(江苏专用)2020高考数学二轮复习专项强化练(十一)直线与圆

专项强化练(十一) 直线与圆
A 组——题型分类练
题型一 直线的方程
1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________． 解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2
a
. 所以
a ＋2
a
＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或1
2．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________．
解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－1
3x ，再向右平移1个单位，
所得直线的方程为y ＝－1
3
(x －1)，即x ＋3y －1＝0.
答案：x ＋3y －1＝0
3．若直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a ＝________.
解析：直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝
a ·(－9)－2，解得a ＝23
.
答案：23
4．点A (1,1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值为________． 解析：由点到直线的距离公式，得
d ＝
|cos θ＋sin θ－2|cos 2θ＋sin 2
θ
＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，
又θ∈R ，所以d max ＝2＋ 2. 答案：2＋ 2 [临门一脚]
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程． (2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数．
2．五种直线方程灵活选择，要牢记用斜率首先考虑斜率不存在；用截距要考虑截距为0或不存在的情况，不能出现漏解的情况．
题型二圆的方程
1．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是________________．
解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
2．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________________．解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
因为点(3,1)在圆上，
所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.
所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝25.
答案：x2＋(y－5)2＝25
3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，故b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.
答案：(－∞，1)
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y ＋6)2＝9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是____________．解析：法一：设圆C的半径为r，圆心坐标为C(a,0)．
因为圆C平分圆C1的圆周，
所以r2＝CC21＋1.
同理可得r2＝CC22＋9，
所以CC21＝CC22＋8，
即(a－4)2＋82＝(a－6)2＋62＋8，解得a＝0，
从而得r2＝CC21＋1＝42＋82＋1＝81，
故圆C的方程为x2＋y2＝81.
法二：设圆C的方程为：(x－a)2＋y2＝r2.
则圆C与C1的公共弦方程为
(2a－8)x－16y＋79＋r2－a2＝0.(*)
因为圆C平分圆C1的圆周，
所以直线(*)经过圆C1的圆心，
即a2－8a－r2＋81＝0.①
同理，由圆C平分圆C2的圆周，得
a 2－12a －r 2＋81＝0，②
联立①②得a ＝0，r 2
＝81. 故圆C 的方程为x 2
＋y 2＝81. 答案：x 2
＋y 2
＝81 [临门一脚]
1．三个独立条件确定一个圆，一般用待定系数法，如果已知圆心或半径可用标准式；如果已知圆经过某些点常用一般式．并要注重圆的一般方程与标准方程的互化．
2．不能忘记求圆的方程时，圆的一般式方程要满足的条件D 2
＋E 2
－4F >0.
3．如果遇到求解与三角形有关的圆的方程，应该研究三角形特征如等边三角形或直角三角形的外接圆和内切圆，更容易用标准式求解．
题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2019·盐城中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在直线l ：y ＝kx ＋6(k >0)上，过点P 作圆O ：x 2
＋y 2
＝4的切线，切点分别是A ，B ，且AB 的中点为Q ，若OQ ＝1，则k 的取值范围为________．
解析：连接OP ，OA ，由已知及圆的几何性质知，OP 经过点Q ，且OA ⊥AP ，AQ ⊥OP ，所以Rt △OPA ∽Rt △OAQ ，所以OA OP ＝OQ OA
，即OA 2
＝OP ·OQ ，又OA ＝2，OQ ＝1，所以OP ＝4，所以点O 到直线l 的距离d ＝
6
k 2
＋1≤4.因为k >0，所以k ≥52，故k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫
52，＋∞. 答案：⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
52，＋∞ 2．(2018·镇江高三期末)已知圆C 与圆x 2
＋y 2
＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为________________．
解析：由题意可知，圆C 的圆心在直线y ＝x 上，设圆C 的圆心为(a ，a )，半径为r ，则r 2
＝a 2
＋a 2
＝a 2
＋(a ＋6)2
，解得a ＝－3，所以圆心为(－3，－3)，r 2
＝18，圆C 的标准方程为(x ＋3)2
＋(y ＋3)2
＝18.
答案：(x ＋3)2
＋(y ＋3)2
＝18
3．过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________________．
解析：根据题意，由于(－4－1)2
>5，所以点P 在圆C 外，过圆心C 作CM ⊥AB 于M ，连结AC .易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，则CM ＝|k ＋4k |k 2＋1＝|5k |k 2＋1
，AM ＝5－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|5k |k 2＋12
＝5－20k
2
k 2＋1
.又点A 恰好是线段PB 的中点，所以PM ＝3AM ，在Rt △PMC 中，CM 2
＋PM 2
＝PC 2
，即25k 2
k 2＋1＋45－180k 2
k 2＋1
＝25，得180k 2
＝20，即k ＝
±1
3
，故直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0. 答案：x ±3y ＋4＝0
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2
＋y 2
＝2上一动点，则PB PA
的最大值是________．
解析：法一：设点P (x ，y )，则x 2
＋y 2
＝2，
所以PB 2PA 2＝
x －12＋y ＋12
x 2＋y ＋22
＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4＝－2x ＋2y ＋44y ＋6＝－x ＋y ＋22y ＋3
，
令λ＝－x ＋y ＋22y ＋3
，则x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0，
由题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2
＋y 2
＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋
2λ－1
2
≤2，解得0<λ≤4，
所以PB PA
的最大值为2.
法二：当AP 不与圆相切时，设AP 与圆的另一个交点为D ，由条件AB 与圆C 相切，则∠ABP ＝∠ADB ，
所以△ABP ∽△ADB ，所以PB PA ＝BD BA ＝BD 2≤22
2
＝2， 所以PB
PA
的最大值为2. 答案：2 [临门一脚]
1．直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判定较好． 2．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形．
3．根据相交、相切的位置关系求直线方程时，要注意先定性再定量，不能漏解． 4．圆上存在一点的存在性问题可以通过求解动点轨迹转化为位置关系问题．
B 组——高考提速练
1．“a ＝1”是“直线ax －y ＋2a ＝0与直线(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直”的____________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
解析：∵两直线互相垂直， ∴a ·(2a －1)＋(－1)·a ＝0，
即2a 2
－2a ＝0， 解得a ＝0或a ＝1. 答案：充分不必要
2．经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________________________________________________________________________．
解析：由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由1
2·|5k －
4|·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪4k －5＝5，得k ＝85或k ＝25，故所求直线方程为8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0
3．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________________________________________________________．
解析：因为圆过A (0，－4)，B (0，－2)，所以圆心C 的纵坐标为－3，又圆心C 在直线2x －y －7＝0上，所以圆心C 为(2，－3)，从而圆的半径为r ＝AC ＝4＋1＝5，故所求的圆C 的方程为(x －2)2
＋(y ＋3)3
＝5.
答案：(x －2)2
＋(y ＋3)3
＝5
4．(2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2
＋(y －1)2
＝1相交于P ，
Q 两点，则CP ―→
·CQ ―→＝________.
解析：根据题意知，圆C ：(x －2)2
＋(y －1)2
＝1的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝1，圆心
C 到直线l 的距离d ＝
|2＋1－4|
2
＝
22
，则PQ ＝2r 2－d 2
＝2，则∠PCQ ＝90°，故CP ―→
·CQ ―→＝0.
答案：0
5．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2
＋2＝0相切的直线方程为________．
解析：圆x 2
－4x ＋y 2
＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则
|2k |
k 2＋1
＝2，
所以k 2
＝1，所以k ＝±1，所以直线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x
6．已知圆C 1：(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2
的方程为_______________________________________________________________．
解析：由题意得C 1(－1,1)，圆心C 2与C 1关于直线x －y －1＝0对称，且半径相等，则
C 2(2，－2)，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.
答案：(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝1
7．已知直线x ＋y －a ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2
＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝________.
解析：由题意得圆的圆心为C (2，－2)，半径为2，由△ABC 为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离为2，所以|2－2－a |
2
＝2，所以a ＝±2.
答案：±2
8．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________________．
解析：由题意知，以A (2,2)为圆心，1为半径的圆与以B (m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2
＋4<16，所以－23＋2<m <23＋2，且m ≠2.
答案：(2－23，2)∪(2,2＋23)
9．已知A (－1,0)，B (2,1)，C (5，－8)，△ABC 的外接圆在点A 处的切线为l ，则点B 到直线l 的距离为________．
解析：设△ABC 的外接圆的圆心为O (a ，b )，线段AB 的中点为D ，线段BC 的中点为E ，因为A (－1,0)，B (2,1)，C (5，－8)，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫7
2，－72，k AB ＝1－02－－1＝13，k BC
＝－8－1
5－2
＝－3， 由OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪
⎧
1
2－b 12
－a ×1
3＝－1，－7
2－b 72－a
×－3＝－1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3a ＋b ＝2，a －3b ＝14，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－4.
设直线l 的斜率为k ，则k ·k OA ＝－1，解得k ＝34，故直线l 的方程为y －0＝3
4(x ＋1)，
即3x －4y ＋3＝0，故点B 到直线l 的距离为
||
2×3－4＋332
＋－4
2
＝1.
答案：1
10．已知圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为__________．
解析：因为圆C 的标准方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝25，所以圆心C (2,1)，半径r ＝5，所
以圆心C 到直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离为d ＝|4×2－3×1＋15|42＋－32
＝4，所以AB ＝2r 2－d 2
＝225－16＝6，因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为1
2
×6×9＝27.
答案：27
11．(2019·扬州中学模拟)已知点P (x 1，y 1)为圆C 1：(x －1)2
＋(y －1)2
＝4上的动点，
Q (x 2，y 2)为圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16上的动点，则集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1
＋y 2}表示的平面区域的面积为________．
解析：法一：由题意知 ，C 1(1,1)，C 2(－2，－2)，(x 1－1)2
＋(y 1－1)2
＝4，(x 2＋2)2
＋(y 2＋2)2
＝16，C 1P ―→＝(x 1－1，y 1－1)，C 2Q ―→＝(x 2＋2，y 2＋2)．因为x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，所以x ＋1＝(x 1－1)＋(x 2＋2)，y ＋1＝(y 1－1)＋(y 2＋2)，所以(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝[(x 1－1)＋(x 2＋2)]2
＋[(y 1－1)＋(y 2＋2)]2
＝20＋2(x 1－1)(x 2＋2)＋2(y 1－1)(y 2＋2)＝20＋2C 1P ―→·C 2Q ―→＝20＋2×2×4cos θ＝20＋16cos θ∈[4,36](其中θ为C 1P ―→与C 2Q ―→
的夹角)，所以集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域为以(－1，－1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S ＝36π－4π＝32π.
法二：因为点P (x 1，y 1)为圆C 1：(x －1)2
＋(y －1)2
＝4上的动点，Q (x 2，y 2)为圆C 2：(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝16上的动点，所以可设x 1＝1＋2cos α，y 1＝1＋2sin α，x 2＝－2＋4cos
β，y 2＝－2＋4sin β，则x ＝x 1＋x 2＝(1＋2cos α)＋(－2＋4cos β)＝－1＋2cos α＋4cos β，y ＝y 1＋y 2＝(1＋2sin α)＋(－2＋4sin β)＝－1＋2sin α＋4sin β，所以(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝(2cos α＋4cos β)2
＋(2sin α＋4sin β)2
＝20＋16cos (α－β)∈[4,36]，所以集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域为以(－1，－1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S ＝36π－4π＝32π.
答案：32π
12．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2
＋y 2
＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，则直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C 的位置关系是________．
解析：由点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2
＋y 2
＝1内一点，得5|t |<1.因为直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，所以
|m |5|t |
＝1，所以|m |<1.圆C ：x 2
＋y 2
＝1的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m
＝0的距离d ＝|m |
2
<1＝r .所以直线l 与圆C 的位置关系为相交．
答案：相交
13．(2019·无锡模拟)已知点A (1,0)，B (0,3)和圆C ：(x －3)2
＋(y －2)2
＝r 2
(r >0)，若对于线段AB 上的任意一点P ，圆C 上都存在不同的两点M ，N ，满足PM ―→＝2MN ―→
，则r 的取
值范围为________．
解析：法一：由题意得，线段AB 的方程为3x ＋y －3＝0(0≤x ≤1)．设P (m ，n )(0≤m ≤1)，
N (x ，y )，则由PM ―→＝2MN ―→
，得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋m 3，2y ＋n 3.因为M ，N 均在圆C 上，所以
⎩⎪⎨⎪
⎧ x －32
＋y －22
＝r 2
，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋m 3
－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋n 3－22＝r 2
，即⎩⎪⎨⎪
⎧
x －32
＋y －22
＝r 2
，⎝
⎛⎭⎪⎫x －9－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －6－n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2
.由题意知，
以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以⎝
⎛⎭
⎪⎫9－m 2，6－n 2为圆心，3r 2为半径的圆有公共点，所以3r 2－r ≤
⎝
⎛⎭⎪⎫3－9－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－6－n 22≤3r 2
＋r .又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤25r 2.令
f (m )＝10m 2－12m ＋10(0≤m ≤1)，易知f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤32
5
，10，
故r 2≤325且10≤25r 2，得25≤r 2<325.由题可知线段AB 与圆C 无公共点，所以(m －3)2
＋(3－3m
－2)2>r 2，所以r 2<325.综上，25≤r 2<32
5，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫105
，4105.
法二：过点C 作CD ⊥MN 于点D ，设CD ＝d ，MN ＝2l ，则PD ＝5l ，MD ＝l ，连接CP ，CM ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
l 2
＋d 2
＝r 2
，
25l 2＋d 2＝CP 2
，消去l ，得d 2
＝25r 2－CP 2
24
，因为0≤d 2<r 2，所以得r 2<CP 2≤25r 2
.易得
线段AB 的方程为3x ＋y －3＝0(0≤x ≤1)，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，则3m ＋n －3＝0，所以CP
2
＝(m －3)2
＋(n －2)2
＝10m 2
－12m ＋10，所以r 2
<10m 2
－12m ＋10≤25r 2
对任意的m ∈[0,1]成立．令f (m )＝10m 2
－12m ＋10(0≤m ≤1)，易知f (m )＝10m 2
－12m ＋10在[0,1]上的值域为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤325，10，故r 2<325且10≤25r 2，解得25≤r 2<325.易知线段AB 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对任意的m ∈[0,1]成立，所以r 2<32
5.综上，25≤r 2<325，故圆C 的半径r 的
取值范围为⎣⎢
⎡⎭⎪⎫
105
，4105.
答案：⎣⎢
⎡⎭⎪⎫105
，4105
14．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2
＋y 2
＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2
＋(y －2a )2
＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．
解析：过Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ， 根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP ＝30°；
反过来，如果∠OQR ≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP ＝30°.所以，若圆O 上
存在点P ，使得∠OQP ＝30°，则∠OQR ≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ＞2时不成立，所以OQ ≤2，即点Q 在圆面x 2
＋y 2
≤4上．
又因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x ＋a ＋3)2
＋(y －2a )2
＝1与圆面x 2
＋y 2
≤4有公共点，所以OM ≤3.
因为OM 2
＝(0＋a ＋3)2
＋(0－2a )2
， 所以(0＋a ＋3)2
＋(0－2a )2
≤9， 解得－6
5
≤a ≤0.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－65，0。