(23)，．把(23)E ，代入抛物线解析式，得13a =-．
∴抛物线解析式为1(1)(5)3y x x =-+-．即2145
333
y x x =-++．
②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE EN ⊥，DE EN =．
E ∴的坐标为(3.51.5)
，．把(3.51.5)E ，代入抛物线解析式，得29a =-． ∴抛物线解析式为2(1)(5)9y x x =-+-，即22810
999
y x x =-++
当1
3a =-时，在抛物线2
145
3
33
y x x =-+
+上存在一点(23)E ，满足条件，
如果此抛物线上还有满足条件的E 点，不妨设为E '点，那么只有可能DE N '△是以DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得(3.51.5)E '，， 显然E '不在抛物线2145333y x x =-
++上，故抛物线2145
333
y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． {
当29a =-
时，同理可得抛物线22810
999
y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． 当E 的坐标为(23)，，
对应的抛物线解析式为2145
333
y x x =-++时，EDN △和ABO △都是等腰直角三角形，45
GNP PBO ∴∠=∠=又
NPG BPO ∠=∠，NPG BPO
∴△∽△．PG PN
PO PB
∴
=，
2714PB PG PO PN ∴==⨯=，∴总满足10PB PG <．当E 的坐标为(3.51.5)
，，对应的抛物线解析式为22810
999
y x x =-
++时，同理可证得：2714PB PG PO PN ==⨯=，∴总满足10PB PG <5、如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛
物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使
△OBN 与△OAB 相似若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意可设抛物线的解析式为1)2(2+-=x a y
·
∵抛物线过原点 ∴01)20(2
=+-a ∴4
1-=a
∴抛物线的解析式为1)2(412+--=x y 即x x y +-=241
.
（2）∵△AOB 与△MOB 同底不等高 又∵S △MOB =3 S △AOB ∴△MOB 的高是△AOB 高的
3倍 即点M 的纵坐标是3-
∴x x +-=-24
1
3 ∴01242=--x x 解得 61=x ，22-=x
∴)36(1-，M )32(2--，M （3）由抛物线的对称性可知：AO =AB
ABO AOB ∠=∠
若△OBN 与△OAB 相似， 必须有BNO BOA BON ∠=∠=∠， 显然 )12('-，A ∴直线ON 的解析式为x y 21-
=， 由x x x +-=24
1
21，得01=x ，62=x ∴)36(-，
N 过N 作NE ⊥x 轴，垂足为E . 在Rt △BEN 中，BE =2，NE =3，∴133222=+=NB 又OB =4 ∴NB ≠OB ∴∠BON ≠∠BNO ∴△OBN 与△OAB 不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点.
故在抛物线上不存在N 点，使得△OBN 与△OAB 相似
】
6、如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ， 使CM ＝｜CE —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO. (1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由；(2)令CMNO
CFGH S S m 四边形四边形=
，请问m 是否为定值
若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝3
1，
Q 为AE 上一点且QF ＝
3
2
，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在
点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标若不存在，请说明理
由。

解（1）EO ＞EC ，理由如下：由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC （2）m 为定值。

∵S 四边形CFGH =CF 2=EF 2－EC 2=EO 2－EC 2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC) S 四边形CMNO =CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC) ·CO ∴1
==
CMNO
CFGH S S m
四边形四边形
》
（3）∵CO=1，323
1=
=QF CE ， ∴EF=EO=QF ==-32
311 ∴cos ∠FEC=21
∴∠FEC=60°， ∴︒=∠∠=︒=︒-︒=
∠3060260180EAO OEA FEA ， ∴△EFQ 为等边三角形，32=EQ
作QI ⊥EO 于I ，EI=
3121=EQ ，IQ=3323=EQ ∴IO=31
3132=-
∴Q 点坐标为)31,33( ∵抛物线y=mx 2+bx+c 过点C(0，1)， Q )31
,33(
，m=1，∴可求得3-=b ，c=1 ∴抛物线解析式为132
+-=x x y
（4）由（3），3323=
=EO AO 当332=x 时，3
1
13323)332(2=+⨯-=y ＜AB
∴P 点坐标为)31,332(
∴BP=3
2
311=-AO 方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况如下： ①3
3
232
32=BK 时，932=BK ∴K 点坐标为)1,93
4(
或)1,938(； ②32
323
32=BK 时，332=
BK ，∴K 点坐标为)1,33
4(
或)1,0(
故直线KP 与y 轴交点T 的坐标为)1,0()3
1,0()37,0()35
,0(或或或--。

方法2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P 作PR ⊥y 轴于R ，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，2333
2=⨯=
RT
②当∠RTP=60°时，32
3332=÷=
RT
∴)
1,0()3
1,0()35,0()37
,0(4321T T T T ，，，--
7、如图，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠
）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结
AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，
、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC
、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
8、已知：在平面直角坐标系中，抛物线32
+-=x ax y （0≠a ）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ， 且对称轴为直线2x =-．（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点， 请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD 的面积为S ，令W ＝t ·S ，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值如果有，求出W 的最大值和此时
t 的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似如果存在，求点
P 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【
解：（1）∵抛物线2
3y ax x =-+（0a ≠）的对称轴为直线2x =-．∴122a --
=-，∴1
4
a =-， ∴2
134
y x x =-
-+．∴(24)D -，． （2）探究一：当04t <<时，W 有最大值．
|
∵抛物线2
134
y x x =-
-+交x 轴于A B 、两点，交y 轴于点C ，∴(60)A -，
，(20)B ，，(03)C ，， ∴63OA OC ==，．当04t <<时，作DM y ⊥轴于M ，则24DM OM ==，． ∵(0)P t ，，∴4OP t MP OM OP t ==-=-，． ∵PAD AOP DMP OADM S S S S =--△△△梯形 111
()222
DM OA OM OA OP DM MP =
+-- 111
(26)462(4)222
t t =
+⨯-⨯⨯-⨯⨯-122t =- ∴2
(122)2(3)18W t t t =-=--+ ∴当3t =时，W 有最大值，18W =最大值．
探究二：存在．分三种情况：
①当1
90PDA ∠=°时，作DE x ⊥轴于E ，则2490OE DE DEA ==∠=，，°， ∴624AE OA OE DE =-
=-==．∴
45DAE ADE ∠=∠=°，AD =
=
∴11
904545PDE PDA ADE ∠=∠-∠=-=°°°．∵DM y ⊥轴，OA y ⊥轴， [
∴DM OA ∥，∴90MDE DEA ∠=∠=°，∴11904545MDP MDE PDE ∠=∠-∠=
-=°°°．
∴12PM DM ==
，1
PD ==．此时1
4OC OA PD AD ==，又因为1
90AOC PDA ∠=∠=°， ∴1Rt Rt ADP AOC △∽△，∴11422OP OM PM =-=-=，∴1(02)P ，
． ∴当190PDA ∠=°时，存在点1P ，使1Rt Rt ADP AOC △∽△，此时1P 点的坐标为（0，2）
． ②当290
P AD ∠=°时，则245P AO ∠=°
，∴2cos 45
OA
P A =
=°
，∴26P A OA =
=． 图1
∵
3AD OC =，∴2P A
AD OC OA
≠．∴2P AD △与AOC △不相似，此时点2P 不存在． ③当390AP
D ∠=°时，以AD 为直径作1O ⊙，则1O ⊙的半径2
AD
r =
= 圆心1O 到y 轴的距离4d =．∵d r >，∴1O ⊙与y 轴相离．不存在点3P ，使390AP D ∠=°． ∴综上所述，只存在一点(02)P ，使Rt ADP △与Rt AOC △相似．
—
9、矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，
直线3
4
y x =-
与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标； （2）若抛物线2
9
4
y ax x =-
经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标． ？
解：（1）点D 的坐标为(43)-，． （2）抛物线的表达式为239
84
y x x =
-． （3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件．
∵OA CB ∥， ∴1POM CDO ∠=∠．∵1
90OPM DCO ∠=∠=°， ∴1Rt Rt POM CDO △∽△．∵抛物线的对称轴3x =，∴点1P 的坐标为1(3
0)P ，． 过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ．∵对称轴平行于y 轴，∴2P MO DOC ∠=∠． ∵290P OM DCO ∠=∠=°，∴21Rt Rt P M O DOC △∽△．
∴点2P 也符合条件，2OP M ODC ∠=∠．∴121
390PO CO P PO DCO ==∠=∠=，°， ∴21Rt Rt P PO DCO △≌△．∴124PP CD ==．∵点2P 在第一象限，∴点2P 的坐标为2P (34)，， ∴符合条件的点P 有两个，分别是1(3
0)P ，，2P (34)，．。