苏教版八年级数学(上册)函数

（5）如图， A、B两地相距 200 km，一列火车 从B 地出发沿 BC 方向以 120 km/h 的速度行驶，在行 驶过程中，这列火车离A 地的路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的函数关系。
A
B
200 km
C
y km
解：（5） y 与 x 之间的函数关系为：y＝120x＋200， y 是 x 的一次函数；但不是正比例函数。
输入 x ＋2
解：y 是 x 的函数． 当变量 x 变化时，变
×5 －4
量y 总有唯一值与之对应． 输出 y
小结：
通过这节课的学习，你有哪些收获？
（1）首先感受了生活中反映变化过程的几个事例， 并从中抽象出常量和变量的概念； （2）如果在一个变化的过程中有两个变量x和y， 并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值 与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量．
情境 给汽车加油的加油枪流量为25L/min. 如果加油
前油箱里没有油，那么在加油过程中，用y(L)表示油 箱中的油量，x (min)表示加油时间. （1）y是x的函数吗？说说你的理由. （2）y与x之间有怎样的函数表达式？ （3）如果加油前油箱里有6L油，y与x之间有怎样的 函数表达式？
解：（1）因为对于变量 x (min)的每一个值，变量 y (L) 都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数．
解：y＝－15t＋465（0≤t≤31）
y 是 t 的一次函数，但不是正比例函数。
2．一个长方形的长为15cm，宽为 10cm．如果将长方形的长减少xcm，宽 不变，那么长方形的面积y(cm2)与x(cm) 之间有怎样的函数表达式？判断 y 是否 为 x 的一次函数，是否为 x的正比例函 数。
解：y＝150－10x（0≤x≤15），
（2）y＝25x （3）y＝25x＋6
由上面情境，我们得到了一些函数表达式：
y 25x 、y 25x 6 、Q 40 s 、y 100t、g h 10． 10
这些函数表达式有什么共同特点？
这三个函数表达式都具有 y kx b (k、b 为常
数，且k≠0 ) 的形式。
一般地，如果两个变量 x 与 y 之间的函数关系，
（4）如图，高速列车以 300 km／h的速度 驶离 A 站，在行驶过程中，这列火车离开 A 站 的路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的函数关系；
A
y km
解：（4） y 与x 之间的函数关系为： y ＝300x，y 是 x 的一次函数，也是正比例函数。
下列变化过程中，变量 y 是变量 x 的一次函数吗？是正比例函数吗？
1．“沙漏”是我国古代一种计量时间的仪 器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容 器中的数量来计算时间．请说出该变化过程 中有哪几个变量，自变量什么？
解：该变化过程中有两个变量：漏到另一 容器中细沙的数量和经过的时间；
其中自变量是：漏到另一容器中细沙 的数量．
2．按图示的运算程序，输入一 个实数 x ，便可输出一个相应 的实数 y . y 是 x 的函数吗？ 为什么？
问题2 已知水库的水位变化与蓄水量变化情 况如下表所示：
水位/m 106
120
133
135
…
蓄水/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 …
在这一变化过程中的变量是 水库水位和水库蓄水量．
这两个变量之间的关系是 蓄水量随着水位的升高而增 大，随着水位的下降而减少，当水位稳定不变时，蓄 水量也稳定不变．
苏教版八年级数学（上册）
函数
列车从甲地驶往乙地，在16:17到16:22这个时段， 列车在匀速行驶的过程中，有哪些量？
在这些量中有哪些量是没有变化的？哪些量是不断 变化的？
常量：在某一在变这化一过程中，数没值有保变持化不的变量的是量：叫做常量． 列车行驶的速度不变；
从甲地到乙地的路程不变． 变量：在某一Байду номын сангаас变这化一过过程程中中，，可变以化取了不的同量数是值：的量叫做变量．
作业：
举出你身边函数的例子，并思考它们 可以用怎样的形式进行表示？
苏教版八年级数学（上册）
一次函数
同学们，上节课，我们学习了函数， 你能说说什么是函数吗？ 某变化过程中有两个变量x、y，如果对 于x在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x的函数，x叫做自变量。 函数通常有哪几种表示方法？ 三种：列表法、图像法、解析法.
(－2，－3)、(－1，－1)、(0，1) (1，3)、(2，5)。
4
3• 2•
1•
（3）连线。
-3 -2 -1 •o 1 2 3 x • -1
为什么要“连线”？怎样连线？
-2
-3
试一试
仿照刚才方法画一次函数 y＝－x＋2的图像。
思考：画一次函数图像的一般步骤是什么？ 一次函数的图像是什么样的图形？
把一根2m长的铁丝围成一个长方形． （1）当长方形的宽为0.1m时，长为多少？ （2）当长方形的宽为0.2m时，长为多少? （3）这个长方形的长是宽的函数吗？为什么？
解：（3）在这个变化过程中有两个变量
“长” 和“宽”；“长”随着“宽”的变化
而变化；且对于“宽”的每一个值，“长”
都有唯一确定的值与之对应. 所以长方形的 长是宽的函数．
（1）列表； （2）描点； （3）连线．
交流
（1）列表。
x
… －2 －1
y＝2x＋1 … －3 －1
01 2… 13 5…
表中x的值如何选取？表中y的值如何确定？
这样我们就得到了函数图像上的5个点的坐标： (－2，－3)、(－1，－1)、(0，1)、(1，3)、(2，5)．
交流
y＝2x＋1
y
（2） 描点：
（3）一棵树现在高40厘米，每个月长高3厘 米，x月后这棵树的高度为y（厘米）；
（4）多边形的内角和s与边数n的函数关系。
（1）已知函数y＝4x＋5， 当x＝－3时，y＝_－__7_； 当y＝5时，x＝_0___。
（2）已知函数y＝－3x＋1，
当x＝2时，y＝_－__5_；
1
当y＝0时，x＝____。
老师想对你说
实际问题
转化 数学模型
解决
(确定一次函数 的解析表达式)
课外作业
这两节课我们主要研究了一次函数的 表达式，一次函数的图像又具有什么特点 呢？请以一具体实例画图说明。
苏教版八年级数学（上册）
一次函数的图像
引入新课
通常，我们按下面的步骤，在直角坐标系 中画一次函数y＝2x＋1的图像。
下列变化过程中，变量 y 是变量 x 的一次函数吗？是正比例函数吗？
（3）长方形的长为常量 a 时，面积 S 与宽x 之间的函数关系；
解：（3） S 与 x 之间的函数关系 式为：S ＝a x，因为a ≠0，所以 S 是 x 的一次函数，也是正比例函数。
下列变化过程中，变量 y 是变量 x 的一次函数吗？是正比例函数吗？
某产品每件的销售价x元与产品的日销售 量y件之间的关系如下表：
x(元) 15
20
25
…
y(件) 25
20
15
…
若日销售量y是销售价x的一次函数。 （1）求出日销售量y件与销售价x元的函数表 达式；
（2）若该产品每件成本10元，销售价定为 30元时，求每日的销售利润。
解： （1）设此函数表达式为y＝kx＋b，则
( b＝0 )
数，且 k ≠0 )。
苏教版八年级数学（上册）
一次函数（2）
写出下列各题中y与 x之间的函数表达式，并 判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）摩托车以50千米/时的速度匀速行驶，行 驶路程y（km）与行驶时 间x（h）之间的关系；
（2）正方体的表面积y（cm 2）与它的棱长x （cm）之间的关系；
3
甲、乙两地相距520km，一辆汽 车以80km/h的速度从甲地开往乙地， 行驶了t（h）。试问剩余路程s（km） 与行驶时间t（h）之间有怎样的函数 解析式？并求t的取值范围。
解：s＝520－80t (0≤t ≤6.5)．
在弹性限度内，弹簧长度y（cm）是所挂物体 的质量x（g）的一次函数，已知一根弹簧挂10g 物体时的长度为11cm，挂30g物体时的长度为 15cm，试求y与x的函数表达式。
我们把这种解题方法成为“待定系数法”。
如何用“待定系数法”确定一次函数的表 达式？
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是：
①设一次函数的表达式y＝kx＋b(k≠0)； ②把已知条件代入表达式得到关于k、b的方程 (组）；
③解方程（组），求出k、b的值； ④将k、b的值代回所设的表达式。
一次函数的表达式中有两个待定系数，因而需 要两个条件。
可以表示为y = k x + b (k、b为常数，且 k≠0) 的形式。
那么称 y 是 x 的一次函数(linear function)。 特别地，当 b＝0 时，y 叫做 x 的正比例函数。 说明：正比例函数 y ＝ k x 是特殊的一次函数。
同桌之间互写三个一次函数表
达式，并指出其中的k 和b。
列车行驶的时间在不断变化； 列车距离起点和终点的路程也在不断变化．
你还能举出生活中的某些变化过程， 并说明其中的常量和变量吗？
在各种变化过程中往往存在着两个互相联系的变量．
问题1 一石激起千层浪，水滴泛起层层波．变 化中的波纹可以看作是一个不断向外扩展的圆．
在这一变化过程中的变量是 波纹圆的面积和半径． 这两个变量之间的关系是 波纹圆的面积随着半径的 变化而变化；随着半径的确定而确定．
总结：
判断一个函数是否为一次函数，只 要看它的函数表达式是否具备 y＝k x＋b
（ k、b 为常数，且 k≠0 ）的形式；
判断一个函数是否为正比例函数， 只要看它的函数表达式是否具备 y＝k x
（ k 为常数，且 k≠0 ）的形式。
1．水池中有水 465 m3，每小时排水 15m3，排水 t h后，水池中还有水 y m3．试 写出 y 与 t 之间的函数表达式，并判断 y 是 否为 t 的一次函数，是否为 t 的正比例函数； 写出自变量的取值范围。
下列变化过程中，变量 y 是变量 x 的一 次函数吗？是正比例函数吗？
（1）正方形面积 S 与边长 x 之间的函数关系； （2）正方形周长 l 与边长 x 之间的函数关系．
解：（1） S 与 x 之间的函数关系式为： S＝ x2 ， S 不是 x 的一次函数.
（2） l 与 x 之间的函数关系式为： l ＝ 4x， l是 x 的一次函数，也是正比例函数。
问题3 如图，搭一条小鱼需要8根火柴，每多搭一 条小鱼就要增加6根火柴，请说出搭小鱼过程中的 常量和变量．
在这一变化过程中的变量是 总 共 需 要 的 火 柴 数 和所搭小鱼的条数． 这两个变量之间的关系是：S＝8＋6(n－1) 总共需要的火柴数s随小鱼条数n的增加而增加，随小 鱼条数n的减少而减少，当小鱼条数n一定时，火柴数 s也保持一定．
想一想
画一次函数图像的一般步骤:
（1）列表；（2）描点；（3）连线。 结论:
一次函数y＝kx＋b（k，b都为常数且k≠0）可以 用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线也叫做 一次函数y＝kx＋b的图像，以后就称它为： 直线 y＝kx＋b 。
由题意得，
15k＋b＝25 ， 解之得 k＝－1，
20k＋b＝20 ，
b＝40．
所以函数表达式为：y＝－x＋40．
（2）当x＝30时，y＝－30＋40＝10（件），
（30－10）×10＝200（元）．
答：每日的销售利润为200元．
通过这节课的学习 对自己说，你有哪些收获？ 对同学说，你有哪些温馨提示？ 对老师说，你有哪些困惑？
水位/m
106
蓄水/m3 2.30×107
120 7.09×107
133 1.18×108
135
…
1.23×108 …
上面的每个变化过程中有哪些共同之处？
（1）都有两个变量．
（2）当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发 生变化；当其中一个变量确定时，另一个变量也随着 确定．
函数的概念：
一般地，如果在一个变化的过程中有 两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值， 变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称 y是x的函数，x是自变量.
y 是x的一次函数，但不是正比例函数。
通过这节课的学习， 对自己说，你有哪些收获？ 对同学说，你有哪些温馨提示？ 对老师说，你有哪些困惑？
老师想对你说
实际生活
一次函数 ：y＝k x＋b (k、b为
常数，且k≠0)；
具有y＝ k x＋b (k、b为常
数，且k≠0)的形式；
正比例函数 ：y＝k x ( k 为常