平面图形的认识(一)单元培优测试卷

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;
（1）若∠E=60°，则∠F=________;
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.
（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;
【答案】（1）90°
（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB
∴EM∥AB∥FN
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN
又∵AB∥CD，AB∥FN
∴CD∥FN
∴∠D+∠DFN=180°
又∵∠D =120°
∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°
∴∠EFD=∠MEF +60°
∴∠EFD=∠BEF+30°
（3）解：如图，过点F作FH∥EP
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°
设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD
∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°
∵FH∥EP
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°
【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.
【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.
2．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O
（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.
【答案】（1）解：∵
而
同理：
∴
∴
（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：
（3）解：仍然成立.
理由如下：∵
又∵
∴
【解析】【分析】（1）先计算出
再根据
（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据
即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．
3．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒
（1）当t=________秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=________°；
（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）
①当t=________秒时，OM平分∠AOC？
（4）②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．
【答案】（1）2.25；45
（2）解：∠NOC﹣∠AOM=45°，
∵∠AON=90°+10t，
∴∠NOC=90°+10t﹣45°
=45°+10t，
∵∠AOM=10t，
∴∠NOC﹣∠AOM=45°
（3）3
（4）解：②∠NOC﹣∠AOM=45°．
∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∠MON=90°，∠BOC=45°，
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t，
∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t，
∴∠NOC﹣∠AOM=45°．
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM= =22.5°，
∴t=2.25秒，
∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，
∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；
故答案为：2.25，45；
·（3）①∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，
∴∠AOC=45°+5t，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM= AOC，
∴10t= （45°+5t），
∴t=3秒，
故答案为：3．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°，于是得到t=2.25秒，由
于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；（2）根据题意得∠AON=90°+10t，求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，即可得到结论；（3）①根据题意得∠AOB=5t，∠AOM=10t，求得∠AOC=45°+5t，根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC，列方程即可得到结论；（4）②根据角的和差即可得到结论．
4．如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、B在直线b上，且于E.
（1）求证：；
（2）如图2，平分交于点F，平分交于点G，求
的度数；
（3）如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线
上一点，且，则、、之间的数量关系是________. 【答案】（1）证明：过作 ,
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：作，，
设，，
由（1）知：，，
，
∴，
∴，
同理：，
∴
（3）
【解析】【解答】解：（3）结论：或
，
I.∠NCD在∠BCD内部时，
过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，
∴∠BCD=3y.
∵a∥b，
∴
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∴
II. 在外部时,如图3（2）：
过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，
∴∠BCD=y.
∵a∥b，
∴IG∥a∥
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】(1) 过作EF∥a,由BC⊥AD可知,由平行可知，
,从而可得 = + = ；
(2)作，，设，，由平行线性质和邻补角定义可得，，进而计算出
即可解答;
（3）分两种情况解答：I.∠NCD在∠BCD内部，II 外部，仿照（2）解答即可.
5．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线.
（1）若∠A=40°，∠B=76°，求∠DCE的度数；
（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数(用含α，β的式子表示)；
（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.
【答案】（1）解：∵∠A=40°，∠B=76°，
∴∠ACB=64°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB ∠ACB=32°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=14°，
∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD=32°﹣14°=18°；
（2）解：∵∠A=α，∠B=β，
∴∠ACB=180°﹣α﹣β.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，
∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α；
（3）解：如图所示.
∵∠A=α，∠B=β，
∴∠ACB=180°﹣α﹣β.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，
∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α，
由平移可得：GH∥CD，
∴∠HGE=∠DCE β α.
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据角平分线的定义得到∠ECB的度数，根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B，于是得到结论；（2）根据角平分线
的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB= ∠ACB= （180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；（3）运用（2）中的方法，得到
∠DCE=∠ECB-∠BCD= β- α，再根据平行线的性质，即可得出结论.
6．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ．
如图（2）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ．
（2）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．
（3）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺
各有一条边互相垂直．（填空）
当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．
当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．
当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．
当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ．
【答案】（1）145°；145°
（2）解：∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC与∠BOD互补．
（3）AB；OD；30°；CD；OA；45°；OC；AB；60°；AB；CD；75°
【解析】【解答】解：（1）若∠BOD=35°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°；
如图2，若∠BOD=35°，
则∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD
=360°-35°-90°-90°
=145°；（3）解：当 AB ⊥ OD 时，∠AOD = 30°．
当 CD ⊥ OA 时，∠AOD = 45°．
当 OC ⊥ AB 时，∠AOD = 60°．
当 AB ⊥ CD 时，∠AOD = 75°．
即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可计算出∠AOC的度数；根据∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD可计算出∠AOC的度数;（2）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（3）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．
7．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点A1，
（1）分别计算：当∠A分别为700、800时，求∠A1的度数.
（2）根据（1）中的计算结果，写出∠A与∠A1之间的数量关系________.
（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于点A2，∠A2BC的角平分线与∠A2CD的角平分线交于点A3，如此继续下去可得A4，…，∠A n，请写出∠A5与∠A的数量关系________.
（4）如图2，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E 滑动时，有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠D-∠A1的值为定值.
其中有且只有一个是正确，请写出正确结论，并求出其值.
【答案】（1）解：∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线
∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD
由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：
∠A1= （∠ACD-∠ABC）= ∠A；
当∠A=70°时，∠A1=35°；当∠A=80°，∠A1=40°
（2）∠A=2∠A1
（3）∠A5= ∠A
（4）解：△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1=2（180°-∠Q），
化简得：∠A1+∠Q=180°
故①的结论是正确，且这个定值为180°
【解析】【解答】解：（2）由（1）可知∠A1== ∠A
即∠A=2∠A1（3）同（1）可求得：
∠A2= ∠A1= ∠A，
∠A3= ∠A2= ∠A，
…
依此类推，∠A n= ∠A；
当n=5时，∠A5= ∠A= ∠A
【分析】（1）由三角形的外角性质易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1，可得∠A1= （∠ACD-
∠ABC）= ∠A（2）根据（1）可得到∠A=2∠A1（3）根据（1）可得到∠A2= ∠A1=
∠A，∠A3= ∠A2= ∠A，…依此类推，∠A n= ∠A，根据这个规律即可解题.（4）用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．
8．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为________．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系________.（直接写出结果）
【答案】（1）100°
（2）解：∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α
【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，
∴∠APE=55°，∠CPE=45°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1-∠PCD，
∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α
又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，
∴∠APC=β-α.
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
（2）过P作PE∥AB，交AC于E，推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β
，即可得出答案。

（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。

9．如图1，，点，分别在，上，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度，射线转动的速度是每秒度.
（1）直接写出的大小为________；
（2）射线、转动后对应的射线分别为、，射线交直线于点，若射线比射线先转动秒，设射线转动的时间为秒，求为多少时，直线直线？
（3）如图2，若射线、同时转动秒，转动的两条射线交于点，作，点在上，请探究与的数量关系.
【答案】（1）60°
（2）解：设灯转动t秒，直线直线，
①当时，如图，
，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图，
，，
，
，，解得，
综上所述，当秒或秒时直线；
（3）解：和关系不会变化，
理由：设射线AM转动时间为m秒，
作，，，
，，
，
，，
，而，
，
，
，
，
即，
和关系不变.
【解析】【解答】解：（1）∵
，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等）
故结果为：；
【分析】(1)根据得到，再根据直线平行的性质即可得到答案；(2)设灯转动t秒，直线直线，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；(3)根据补角的性质表示出，再根据三角形内角和即可表示出，即可得到答案；
10．如图 1，直线分别交于点 (点在点的右侧)，若
（1）求证: ；
（2）如图2所示，点在之间，且位于的异侧，连，若，则三个角之间存在何种数量关系，并说明理由.
（3）如图 3 所示,点在线段上，点在直线的下方，点是直线上一点（在的左侧），连接 ,若 ,则请直接写出
与之间的数量
【答案】（1）证明：∵∠1=∠BEF，
∴∠BEF+∠2=180°
∴AB∥CD.
（2）解：
设∠N= ，∠M= ，∠AEM= ，∠NFD=
过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB
∵，MP∥AB，NQ∥AB
∴MP∥NQ∥AB∥CD
∴∠EMP= ，∠FNQ=
∴∠PMN= - ，∠QNM= -
∴ - = -
即 = -
∴
故答案为
（3）解：∠N+∠PMH=180°
过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R.
∵，MI∥AB，NQ∥CD
∴AB∥MI∥NQ∥CD
∴∠BPM=∠PMI
∵∠MPN=2∠MPB
∴∠MPN=2∠PMI
∴∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI
∵∠NFH=2∠HFD
∴∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD
∵∠RFN=∠HFD
∴∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM
∴∠MON+∠PRF+∠RFM=360°-∠OMF
即3∠PMI+∠FNP+180°-3∠RFM+∠RFM=360°-∠OMF
∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH
∵3∠PMI+∠PNH=180°
∴3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°
∵3∠RFM+∠FNH=180°
∴3∠PMI-3∠RFM+∠FNP=0°
即∠RFM-∠PMI= ∠FNP
∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=∠FNP-2(∠RFM-∠PMI)=180°-∠PMH
∠FNP-2× ∠FNP=180°-∠PMH
∠FNP=180°-∠PMH
即∠N+∠PMH=180°
故答案为∠N+∠PMH=180°
【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可判定AB∥CD；（2）设∠N= ，∠M= ，∠AEM= ，∠NFD= ，过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB可得∠PMN= - ，∠QNM= - ，根据平行线性质得到 - = - ，化简即可得到
；（3）过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN
于R，根据平行线的性质可得∠BPM=∠PMI，由已知得到∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI及∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD，根据对顶角相等得到∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM，化简得到∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，根据平行线的性质得到3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°及3∠RFM+∠FNH=180°，两个等式相减
即可得到∠RFM-∠PMI= ∠FNP，将该等式代入∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，即得到∠FNP=180°-∠PMH，即∠N+∠PMH=180°.
11．已知直线．
（1）如图1，直接写出，和之间的数量关系．
（2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）若点E的位置如图3所示，，仍分别平分，，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
由（1）得，，
又∵，
∴
（3）解：，理由如下：
如图3，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由（1）知，，
又∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1），理由如下：
如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得，，
进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得，，
结合第（1）题的结论，即可求证；（3）过点作，由平行线的性质得
，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得
，进而即可得到结论．
12．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.
（1）过点O作直线MN⊥AB；
（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=35°，求∠EOF的度数；
（3）若∠BOD：∠DOA=1：5，求∠AOE的度数.
【答案】（1）解：如图，MN为所求
（2）解：若F在射线OM上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠EOF+∠COM=90°，
则∠EOF＝∠AOC＝35°；
若F'在射线ON上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠DON=∠COM=90°-∠AOC=55°，∠EOD=90°
则∠EOF'＝∠DOE＋∠DON＝145°；
综上所述，∠EOF的度数为35°或145°；
（3）解：∵∠BOD：∠DOA=1：5
∴∠BOD：∠BOC＝1：5，
∴∠BOD＝∠COD＝30°，
∴∠AOC＝30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOE＝90°＋30°＝120°.
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可作图；（2）分F在射线OM上和在射线ON 上分别进行求解即可；（3）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数.。