四川高一高中数学期中考试带答案解析

四川高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在△ABC中，，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2.在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则最大值为（）
A．2B．C．D．4
3.已知为等差数列的前项和，若，则等于（）
A．30B．45
C．60D．120
4.已知，且满足，那么的最小值为（）
A．B．C．D．
5.的值是
A．B．C．D．
6.不等式的解集为
A．B．C．D．
7.已知，则的值为
A．B．C．D．
8.若则一定有（）
A．B．C．D．
9.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为
A．B．
C．D．
10.已知是等比数列，且，则
A．B．C．D．2
11.已知，则
A．B．C．D．
12.给出以下三个结论：
①若数列的前项和为，则其通项公式为；
②已知，一元二次不等式对于一切实数恒成立，又存在，使成立，则的最小值为；
③若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是.
其中正确的个数为
A．B．C．D．
二、解答题
1.已知为的三内角，且其对边分别为，若．
（1）求；
（2）若，求的面积．
2.已知不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）若不等式的解集为，不等式的解集为，且，求实数的取值范围.
3.已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
4.已知向量，若,
（1）求递增区间；
（2）中，角的对边分别是,且，求的取值范围．
5.设数列的前项和为，且对任意正整数，满足．
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
6.已知数列满足：，且是函数的零点
．
（1）求；
（2）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（3）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围．
三、填空题
1.在中，分别是角的对边，，且，，则的值为________；
2.数列中，，则其通项公式=________；
3.已知,且，则_______；
4.函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足：,
,考查下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；
④数列为等比数列.
以上结论正确的是__________．
四川高一高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.在△ABC中，，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【解析】由余弦定理代入已知等式，所以，即，所以为等腰三
角形；
【考点】1．余弦定理；2．三角形形状的判断；
2.在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则最大值为（）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【解析】由的面积可得，即，代入余弦定理中，得
，所以，当时，取得最大值，故选C．
【考点】三角形的面积公式、余弦定理及三角函数的性质．
【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积公式、余弦定理及三角函数的图象与性质等知识的综合应用，其中由的面积，得，代入余弦定理，得出，即是
解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用．
3.已知为等差数列的前项和，若，则等于（）
A．30B．45
C．60D．120
【答案】C
【解析】，故选C.
【考点】等差数的前项和.
4.已知，且满足，那么的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，当且仅当，即
时等号的成立的，所以的最小值为，故选B．
【考点】基本不等式的应用．
5.的值是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.故选C.
6.不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】即为.
.
解得.故选B.
7.已知，则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
.
故选D.
8.若则一定有（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本题主要考查不等关系。

已知,所以，所以，故。

故选9.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，∠BAC=45°-15°=30°，∠ABC=α=45°，且AC=60m，
在△ABC中，由正弦定理得，
，即，
解得BC=
【考点】正弦定理；任意角的三角函数的定义
10.已知是等比数列，且，则
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】是等比数列，且,得.
又，联立得..
.故选D.
11.已知，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，.
化简得：.
.故选A.
点睛：三角化简求值合理利用和.
12.给出以下三个结论：
①若数列的前项和为，则其通项公式为；
②已知，一元二次不等式对于一切实数恒成立，又存在，使成立，则的最小值为；
③若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是.
其中正确的个数为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】①时不成立，不正确；
②∵已知，一元二次不等式对于一切实数恒成立，
∴，且，∴.
再由存在，使成立，可得.
∴.
的最小值为，成立；
③∵正实数x，y满足，可得，
∴不等式恒成立，
即恒成立，
变形可得恒成立，
即恒成立，
∵，
∴，
即,解不等式可得,或 (舍负)
可得,要使恒成立,只需恒成立，
化简可得.
解得，正确.
正确的个数为2个，故选C.
点睛：（1）利用求时注意;
（2）二次抛物线恒大于等于0，即为图象开口向上，判别式小于等于0，二次方程等于0有解，即为判别式大于
等于0恒成立；
（3）不等式恒成立问题首选变量分离，将原不等式化为恒成立，只需成立即可.
二、解答题
1.已知为的三内角，且其对边分别为，若．
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知条件和两角和的余弦公式可得角的值，根据内角和定理即可求得角；（2）利用余弦定理表示出并对配方，代入即可求得的值，由面积公式即可得其面积.
试题解析：（1）∵，
∴
又∵，∴，
∵，∴
（2）由余弦定理得：
即，∴
∴
【考点】两角和的余弦公式及利用正余弦定理解三角形.
【方法点睛】本结合两角和的余弦公式和两个定理解三角形，属于基础题.本题解答的关键是分析题目给出的条件
的结构特点得到的值，由三角形内角和定理求出角；第二问是以第一问为基础，考虑余弦定理表示出，通过配方求得的值，这是经常用到的处理方法.
2.已知不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）若不等式的解集为，不等式的解集为，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出；(2)“”是“”的充分不必要条件,将它们对应的不等式分别解出,可得集合从而建立关于
的不等关系,解关于不等式即可得到实数的取值范围.
试题解析：（1）依题意得，1、3是方程的两根，且，．．．．．．．．．．．．．．．1分
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分
解得；．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（2）由（1）得，所以，
即为，
解得，，∴，
又，即为
解得
，∴，．．．．．．．．．．．．8分
∵，∴，
∴，即， ∴
的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．10分
【考点】解一元二次不等式，集合的关系.
3.已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（I ）利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出． （II ），利用等比数列的求和公式即可得出． 试题解析： （1）因为为等差数列，所以 ，
解得 ，
；
（2） ，
.
4.已知向量，若,
（1）求递增区间； （2）
中，角的对边分别是
,且，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）利用向量的数量积公式求出f （x ）的解析式，然后求值；
（Ⅱ）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A 的范围，然后求三角函数值的范围． 试题解析： （1）=
，
由
得：
，
的递增区间为
（2），由正弦定理得
，
，，
， ，，，
，
又，
，
故函数
的取值范围是
．
5.设数列的前项和为，且对任意正整数，满足．
（1）求数列的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）利用已知条件求出数列的递推关系式，判断{a n }是以首项a 1=1，公比q=的等比数列，求解即可． （2）化简新数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可． 试题解析： （1）, 当时，， 两式相减得，
；
又当
时，
，即
．
是以首项，公比的等比数列，
数列的通项公式为
（2）由（1）知，
， 则，①
，② ①-②得，
，
所以，数列
的前项和为
.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
6.已知数列
满足：
，且
是函数
的零点
．
（1）求；
（2）设，求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
（3）设，不等式
恒成立时，求实数的取值范围． 【答案】（1），
；（2）；（3）
. 【解析】（1）由解得：
，
，可得
.由
，
得，可得； （2）由
可得
，即
，利用等差数列的通项公式可得c n ，b n ；
（3）利用“裂项求和”方法可得S n ，对a 分类讨论，通过转化利用单调性即可得出． 试题解析： （1）由解得：， 由得
将代入得
(2)因为，所以
即，又
数列是以为首项，
为公差的等差数列．
由
得
（3）由题意及（2）知：
（法一）由恒成立
即恒成立，
设
①当时，
恒成立
②当时，由二次函数的性质不可能恒成立
③当时，由于
所以在
上单调递减 由
得
，恒成立
综上所述：所求的取值范围是
．
三、填空题
1.在中，分别是角的对边，，且，，则的值为________；
【答案】
【解析】在中,由余弦定理可得.
.
2.数列中，，则其通项公式=________；
【答案】
【解析】两边同时取倒可得：.
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.
.
所以.
3.已知,且，则_______；
【答案】
【解析】,
.
平方得，求得.
又,所以,.
.
.
.
点睛：三角化简求值时常遇见，和被称为“亲密三姐妹”，即关系密切，任意两者具有等量关系.,,
.
4.函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足：,
,考查下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；
④数列为等比数列.
以上结论正确的是__________．
【答案】②③④
【解析】①因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，
∴令x=y=1,得f(1)=0，故①错误，
②令x=y=−1,得f(−1)=0；
令y=−1,有f(−x)=−f(x)+xf(−1)，
代入f(−1)=0得f(−x)=−f(x)，
故f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数。

故②正确，
③若 (n∈N∗)，
则
.为常数.
故数列{}为等差数列，故③正确，
④∵f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x)，
∴当x=y时,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，
则，
.
…
则，
若n∈N∗)，
则为常数，
则数列{}为等比数列，故④正确，
故答案为：②③④。