上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题12 图形的性质之解答题(50道题)(解析版)

专题12图形的性质之解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．（2018•上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【答案】解：（1）∵OD⊥AC，
∴，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴
∴
，即
，
，
∴，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝2，
∴AO＝BO＝1，
∴AF＝AOsin∠AOF＝1，
则AC＝2AF；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO＝∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠EBC，
∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC＝DF、EC＝EF，
又∵AO＝OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF＝t，则BC＝DF＝2t，
∵DF＝DO﹣OF＝1﹣t，
∴1﹣t＝2t，
解得：t，
则DF＝BC、AC，∴EF FC AC，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠D，
则cot∠ABD＝cot∠D；
（3）如图2，
（
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC、∠AOD＝∠COD，
则2180，
解得：n＝4，
∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°，
∴BC＝AC，
∵∠AFO＝90°，
∴OF＝AOcos∠AOF
则DF＝OD﹣OF＝1
，
，
∴△S ACD AC•DF（1）．
【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．
2．2017•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】证明：（△1）在ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝18045°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．3．（2019•杨浦区三模）已知，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，M为DE的中点，联结BE．
（1）如图1，当点A、D、E在同一直线上，联结CM，求证：CM；
（2）如图2，当点D在边AB上时，联结BM，求证：BM2＝（）2+（）2．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠DCB，∠BAC＝∠ABC＝45°，
，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴AE﹣AD＝AE﹣BE＝DE，
∵M为DE的中点，∠DCE＝90°，
∴CM DE（AE﹣AD）；
（2）证明：同（△1）得：ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2，
∵M为DE的中点，
∴DE＝2BM，
∴4BM2＝BE2+BD2＝AD2+BD2，
∴BM2＝（）2+（）2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4．（2019•静安区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），连结PA并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．
（△1）求ABC的面积；
（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）连接△PC，如果PQC是直角三角形，求BP的长．
【答案】解：（1）过点A作AH⊥BC交于点H，
在△Rt ABH中，tan∠ABC2，
设BH＝m，∴AH＝2m，
根据勾股定理得，m2+（2m）2＝36，
∴m＝﹣2（舍）或m＝2，
∴BH＝2，AH＝2m＝4，
在△Rt AHC中，AC＝9，
根据勾股定理得，CH7，
∴BC＝BH+CH＝9，
AH•BC49＝18；
S△
ABC
（2）过点A作AG⊥PA交于点G，
由（1）知，BC＝9，
∵AC＝9，
∴AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∵BM∥AC，
∴∠BAC＝∠ABP，
∴∠ABP＝∠ABC，
∵AH⊥BC，AG⊥BP，
∴AG＝AH＝4，BG＝BH＝2，
∴PG＝BP﹣BG＝x﹣2
根据勾股定理得，AP，
∵BM∥AC，
∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP，
∴△ABP∽△CQA，
∴，
其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP，AC＝9，
；
∴，
∴CQ，y①（x＞0）
（3）连接△PC，PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，
在△Rt ABH中，cos∠ABH，
∴cos∠PQC＝cosα
其中CQ，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP，
∴②
联立①②解得：x＝﹣14（舍）或x＝9，
即BP的长为9．
【点睛】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的方法，求出对应线段长度是解题的关键，本题难度较大．
5．（2019•奉贤区一模）如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．
（1）设，，用向量、表示；
（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．
【答案】解：（1）∵AD是△ABC的中线，，
∴，
∵，
∴，
∵G是重心，
∴（），
∴；
（2）延长BG交AC于H，
∵∠GAC＝∠GCA，
∴GA＝GC，
∵G是重心，AC＝2，
∴AH AC＝1，
∴BH⊥AC，
在△Rt ABH中，∠AHB＝90°，AB＝3，
∴BH2，
∴BG BH．
【点睛】本题考查了三角形的直线，平面向量，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2019•崇明区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP ＝x．
（1）用含x的代数式表示线段DG的长；
（△2）设DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（△3）PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．
【答案】解：（1）∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，
在△Rt ABD中，AD4，
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠BPG＝90°，
∴△ABD∽△GBP
∴
∴BG BP x，
∴DG＝BG﹣BD x﹣3
（2）∵PF∥AC
∴△BFP∽△BCA
∴
即
∴BF x，
∴FD＝BD﹣BF＝3x，
∵∠DGE+∠DEG＝∠DGE+∠ABD，
∴∠ABD＝∠DEG，∠ADG＝∠ADB＝90°
∴△DEG∽△DBA
∴
∴
∴DE x
∴△S DEF＝y DF×DE（3x）×（x）x2x（＜x＜）（3）若EF⊥PG时，
∵EF⊥PG，ED⊥FG，
∴∠FED+∠DEG＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝∠DEG，且∠EDF＝∠EDG，
∴△EFD∽△GDE
∴
∴ED2＝FD×DG
∴（x ）2＝（3x）（x﹣3）
∴5×57x2﹣1138x+225×5＝0
∴x（不合题意舍去），x
若EF⊥PF，
∴∠PFB+∠EFD＝90°，且∠PFB＝∠ACB，∠ACB+∠DAC＝90°
∴∠EFD＝∠DAC，且∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△EDF∽△CDA
∴
∴
∴x
综上所述：当BP为或时，PEF为直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，
（
熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
7．2019•嘉定区二模）如图已知：△ABC中，AD是边BC上的高、E是边AC的中点，BC＝11，AD＝12，DFGH为边长为4的正方形，其中点F、G、H分别在AD、AB、BC上．
（1）求BD的长度；
（2）求cos∠EDC的值．
【答案】解：（1）∵四边形DFGH为顶点在△ABD边长的正方形，且边长为4，
∴GF∥BD，GF＝DF＝4，
∴，
∵AD＝12，
∴AF＝8，
则，
解得：BD＝6；
（2）∵BC＝11，BD＝6，
∴CD＝5，
在直角△ADC中，AC2＝AD2+DC2，
∴AC＝13，
∵E是边AC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴∠∠．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、勾股定理、三角函数的应用及直角三角形的性质等．
8．（2019•松江区二模）如图，已知ABCD中，AB＝AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE．
（1）求证：四边形ACDE是菱形；
（2）联结OB，交AC于点F，如果OF＝OC，求证：2AB2＝BF•BO．
【答案】（1）证明：∵CO⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠AEC+∠B＝90°，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AE＝AC，
∴AE＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD，AB＝CD＝AE，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∵AE＝AC，
∴四边形AEDC是菱形．
（2）解：连接OB交AC于F．
∵四边形AEDC是菱形，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠AEO，
∵∠ABF＝∠OBE，
（
∴△BAF∽△BOE，
∴，
∴BA•BE＝BF•BO，
∵BE＝2BA，
∴2AB2＝BF•BO．
【点睛】本题考查菱形的性质和判定，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
9．2019•松江区二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，BD＝6，sinA，求梯形ABCD 的面积．
【答案】解：∵DC∥AB，AB⊥BC，
∴∠C＝∠ABC＝90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠DBC+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
∵sinA，
∴sinA＝sin∠DBC，
∵BD＝6，
∴，，
∴AB＝9，DC＝4，
在△Rt DCB中，由勾股定理得：BC2，
∴梯形ABCD的面积是（4+9）×213．
【点睛】本题考查了梯形和解直角三角形，能通过解直角三角形求出D C、BA的长度是解此题的关键．10．（2019•奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD，点E在边AD上，AF⊥BE，垂足为点F，点G在线段BF上，BG＝AF．
（1）求证：CG⊥BE；
（2）如果点E是AD的中点，联结CF，求证：CF＝CB．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵AF⊥BE，
∴∠F AB+∠FBA＝90°．
∵∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠F AB＝∠CBG．
又∵AF＝BG，
∴△AFB≌△BGC（SAS）．
∴∠AFB＝∠BGC．
∴∠BGC＝90°，∴CG⊥BE．
（2）∵∠ABF＝∠EBA，∠AFB＝∠BAE＝90°，
∴△AEB∽△F AB．
∴．
∵点E是AD的中点，AD＝AB，
∴．
∵AF＝BG，
∴，即FG＝BG．
∵CG⊥BE，
∴CF＝CB．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．难度中等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键．
11．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO AC，DO BO，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
∠∠
在△ECO和△FDO中，，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
12．（2019•奉贤区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝8，对角线AC平分∠BCD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交边AB的延长线于点F，联结CF．
（1）求腰DC的长；
（2）求∠BCF的余弦值．
【答案】解：（1）∵∠ABC＝90°，BC＝2AB＝8，
∴AB＝4，AC4，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∵DE⊥AC，
∴CE AC2，
在△Rt DEC中，∠DEC＝90°，tan∠DCE，
在△Rt ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，
∴，
∵CE＝2，
∴DE，
在△Rt DEC中，由勾股定理得：DC5；
即腰DC的长是5；
（2）设DF与BC相交于点Q，
∵∠FBC＝∠FEC＝90°，∠BQF＝∠EQC，
∴由三角形内角和定理得：∠AFE＝∠ACB，
∵∠F AD＝∠ABC＝90°，
∴△AFD∽△BCA，
∴，
∵AD＝DC＝5，，
∴，
解得：AF＝10，
∵AE＝CE，FE⊥AC，
∴CF＝AF＝10，
在△Rt BCF中，∠CBF＝90°，cos∠BCF．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
13．（2019•杨浦区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D、E分别是边AB、BC 的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．
求证：（1）四边形FBGH是菱形；
（2）四边形ABCH是正方形．
【答案】证明：（1）∵点F、G是边AC的三等分点，
∴AF＝FG＝GC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DH∥BG．
同理：EH∥BF．
∴四边形FBGH是平行四边形，
连结BH，交AC于点O，
∴OF＝OG，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BH⊥FG，
∴四边形FBGH是菱形；
（2）∵四边形FBGH是平行四边形，
∴BO＝HO，FO＝GO．
又∵AF＝FG＝GC，
∴AF+FO＝GC+GO，即：AO＝CO．
∴四边形ABCH是平行四边形．
∵AC⊥BH，AB＝BC，
∴四边形ABCH是正方形．
【点睛】本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
14．（2019•虹口区一模）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD 上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．（1）如果cos∠DBC，求EF的长；
（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值
范围；
（3）连接△CG，如果FCG是等腰三角形，求AD的长．
【答案】解：（1）将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，
∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，
cos∠DBC，则：BF＝9，
BF•AB EF•BG，即：9×6＝6×EF，
S△
BEF
则EF＝9；
（2）过点A作AH⊥BG交于点H，连接AG，设：BF＝a，
在△Rt BGF中，cos∠GBF＝cosα，则tanα，sinα，y①，
tanα，解得：a2＝36+（）2…②，
把②式代入①式整理得：y（x）；
（3）①当GF＝FC时，
FC＝10﹣a＝GF＝asinα，
把②式代入上式并解得：x，
②当CF＝CG时，
同理可得：x；
故：AD的长为或．
【点睛】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．
15．（2019•徐汇区一模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB，点E在对角线AC 上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（△3）当DFC是等腰三角形时，求AD的长．
【答案】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，
∵cosα，∴sinα，
过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，
如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，
解得：a＝2或（舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，
CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，
由（1）得：AC•CE＝CD2，
即：y x2x+10（x＞0）…①，
（3）①当DF＝DC时，
∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10x2x+10+x，
解得：x＝6；
②当FC＝DC，
则∠DFC＝∠FDC＝α，
则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα，
即：5x+8y＝80，
将上式代入①式并解得：x；
③当FC＝FD，
则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在；
故：AD的长为6和．
【点睛】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．
16．（2019•宝山区一模）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，
AE＝3．
（1）求的值；
（2）设，，求（用含、的式子表示）．
【答案】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴，即．
（2）．
【点睛】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．17．（2019•杨浦区一模）已知：梯形A BCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（△3）当AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
【答案】解：（1）如图1中，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∵AE＝EB＝3，AD＝3，
∴AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠BEF＝∠F＝45°，
∴EF＝DE＝3，FB＝3，
∵DF⊥DC，
∴∠FDC＝90°，
∴∠C＝∠F＝45°，
∴DF＝DC＝6，
∴CF DC＝12，
∴BC＝CF﹣BF＝12﹣3＝9．
（2）结论：：∠DCE的大小是定值．
理由：如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．
∵∠EBC＝∠EDC＝90°，EO＝OC，
∴OD＝OE＝OC＝OB，
∴E，B，C，D四点共圆，
∴∠DCE＝∠ABD，
∵在△Rt ADE中，tan∠ABD
∴∠ABD的大小是定值，
∴∠DCE的大小是定值，
∴tan∠DCE．
（3）如图2﹣1中，连接AF．
，
设AE＝x，FB＝y，EB＝m，
∵△S AEF•AE•FB＝3，
∴xy＝6，
∵AD∥FB，
∴，
∴，
∴xy＝3m，
∴6＝3m，
∴m＝2，
∴EB＝2，AE＝4，
在△Rt AED中，DE5，
在△Rt DEC中，∵tan∠DCE，
∴DC＝10，
∴△S DEC•DE•DC5×10＝25．
当点E在AB的延长线上时，同法可得AE＝8，DE，∴CD＝2DE＝2，
∴△S DEC•DE•DC＝573．
综上所述，△DEC的面积为25或73．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．
18．（2019•虹口区一模）如图，在△Rt ABC中，∠C＝90°，cotA，BC＝6，点D、E分别在边AC、AB 上，且DE∥BC，tan∠DBC．
（1）求AD的长；
（2）如果，，用、表示．
【答案】解：（1）∵在△Rt ABC中，∠C＝90°，cotA，BC＝6，
∴，则AC＝8．
又∵在△Rt BCD中，tan∠DBC，
∴，
∴CD＝3．
∴AD＝AC﹣CD＝5．
（2）∵DE∥BC，
∴．
∴DE BC．
∵，，
∴．
（
∴．
【点睛】考查了平面向量，解直角三角形，平行线的性质．注意：向量是有方向的．19．2019•闵行区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，y．
（1）求AB的长；
（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果四边形
四边形
，求线段CE的长．
【答案】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N．
∵AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，
∴BM，
在△Rt ABM中，∠AMB＝90°，
∴∠．
∴AB＝13．
（2）∵，
∴．即得，
∵∠AFD＝∠BEC，∠ADF＝∠C．
∴△ADF∽△BCE．
∴，
又∵CE＝x，FD x，AB＝CD＝13．即得FC．
∵AD∥BC，
∴．
∴．
∴．
∴所求函数的解析式为，函数定义域为＜＜．
（3）在△Rt ABM中，利用勾股定理，得．
．
∴
梯形
∵四边形，
四边形
＝80．
∴S
四边形ABEF
设△S ADF＝S．由△ADF∽△BCE，，得△S AEC＝9S．
过点E作EH⊥BC，垂足为点H．
由题意，本题有两种情况：
（ⅰ）如果点 G 在边 AD 上，则
S 四边形 ABCD ﹣S 四边形 ABEF ＝8S ＝40．
∴S ＝5．
∴△S AEC ＝9S ＝45．
∴
．
∴EH ＝6．
由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH ∥DN ．
∴
．
又 CD ＝AB ＝13，
∴
，
（ⅱ）如果点 G 在边 DA 的延长线上，则 S 四边形 ABCD +S 四边形 ABEF +△S AEF ＝9S ．
∴8S ＝200．解得 S ＝25．
∴△S BEC ＝9S ＝225．
∴
．解得 EH ＝30．
∴
．
∴
，
∴或．
【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．20．（2019•崇明区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设，，求向量（用向量、表示）．
【答案】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE BC，
∴．
又AC＝6，
∴AE＝4．
（2）∵，，
∴．
又DE∥BC，DE BC，
∴（）．
【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．21．（2019•长宁区一模）如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，点F在DB的延长线上，联结BC，若BC 平分∠ABF，AE＝2，BE＝3．
（1）求BD的长；
（2）设，，用含、的式子表示．
【答案】解：（1）∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF．
∵AC∥BD，
∴∠CBF＝∠ACB．
∴∠ABC＝∠ACB．
∴AC＝AB．
∵AE＝2，BE＝3，
∴AB＝AC＝5．
∵AC∥BD，
∴
∴
∴BD
．．；
（2）∵AC∥BD，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大．
22．（2019•杨浦区三模）△ABC中，∠ACB＝90°，tanB，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆
心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．
（1）如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当圆O与圆A存在公共弦MN时（如图2），设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）设圆A与边AB的交点为F，联结OE、△EF，当OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．
【答案】解：（1）圆A与圆O外切，理由如下：
∵∠ACB＝90°，tanB，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，
作OP⊥BE于P，如图1所示：
则PB＝PE，OP∥AC，
∴，
设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，
∴OB x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，
∵AG＝OB，
∴2x﹣1x，
解得：x，
∴OB═，
∴OA＝AB﹣OB＝52OB，
∴圆A与圆O外切；
（2）连接OM，如图2所示：
∵圆O与圆A存在公共弦MN，
∴OA与MN垂直平分，
∴∠ODM＝90°，DM MN y，AD＝OD（5﹣x），
由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即（y）2＝x2﹣（）2，
整理得：y2＝3x2+10x﹣25，
∴y（＜x＜5）；
（3）分三种情况：
①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB；
②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，如图3所示：
作EH⊥OF于H，则OF＝OH OB，
∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，
∴△BEH∽△BAC，
∴，
∴EH，
在△Rt OEH中，由勾股定理得：（）2+（OB）2＝OE2＝OB2，
解得：OB；
③当O与A重合时，OE＝OF，F与B重合，OE＝AB＝5；
综上所述，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了两圆的位置关系、相交两圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．23．（2019•青浦区二模）已知：在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．
（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；
（2）如图2，设BC＝x，y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．
【答案】解：（1）如图1中，连接CE．
在△Rt ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB，
∵CD是⊙Q的直径，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥AB，
∵BD＝AD，
∴CD AB，
∵•AB•CE•BC•AC，
∴CE，
在△Rt CDE中，DE．（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．
∵∠FCK＝90°，
∴FK是⊙Q的直径，
∴直线FK经过点Q，
∵CD是⊙Q的直径，
∴∠CFD＝∠CKD＝90°，
∴DF⊥BC，DK⊥AC，
∵DC＝DB＝DA，
∴BF＝CF，CK＝AK，
∴FK∥AB，
∴，
∵BC＝x，AC＝1，
∴AB，
∴DC＝DB＝DA，
∵△ACE∽△ABC，
∴可得AE，
∴DE＝AD﹣AE，∴，
∴，
∴y（x＞1）．
（3）如图3中，连接FK．
∵CE＝CG，
∴∠CEG＝∠CGE，
∵∠FKC＝∠CEG，
∵FK∥AB，
∴∠FKC＝∠A，
（
∵DC＝DA，
∴∠A＝∠DCA，
∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，
∴∠CDA＝∠ECG，
∴EC＝DE，
由（2）可知：，
整理得：x2﹣2x﹣1＝0，
∴x＝1或1（舍弃），
∴BC＝1．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．2019•浦东新区二模）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．
（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；
（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；
（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．
【答案】解：（1）连接PO并延长交弦AB于点H，如图1所示：
∵P是优弧的中点，PH经过圆心O，
∴PH⊥AB，AH＝BH，
在△AOH中，∠AHO＝90°，AH AB＝4，AO＝5，
∴OH3，
在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8，
∴AP4；
（2）当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；理由如下：作OG⊥AB于G，如图2所示：
∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB，
∴△OBG∽△ABM，
∴，即，
解得：BM，
∴OM5，
∵＜，
∴当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；
（3）①当点N在线段AB延长线上时，
当圆N与圆O相外切时，作OD⊥AB于D，如图3所示：
∵OA＝OB＝5，
∴AD＝DB AB＝4，
∴OD3，
∵∠BNO＝∠BON，
∴BN＝OB＝5，
∴DN＝DB+BN＝9，
在△Rt ODN中，由勾股定理得：ON3，
∵圆N与圆O相切，
∴圆N半径＝ON﹣5＝35；
当圆N与圆O相内切时，圆N半径＝ON+5＝35；
②当点N在线段AB上时，此时点P在弦AB的下方，点N在圆O内部，只存在圆N与圆O相内切，
如图4所示：
作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝4，OE3，
∵∠BNO＝∠BON，
∴BN＝OB＝5，
∴EN＝BN＝BE＝1，
在△Rt OEN中，由勾股定理得：ON，
∴圆N半径＝5﹣ON＝5；
综上所述，当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，圆N半径的长为35或35或5．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、直线与圆的位置关系、相切两圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系、相切两圆的性质是解题的关键．
25．（2019•静安区二模）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥DE交AC于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠CBF；
（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．
【答案】（1）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∵直线AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵点E为弦AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC，
∵BF⊥DE，
∴∠BPD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠CBF+∠ACB＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBF+∠ABC＝90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠CBF；
（2）证明：连接OB．如图2所示：
∵AD⊥BC，OD＝DB，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∴∠BOD＝45°．
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB．
∵∠BOD＝∠OBA+∠OAB，
∴∠BAO∠BOD＝22.5°，
∵AB＝AC，且AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAO＝45°．
∵∠2＝90°，即BF⊥AC，
∴在△ABF中，∠ABF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴AF＝BF．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
26．（2019•静安区二模）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．（1）求证：PE∥DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．
【答案】（1）∵证明：梯形ABCD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCB，
∵PB＝PE，
∴∠B＝∠PEB，
∴∠DCB＝∠PEB，
∴PE∥CD；
（2）解：分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC，
∴四边形ADGF是矩形，PH∥AF，
∵AD＝2，BC＝DC＝6，
∴BF＝FG＝GC＝2，
在△Rt ABF中，
AF4，
∵PH∥AF，
∴，即，
∴PH x，BH x，
∴CH＝6x，
在△Rt PHC中，PC，
∴y，即y＜＜，
（3）解：作EM∥PD交DC于M．
∵PE∥DC，
∴四边形PDME是平行四边形．
∴PE＝DM＝x，即MC＝6﹣x，
∴PD＝ME，∠PDC＝∠EMC，
又∵∠PDC＝∠B，∠B＝∠DCB，
∴∠DCB＝∠EMC＝∠PBE＝∠PEB．
∴△PBE∽△ECM，
∴，即，
解得：x，
即BE，
∴PD＝EC＝6，
当两圆外切时，PD＝r P+R，即R＝0（舍去）；
当两圆内切时，PD＝r P﹣R，即R1＝0（舍去），R2；
即两圆相交时，0＜R＜．
【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（2019•普陀区二模）如图1，在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC，点O是边AC上
一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作⊙O，⊙O与射线AB交于点D，以点C为圆心，CD为半径作⊙C，设OA＝x．
（1）如图2，当点D与点B重合时，求x的值；
（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在点O的运动过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．
【答案】解：（1）如图1中，
在△Rt ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC，
∴AC＝4，BC3，
∵OA＝OB＝x，
∴OC＝4﹣x，
在△Rt BOC中，∵OB2＝BC2+OC2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
∴x
（2）如图2中，作CH⊥AB于H，OG⊥AB于G，EK⊥AC于K，连接CE．
∵•AB•CH•BC•AC，
∴CH，AH，
∵OD＝OA＝x，OG⊥AD，
∴AG＝DG＝OA•cosA x，
∴AD x，DH x，
∴CD2＝（）2+（x）2，
∵AK＝AE•cosA y，EK y，
∴CE2＝（4y）2+（y）2，
∵CD＝CE，
∴（）2+（x）2＝（4y）2+（y）2，
∴x2x＝y2y，
∴（y）2
（x﹣2）2，
∵y＜，x＞2，
∴y x，
∴y x（2＜x）．
（3）①如图3﹣1中，当⊙C经过点B时，
易知：BH＝DH，
∴BD，
∴AD＝5，
∴x，
∴x，
观察图象可知：当0＜x＜时，⊙C与线段AB只有一个公共点．
②如图3﹣2中，当⊙C与AB相切时，CD⊥AB，易知OA＝2，此时x＝2，
③如图3﹣3中，当＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．
（
综上所述，当0＜x＜或x＝2或＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28．2019•嘉定区二模）在圆O中，AB是圆O的直径，AB＝10，点C是圆O上一点（与点A、B不重合），点M是弦BC的中点．
（1）如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；
（2）如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；
（3）如图3，如果AB：BC＝5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于点H，与射线BO交于圆内点F．探究一：如果设BD＝x，FO＝y，求y关于x的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探究．
【答案】解：（1）过点O作ON∥BC交AM于点N，如图1
∴，，
∵
∴
∵点M是弦BC的中点∴BM＝MC
∴，
∴OE：CE＝1：2；
（2）联结OM，如图2
∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O
∴OM⊥BC，∠OMC＝90°，
∵AM⊥OC，∴∠MEO＝90°
∴∠OMC＝∠MEO＝90°又∠MOC＝∠EOM ∴△MOC∽△EOM；
∴，
∵OE：CE＝1：2
∴，
∵OB＝OC
∴∠ABC＝∠OCM
在直角△MOC中，∠
∴∠；
（3）探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM
∵DF⊥OC，
∴DL∥OC，
∴∠LDB＝∠C＝∠B
∴BL＝DL，
∵AB＝10，AB：BC＝5：4，
∴BC＝8，OC＝5，
∵BM＝CM＝4，
∴cos∠OCM
∵DL∥OC，
∴
设BD＝x，则CD＝8﹣x，
∴BL＝DL x，CH（8﹣x），OH＝OC﹣CH＝5（8﹣x），
∵OH∥DL，
∴，
∴；
∴y关于x的函数解析式是
定义域是＜，
探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，
∴OF＝OD，
∵DF⊥OC，
∴OC垂直平分DF，FO＝OL，
∴y＝5x，
∴，
解得：x，
∴BD．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．（2019•虹口区二模）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P 为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．
（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；
（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．
【答案】解：（1）∵BE＝FQ，
∴∠BPE＝∠FPQ，
∵PE＝PB，
∴∠EBP（180°﹣∠EPB），
同理∠FQP（180°﹣∠FPQ），
∴∠EBP＝∠FQP，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBP，
∴∠FQP＝∠ADB，
∴tan∠FQP＝tan∠ADB，
设⊙P的半径为r，则tan∠FQP，
∴，
解得：r，
∴⊙P的半径为；
（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：
在△Rt ABQ中，cos∠AQB，在△Rt PQM中，QM＝PQcos∠AQB
∵PM⊥FQ，PF＝PQ，
，
∴FQ＝2QM，
∴，
当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：。