广东省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编13 圆锥

广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（潮州市2013届高三上学期期末）若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
122
x y -=的右
焦点重合，则p 的值为
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
答案：D
2、（佛山市2013届高三上学期期末）已知抛物线2
4x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____． 答案：4±
3、（广州市2013届高三上学期期末）圆2224150x y x y +++-=上到直 线20x y -=的距离为5的点的个数是 _ .
答案：
分析：圆方程化为标准式为
，其圆心坐标
，
半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线
的距离
，由右图
所示，圆上到直线的距离为
的点有4个．
4、（广州市2013届高三上学期期末）在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡
⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,,
则方程22
221x y a b
+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为
A ．
12 B ．1532
C ．1732
D ．31
32 答案：B
5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点与抛物线
2y =
答案：2
219
x y -= 6、（江门市2013届高三上学期期末）以抛物线082
=+x y 的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率2=e 的双曲线的标准方程是
A ．
112422=-y x B ．1481622=-y x C ．112422=-x y D ．148
162
2=-y x 答案：A
7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知双曲线22
1x ky -=的一个焦点是（50，），则其
渐近线方程为 . 答案：2y x =±
8、（湛江市2013届高三上学期期末）已知点A 是抛物线C 1：y 2
＝2px （p ＞0）与双曲线C 2：
22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线的离心率等于＿＿＿＿ 答案：5 解析：
9、（肇庆市2013届高三上学期期末）圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点
(2,0)A -、(4,0)B -，则圆C 的方程为__________.
解析：2
2
(3)(2)5x y ++-= 直线AB 的中垂线方程为3x =-，代入
270x y -+=，得2y =，故圆心的坐标为(3,2)C -，再由两点间的距离公式求得半径||5r AC ==C 的方程为22(3)(2)5x y ++-=
10、（中山市2013届高三上学期期末）直线2
(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是
（ ） A ．[0,
]4π
B ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．[0,
](,)42π
ππU D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
U 答案：B
12、（珠海市2013届高三上学期期末）如图，F 1，F 2是双
曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过
F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .
答案：13
13、（江门市2013届高三上学期期末）与圆C ：0422
2=+-+y x y x 关于直线l ：0
=+y x 对称的圆的方程是 ．
5)1()2(22=++-y x
二、解答题
1、（潮州市2013届高三上学期期末）已知点(4,0)M 、(1,0)N ，若动点P 满足
6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r
．
（1）求动点P 的轨迹C ；
（2）在曲线C 上求一点Q ，使点Q 到直线：2120x y +-=的距离最小． 解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，
∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r
． ……… 3分 由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r
，得223(4)6(1)()x x y --=-+-， ……… 4分
∴2
2
2
(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线的距离的最值等于平行于直线：2120x y +-=
且与椭圆C 相切的直线1l 与直线的距离．
设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分
由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩
，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）．
依题意得0∆=，即0)12(1642
2
=--m m ，故216m =，解得4m =±．
当4m =时，直线
1l ：240x y ++=，直线与1l 的距离d =
=
当4m =-时，直线
1l ：240x y +-=，直线与1l 的距离d =
=
<
，故曲线C 上的点Q ．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2
(1)0x -=，解得1x =． 由1240y +-=，得32y =，故3
(1,)2
Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3
(1,
)2
Q 到直线的距离最小． ……… 14分 2、（佛山市2013届高三上学期期末）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为
(2,0),(2,0)A B -，离心率e =
过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；
（2）求动点C 的轨迹E 的方程；
（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．
解析：（1）由题意可得2a =，c e a ==c = -----------------2分
∴2
2
2
1b a c =-=，
所以椭圆的方程为2
214
x y +=． -----------------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012
x x
y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩， -----------------6
分
又2
2
0014x y +=，代入得221()142
x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为22
4x y +=． -----------------8分 （3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，
∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR u u u r u u u r ，
而(2,)AC m n =+u u u r ，(4,)AR t =u u u r ，则4(2)n t m =+，∴42
n t m =+，
∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2
n
m +， -----------------10
分
∴直线CD 的斜率为222(2)22244
n
n m n n mn m k m m m -
+-+=
==---， 而224m n +=，∴22
4m n -=-，
∴2mn m
k n n
=
=--， -----------------12分 ∴直线CD 的方程为()m
y n x m n
-=-
-，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD 的距离2d r =
=
==， 所以直线CD 与圆O 相切． -----------------14分
3、（广州市2013届高三上学期期末）如图5, 已知抛物线线P 交于A B ,两点，
OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uuu r
+=，OC 与AB 交于点M .
(1) 求点M 的轨迹方程；
(2)求四边形AOBC的面积的最小值.
解法一:
（1）解：设，∵，
∴是线段
的中点. …………… 2分
∴，①……………
3分
.
②…………… 4分
∵，∴
.
∴
. …………… 5分
依题意知，
∴.
③…………… 6分
把②、③代入①得：，即
. …………… 7分
∴点的轨迹方程为
. ……………8分
(2)解：依题意得四边形是矩形，
∴四边形的面积为
…………… 9分
. …………… 11分
∵，当且仅当
时，等号成立，…………… 12分
∴
. …………… 13分
∴四边形的面积的最小值为
. ……………
14分
解法二:
(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为
,
由于,则直线
的斜率为
. …………… 1分
故直线的方程为
,直线
的方程为.
由消去
,得
.
解得或
. ……………2分
∴点的坐标为
. …………… 3分
同理得点的坐标为
. …………… 4分
∵，
∴是线段
的中点. ……………5分
设点的坐标为
,
则
……………6分
消去,得
. …………… 7分
∴点的轨迹方程为
. …………… 8分
(2)解：依题意得四边形是矩形，
∴四边形的面积为
…………… 9分
………… 10分
…………… 11分
. …………… 12分
当且仅当,即
时,等号成立. …………… 13分
∴四边形的面积的最小值为
. ……………
14分
4、（惠州市2013届高三上学期期末）设椭圆22
2:12
x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线
2
:22-=
a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =u u u r u u u r
（其中O 为坐标原点）
． （1）求椭圆M 的方程；
（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:2
2
=-+y x N 的任意一条直径（E 、
F 为直径的两个端点）
，求⋅的最大值．
解：（1
）由题设知，20)A
，)
1
0F ，………………………………1分
由112OF AF +=0u u u r u u u r ，得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-22222
2
22a a a a ，…………………………3分 解得62
=a ． 所以椭圆M
的方程为12
6:2
2=+y x M ．…………………………………………………………4分
（2）方法1：设圆()12:22
=-+y x N 的圆心为N ，
则(
)()-⋅-=⋅ ………………………………………………6分
(
)(
)
NF NP NF NP =--⋅-u u u r u u u r
u u u r
u u u r
…………………………………………7分 222
1NP NF NP =-=-u u u r u u u r u u u r ．………………………………………………………………8分
从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2
的最大值．……………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00P x y ，，………………………………………10分
所以12
62
020=+y x ，即2
02036y x -=．………………………………………………11分
因为点()2,0N ，所以()()121222
02
02
02
++-=-+=y y x ．…………………12分
因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2
取得最大值12．…………………13分
所以⋅的最大值为11．…………………………………………………………14分
方法2：设点112200()(),()E x y F x y P x y ，
，，，， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121
,
4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………6分
所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--u u u r u u u r
…………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---
2222
01011044x x y y y y =-+-+-
2222
0001114(4)x y y x y y =+--+-．………………………………………9分 因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即22
11143x y y +-=-．………………10分
因为点P 在椭圆M 上，所以2200162
x y +=，即22
0063x y =-．…………………………11分
所以PE PF ⋅u u u r u u u r 200249y y =--+2
02(1)11y =-++．……………………………………12分
因为0[y ∈，所以当01y =-时，()
min
11PE PF
⋅=u u u r u u u r
．………………………14分 方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………6分
由⎩⎨⎧=-++=1
)2(222y x kx y ，解得11
2
+±=k x ．……………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，
所以1262
020=+y x ，即2
02036y x -=．……………………………………………8分
所以002PE x y ⎛⎫=--⎪⎭u u u r
，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
u u u r
…………………………………9分
所以
11)1(21)2(1
)2(11202020222
022
++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………10分
因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………11分
②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由2
2
(2)1
x x y =⎧⎨
+-=⎩，解得1y =或
3y =．
不妨设，()03E ，，()01F ，． …………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，
所以1262
02
0=+y x ，即2
02036y x -=．
所以()003PE x y =--u u u r ，，()001PF x y =--u u u r ，．
所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++u u u r u u u r
．
因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………13分
综上可知，⋅的最大值为11．…………………………………………14分
5、（江门市2013届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，)0 , 4(1-F ，)0 , 4(2F ，
P 是平面上一点，使三角形21F PF 的周长为18．
⑴求点P 的轨迹方程；
⑵在P 点的轨迹上是否存在点1P 、2P ，使得顺次连接点1F 、1P 、2F 、2P 所得到的四边形
2211P F P F 是矩形？若存在，请求出点1P 、2P 的坐标；若不存在，请简要说明理由
解：⑴依题意，18||||||2121=++F F PF PF ……1分，
8||21=F F ，所以10||||21=+PF PF ，点P 的轨迹是椭圆……2分，
102=a ，82=c ……3分，所以5=a ，4=c ，3=b ，
椭圆的方程为19
252
2=+y x ……4分，因为21F PF 是三角形，点P 不在直线21F F 上（即不在x 轴上），所以点P 的轨迹方程为
19
252
2=+y x （0≠y ）……5分． ⑵根据椭圆的对称性，2211P F P F 是矩形当且仅当直线21P P 经过原点O ，且211F P F ∠是直角……6分，此时4||2
1
||211==
F F OP （或12111-=⋅F P F P k k ）……7分，
设) , (1y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+161925
2222y x y x ……9分，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==16811617522y x ，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=±=49
475y x ……10分，所以有2个这样的矩形2211P F P F ，对应的点1P 、2
P 分别为)49 , 475(、)4
9 , 475(--或)4
9
, 475(-、)49 , 475(-……12分．
6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知椭圆1C ：22
221x y a b
+= （0a b >>）的离心率
为3
，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直
线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程； （3）设O 为坐标原点，取2C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ，
求该圆面积的最小值时点S 的坐标． 解：（1
）解：由3e =
，得223a c =，再由222
c a b =-
，解得2a =
…………1分
由题意可知1
222a b ⋅⋅=
a b ⋅= …………………………2分
解方程组2a ab ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
得a b == ………………………………3分
所以椭圆C 1的方程是22
132
x y += ……………………………………3分 （2）因为2MP MF =，所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F （1，
0）的距离，所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线，2F 为焦点的抛物线，…6分
所以点M 的轨迹2C 的方程为2
4y x = ……………………………………7分 （3）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅=u u u r u u r
…………………………………………………………………………8分
设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR u u r ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR uuu r
=（2x ，2y ）
所以222221*********()
()()()016
y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=
+-=u u u r u u r 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭ ……………………10分
所以22
1222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
22
2
256y y =
即2
2y ＝16，y 2＝±4时等号成立. ………………12分 圆的直径|OS
===
因为2
1y ≥64，所以当2
1y ＝64即1y =±8
时，min OS =， ………13分 所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）……………14分
7、（增城市2013届高三上学期期末）已知点P 是圆16)1(2
2=++y x 上的动点，圆心为B ，
)0,1(A 是圆内的定点；PA 的中垂线交BP 于点Q ．
（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
（2）若直线l 交轨迹C 于N M ,MN (与x 轴、y 轴都不平行）两点，G 为MN 的中点，
求OG MN k k ⋅的值（O 为坐标系原点）．
（1）解：由条件知：QP QA =
1分
4=+QP QB Θ 2分 4=+∴QA QB 3分 42<=AB Θ 4分
所以点Q 的轨迹是以A B ,为焦点的椭圆 5分
322,422=∴==b c a Θ 6分
所以点Q 的轨迹C 的方程是13
42
2=+y x 7分 （2）解：设),)(,(),,(21212211y y x x y x N y x M ≠≠，则)2
,2(
2
121y y x x G ++ 8分 13
4,1342
2
222121=+=+∴y x y x 9分 0)(3
1)(4
122212
221=-+
-∴y y x x 10分
4
3
2
2212
221-=--∴x x y y 11分 2
12
12121,x x y y k x x y y k OG MN ++=--=
Θ
13分
4
3
2
2212
221-=--=⨯∴x x y y k k OG
MN 14分 或解：设),)(,(),,(21212211y y x x y x N y x M ≠≠，直线MN 的方程为)0(≠+=k b kx y 则)2
,2(
2
121y y x x G ++ 8分 b x x k y y b kx y b kx y 2)(,,21212211++=+∴+=+=Θ 9分
2
121212x x b
k x x y y k OG ++=++=
∴ 10分
将b kx y +=代入椭圆方程得：01248)34(2
2
2
=-+++b kbx x k 11分
3
48221+-=+∴k kb
x x 12分
k k k k k kb b k k OG
43
4343
48222-=+-=+-+=∴ 13分
所以4
3
)43(-=-
⋅=⋅k k k k OG MN 14分
8、（湛江市2013届高三上学期期末）如图，已知点M 0（x 0，y 0）是椭圆C ：2
22
y x +＝1上的动点，以M 0为切点的切线l 0与直线y ＝2相交于点P 。

（1）过点M 0且l 0与垂直的直线为l 1，求l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围；
（2）在y 轴上是否存在定点T ，使得以PM 0为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由。

解：（1）由椭圆得：2
2(1)y x =-'y =1
22
2(22)x x ---
切线的斜率为：k 02
22x -l 1的方程为：20000
22)x y y x x --=
-，
与y 轴交点纵坐标为：y 2
022x -2
022x -2
022x -
因为011x -≤≤，所以，2001x ≤≤，2
00222x ≤-≤，所以，当切点在第一、二象限时
l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为：2
0y ≤≤
，则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为：2222
y -
≤≤。

（2）依题意，可得∠PTM 0＝90°，设存在T （0，t ），M 0（x 0，y 0）
由（1）得点P 的坐标（22
0000
222y y x x -+,2）,由00PT M T =u u u r u u u u r g 可求得t ＝1
所以存在点T （0,1）满足条件。

9、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知两圆2222
12:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的
圆心分别为12,C C ，P 为一个动点，且12||||22PC PC +=(1）求动点P 的轨迹M 的方程；（2）是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D ，使得11||||C C C D =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C - （2分） ∵1212||||22||2PC PC C C +=>=
∴根据椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以原点为中心，1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点，长
轴长为2a =的椭圆，
1,1a c b ===== （4分）
∴椭圆的方程为22
12x y +=，即动点P 的轨迹M 的方程为2212
x y += (6分) （2）(i)当直线l 的斜率不存在时，易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部，直线l 与椭圆M 无交点，所以直线l 不存在。

（7分）
（ii ）设直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =- （8分）
由方程组2
212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得2222
(21)8820k x k x k +-+-=① （9分）
依题意2
8(21)0k ∆=-->
解得22
k -
<< （10分）
当22
k -
<<时，设交点1122(,),(,)C x y D x y ，CD 的中点为00(,)N x y ，
方程①的解为221222884242k k x x k k ==++ ，则2
12024221
x x k x k +==+
∴2002242(2)22121k k
y k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭
（11分）
要使11||||C C C D =，必须1C N l ⊥，即11C N k k ⋅=- （12分）
∴222212114021
k
k k k k --+⋅=--+，即2102
k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或，∴2
102
k k -+=无解 （13分）
所以不存在直线l ，使得11||||C C C D =
综上所述，不存在直线l ，使得11||||C C C D = （14分）
10、（珠海市2013届高三上学期期末）已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，左、右两个
焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；
（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．
解：（Ⅰ）解：由题设得⎪⎩
⎪
⎨⎧+==++=222622c b a c a a c a ……………… 2分
解得： 3,2=
=b a ，1=c …… 3分
故C 的方程为13422=+y x . …… 5分 离心率e 2
1
= ………………… 6分
（2）直线A F 1的方程为)1(3+=
x y ，…… 7分
设点O 关于直线A F 1对称的点为),(00y x M ，则
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⋅23
23)12(32
13000000y x x y x y （联立方程正确，可得分至8分） 所以点M 的坐标为 )2
3
,23(-
……………………………… 9分 ∵PM PO =，222MF PM PF PO PF ≥+=+，…… 10分
||||2PO PF +的最小值为7)02
3
()123(||222=-+--=MF …………… 11分
直线2MF 的方程为)1(12
30
23
----=x y 即)1(53
--=x y …………… 12分
由⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=--=33
32)1(3)1(53
y x x y x y ，所以此时点P 的坐标为 )33,32(-…………… 14分。