第9章 养老金计划的精算方法
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第9章 【考试内容】 9.1 养老金计划及其基本函数 养老金计划简介 基本函数 9.2 捐纳金的精算现值
养老金计划的精算方法
每个加入者都按统一数额缴纳 每个加入者都按薪金的统一百分比缴纳 9.3 年老退休给付及其精算现值 年给付额不依赖于年薪的情形 年给付额由后续年薪决定的情形 年给付额由全期平均年薪决定的情形 9.4 9.5 残疾退休给付及其精算现值 解约给付及捐纳金的退还
（3）年薪函数： ①对于x岁加入养老金计划且现年（x+h）岁的参加者的实际年薪记为(AS)x+h，在（x+h+t） 岁的参加者的预期年薪记为(ES)x+h+t。 ②假设一个年薪比例函数Sy，使得
( E S ) xht ( A S ) xh S xht S xh (9 .2 )
其中，Sy不仅反映年薪随业绩与资历的增长而增长，也反映年薪随物价上涨而增长。 【例题9.1】（中国精算师考试样题）某养老金计划假设年薪比例函数为线性的。已知 (ES)45=2(AS)25，当x≥20时，以下与表达式Sx相同的为（
☞ 当 t < m 时：
R x， h， t g 1 0 AS m tm
x h s d s 0 A S x h
t
S xhs S xh
ds
(9 .1 3)
③年给付额由最后m年平均年薪与到退休时的工作数的乘积的一个固定比例来确定,则：
41 41
p 3 0 0 .9 8 ， k 1，，， ， i 0 .0 6， 求该员工所缴纳之捐纳金到退休时 2 3 ...
k
）元。 B．1752900 C．1781000 D．1954300 E．2132400
30 k
v
k
k
41 ( ) p 3 0 1 i
1
v
k k
p xhv 2
( )
1 2
p xhk
( )
(9 .4 )
k 0
说明：式（9.4）也可由假设每一年的捐纳金均在年中缴纳而直接推出，它可作为未来捐 纳金精算值的近似计算公式。 2．每个加入者都按薪金的统一百分比缴纳 若捐纳金表示为年薪的一个固定百分比c，而加入者现在的年薪为(AS)x+h，则未来捐纳金 的精算现值为：
k k k 1 8 0 0 0 1 .0 8 1 0 0 0 0 0 .3 1 .0 6 0 .9 8 k 1 1954300 元 ） （
41 1 .0 6
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3．年给付额由全期平均年薪决定的情形 在这种情形下，年给付额等于整个工作期平均年薪乘以工作年数再乘一个固定百分比 f。
事实上，这相当于计划加入者在整个工作期中的薪金总额乘上固定百分比 f。但由于过去时期
的薪金是已知的，未来时期的薪金是预测的，因此，年给付额应分两部分计算。 我们把现年x+h岁的计划加入者过去的薪金总额记为(TPS)x+h，相应的年给付额部分为 f·(TPS)x+h。相应于未来工作期的年给付额部分为：
将当年的年收入扣除10000元后的剩余部分的30%作为捐纳金向养老金计划供款。该员工需满 71岁时才可退休，已知：k 的累积值为（ A．1680200 【答案】D 【解析】预计第k年的捐纳金为：（ES）30+k=(18000×1.08k－10000)×0.3（元）， 故捐纳金到退休时的积累值为：
ES k 1
( )
(9 .6 )
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【例题9.2】（2008年春季真题）某员工在年初加入养老金计划时年龄刚满30岁，其上一
年的年薪为18000元，该年薪预计每年以8%的比例增加，根据养老金计划，该员工须于每年末
Sx x 15 1 3
。
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§9.2
捐纳金的精算现值
1．每个加入者都按统一数额缴纳
设捐纳金以连续形式缴纳，每年缴纳的总数为c，这时每个现年x+h岁的加入者未来捐纳 金的精算现值为：
c
xh
c ( A S ) xh
xh
0
v t p xh
t
( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S xht S xh
dt
(9 .5 )
如果Sy在每一年内均为常数，对上式右边每个积分使用中点规则，得：
c ( A S ) xh S xh
x h 1
k
1 2
v
k 0
k
1 2
p xh S xht
g AS
xh
m
Z xhk S xh
(9 .1 2 )
其中
Zy m
1 1 1 S y m S y m 1 S y 1 S y 。 m 2 2
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近似地假设退休发生在年中（即t=k+1/2），则：
R ( x， h， k 1 2 ) g
A S xh
S xh
1 m
k k
1
2 1 m 2
S xh s d s
在通常情况下，Sy在每一年内是常数，则：
R ( x， h， k 1 2 ) g ( AS ) xh 1 1 1 S x h k m S x h k m 1 S x h k 1 S x h k S xh m 2 2
0
v t p xh dt c
t
( )
x h 1
v
k k
k 0
p xh v
0
( )
1
s s
p xhk ds
( )
(9 .3)
对上式等号两边每个积分都使用中点规则，则得到：
x h 1
c
k
1 2
v
k 0
k
1 2
p xh c
( )
x h 1
其 中 k
[t ]
（1）养老金计划加入者从退休开始领取年给付额为R（x，h，t）的一个生存年金，该年 金在退休时的精算现值为： R x ， h ， t a r
xh
xh
xht
，
于是现年x+h岁的员工的年老退休给付的精算现值为：
APV
v
k t
p x h x h t R x， h， t a x h t d t
R x， h， t f h t A S
xh
1 m
t tm
S xhs S xh
ds
(9 .1 4 )
其中 f 是个固定的百分比。 类似于式（9.12）推导，用近似计算，式中mZx+h+k表示对Sx+h+k在区间[t，t－m]积分所取的 近似值，则：
f
E S xhs ds 0
t
f
A S xh 0
t
S xhs S xh
ds
(9 .1 5 )
设Sx+h+s是年龄的分段函数并在每个年龄内为常数，又设退休发生在年中，则上式可写成：
f
A S xh
S xh
k 1 1 S xh j S xhk 2 j0
A. x 10 1 B. x 15 1 3 C. x 20 D. x 25 1 5 E. x 30
）。
1 3
【答案】B 【解析】由已知，有：Sx=S20+a(x－20)=1+a(x－20)，由(AS)25· 45/S25=(ES)45=2(AS)25 ，得： S S45=2S25，即 1+25a=2(1+5a)，解得：a=1/15， 故
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2．年给付额由后续年薪决定的情形 ①员工退休金的年给付额由其退休前最后一年的年薪决定，通常是最后年薪的一个固定
比例g，那么
R x， h， t g E S
xht
g AS
(9 .1)
k
px
( )
k 1
p x p x k 1
( )
( )
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（2）年金精算现值因子 ① a xi t ：即x+t岁时因残疾而退休的年金精算现值因子。
② a xr t ：即x+t岁时因年老退休的年金精算现值因子。
R ( x， h， k 1 1 ) f h t AS 2 2 Z xhk S xh
xh
m
若只考虑工作整年数，那么：
R ( x， h， k 1 2 ) f h k
A S xh
m
Z xhk S xh
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b1 h t R x， h， t 3 0 b1 b 2 h t 3 0
（9.7） （k=[t]） （9.8）
③在某一规定年数内，每工作一年增加年给付额b1，超过的工作年数每年增加较少的年给
h t
30 (9 .9 )
h t＞ 3 0
xh
S xht S xh
(9 .1 0 )
②如果年给付额是最后m年平均年薪的一个固定比例g，那么 ☞ 当t＞m时：
R x， h， t g 1 m
t m E S x h s d s
t
g
A S xh
m
t tm
S xhs S xh
ds
(9 .1 1)
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【要点详解】 §9.1 养老金计划及其基本函数
1．养老金计划简介
捐纳金：是指用于支付养老金成本的定期供款。 非捐纳计划：是指养老金成本全由企业负担而员工无须缴付捐纳金的养老金计划。 捐纳计划：是指养老金成本的一部分由加入计划的员工负担，剩余部分由企业负担的养 老金计划。 根据退休年金给付额的不同决定方法 ，养老金计划可以分为确定给付计划（defined benefit plan，简称DB计划）和确定缴费计划（defined contribution plan，简称DC计划）。 2．基本函数 （1）记从x岁到x+1岁的解约概率、死亡概率、因残疾而退休的概率、因年老而退休的概 率分别为：q x( w )、 q x( d )、 q x( i )、 q x( r )
§9.3
年老退休给付及其精算现值
引进函数R(x，h，t)，R(x，h，t)表示在x岁加入计划而现年x+h岁的员工，将在x+h+t岁获
得立即或延期给付年金的年给付额。此外，假设年给付额不变。 1．年给付额不依赖于年薪的情形 ①员工为企业每工作一年，均可在其退休金年给付额上增加一个固定数额b，包括最后的 不足一年部分，这时年给付函数为： R（x，h，t）=b（h+t） ②若年给付额不包括最后的不足一年部分，则： R（x，h，t）=b（h+k） 付额b2。eg. 规定年数为30时，则年给付额为：
( ) (r) r
(9 .1 6 )
其中x+h＜ （ 为限定退休年龄）。
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简化近似公式：
x h 1
APV
k x h
l x 1 l x
( ) ( )
。
设a为所有计划参加者的最低年龄，记 l ( ) 表示存续人数，则：
x
( ( ( ( ( ( 1 q x w ) q x d ) q x i ) q x r ) l x ) p x ) 我们可以通过存续函数计算 k p x( )为： ( ) lxk ( ) p x ( ) k lx ( ) 也可以通过递推的方式来求 k p x ，即
养老金计划的精算方法
每个加入者都按统一数额缴纳 每个加入者都按薪金的统一百分比缴纳 9.3 年老退休给付及其精算现值 年给付额不依赖于年薪的情形 年给付额由后续年薪决定的情形 年给付额由全期平均年薪决定的情形 9.4 9.5 残疾退休给付及其精算现值 解约给付及捐纳金的退还
（3）年薪函数： ①对于x岁加入养老金计划且现年（x+h）岁的参加者的实际年薪记为(AS)x+h，在（x+h+t） 岁的参加者的预期年薪记为(ES)x+h+t。 ②假设一个年薪比例函数Sy，使得
( E S ) xht ( A S ) xh S xht S xh (9 .2 )
其中，Sy不仅反映年薪随业绩与资历的增长而增长，也反映年薪随物价上涨而增长。 【例题9.1】（中国精算师考试样题）某养老金计划假设年薪比例函数为线性的。已知 (ES)45=2(AS)25，当x≥20时，以下与表达式Sx相同的为（
☞ 当 t < m 时：
R x， h， t g 1 0 AS m tm
x h s d s 0 A S x h
t
S xhs S xh
ds
(9 .1 3)
③年给付额由最后m年平均年薪与到退休时的工作数的乘积的一个固定比例来确定,则：
41 41
p 3 0 0 .9 8 ， k 1，，， ， i 0 .0 6， 求该员工所缴纳之捐纳金到退休时 2 3 ...
k
）元。 B．1752900 C．1781000 D．1954300 E．2132400
30 k
v
k
k
41 ( ) p 3 0 1 i
1
v
k k
p xhv 2
( )
1 2
p xhk
( )
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说明：式（9.4）也可由假设每一年的捐纳金均在年中缴纳而直接推出，它可作为未来捐 纳金精算值的近似计算公式。 2．每个加入者都按薪金的统一百分比缴纳 若捐纳金表示为年薪的一个固定百分比c，而加入者现在的年薪为(AS)x+h，则未来捐纳金 的精算现值为：
k k k 1 8 0 0 0 1 .0 8 1 0 0 0 0 0 .3 1 .0 6 0 .9 8 k 1 1954300 元 ） （
41 1 .0 6
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3．年给付额由全期平均年薪决定的情形 在这种情形下，年给付额等于整个工作期平均年薪乘以工作年数再乘一个固定百分比 f。
事实上，这相当于计划加入者在整个工作期中的薪金总额乘上固定百分比 f。但由于过去时期
的薪金是已知的，未来时期的薪金是预测的，因此，年给付额应分两部分计算。 我们把现年x+h岁的计划加入者过去的薪金总额记为(TPS)x+h，相应的年给付额部分为 f·(TPS)x+h。相应于未来工作期的年给付额部分为：
将当年的年收入扣除10000元后的剩余部分的30%作为捐纳金向养老金计划供款。该员工需满 71岁时才可退休，已知：k 的累积值为（ A．1680200 【答案】D 【解析】预计第k年的捐纳金为：（ES）30+k=(18000×1.08k－10000)×0.3（元）， 故捐纳金到退休时的积累值为：
ES k 1
( )
(9 .6 )
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【例题9.2】（2008年春季真题）某员工在年初加入养老金计划时年龄刚满30岁，其上一
年的年薪为18000元，该年薪预计每年以8%的比例增加，根据养老金计划，该员工须于每年末
Sx x 15 1 3
。
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§9.2
捐纳金的精算现值
1．每个加入者都按统一数额缴纳
设捐纳金以连续形式缴纳，每年缴纳的总数为c，这时每个现年x+h岁的加入者未来捐纳 金的精算现值为：
c
xh
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S xht S xh
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如果Sy在每一年内均为常数，对上式右边每个积分使用中点规则，得：
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(9 .1 2 )
其中
Zy m
1 1 1 S y m S y m 1 S y 1 S y 。 m 2 2
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近似地假设退休发生在年中（即t=k+1/2），则：
R ( x， h， k 1 2 ) g
A S xh
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1 m
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在通常情况下，Sy在每一年内是常数，则：
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对上式等号两边每个积分都使用中点规则，则得到：
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其 中 k
[t ]
（1）养老金计划加入者从退休开始领取年给付额为R（x，h，t）的一个生存年金，该年 金在退休时的精算现值为： R x ， h ， t a r
xh
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，
于是现年x+h岁的员工的年老退休给付的精算现值为：
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其中 f 是个固定的百分比。 类似于式（9.12）推导，用近似计算，式中mZx+h+k表示对Sx+h+k在区间[t，t－m]积分所取的 近似值，则：
f
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t
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设Sx+h+s是年龄的分段函数并在每个年龄内为常数，又设退休发生在年中，则上式可写成：
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A S xh
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A. x 10 1 B. x 15 1 3 C. x 20 D. x 25 1 5 E. x 30
）。
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【答案】B 【解析】由已知，有：Sx=S20+a(x－20)=1+a(x－20)，由(AS)25· 45/S25=(ES)45=2(AS)25 ，得： S S45=2S25，即 1+25a=2(1+5a)，解得：a=1/15， 故
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2．年给付额由后续年薪决定的情形 ①员工退休金的年给付额由其退休前最后一年的年薪决定，通常是最后年薪的一个固定
比例g，那么
R x， h， t g E S
xht
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(9 .1)
k
px
( )
k 1
p x p x k 1
( )
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（2）年金精算现值因子 ① a xi t ：即x+t岁时因残疾而退休的年金精算现值因子。
② a xr t ：即x+t岁时因年老退休的年金精算现值因子。
R ( x， h， k 1 1 ) f h t AS 2 2 Z xhk S xh
xh
m
若只考虑工作整年数，那么：
R ( x， h， k 1 2 ) f h k
A S xh
m
Z xhk S xh
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b1 h t R x， h， t 3 0 b1 b 2 h t 3 0
（9.7） （k=[t]） （9.8）
③在某一规定年数内，每工作一年增加年给付额b1，超过的工作年数每年增加较少的年给
h t
30 (9 .9 )
h t＞ 3 0
xh
S xht S xh
(9 .1 0 )
②如果年给付额是最后m年平均年薪的一个固定比例g，那么 ☞ 当t＞m时：
R x， h， t g 1 m
t m E S x h s d s
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m
t tm
S xhs S xh
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(9 .1 1)
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【要点详解】 §9.1 养老金计划及其基本函数
1．养老金计划简介
捐纳金：是指用于支付养老金成本的定期供款。 非捐纳计划：是指养老金成本全由企业负担而员工无须缴付捐纳金的养老金计划。 捐纳计划：是指养老金成本的一部分由加入计划的员工负担，剩余部分由企业负担的养 老金计划。 根据退休年金给付额的不同决定方法 ，养老金计划可以分为确定给付计划（defined benefit plan，简称DB计划）和确定缴费计划（defined contribution plan，简称DC计划）。 2．基本函数 （1）记从x岁到x+1岁的解约概率、死亡概率、因残疾而退休的概率、因年老而退休的概 率分别为：q x( w )、 q x( d )、 q x( i )、 q x( r )
§9.3
年老退休给付及其精算现值
引进函数R(x，h，t)，R(x，h，t)表示在x岁加入计划而现年x+h岁的员工，将在x+h+t岁获
得立即或延期给付年金的年给付额。此外，假设年给付额不变。 1．年给付额不依赖于年薪的情形 ①员工为企业每工作一年，均可在其退休金年给付额上增加一个固定数额b，包括最后的 不足一年部分，这时年给付函数为： R（x，h，t）=b（h+t） ②若年给付额不包括最后的不足一年部分，则： R（x，h，t）=b（h+k） 付额b2。eg. 规定年数为30时，则年给付额为：
( ) (r) r
(9 .1 6 )
其中x+h＜ （ 为限定退休年龄）。
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简化近似公式：
x h 1
APV
k x h
l x 1 l x
( ) ( )
。
设a为所有计划参加者的最低年龄，记 l ( ) 表示存续人数，则：
x
( ( ( ( ( ( 1 q x w ) q x d ) q x i ) q x r ) l x ) p x ) 我们可以通过存续函数计算 k p x( )为： ( ) lxk ( ) p x ( ) k lx ( ) 也可以通过递推的方式来求 k p x ，即