2019年中考数学冲刺总复习第一轮横向基础复习第六单元圆第22课圆的基本性质课件
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心角的直角. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
其推论 推论2
推论3 圆内接四边形的对角互补.
课前小测
1.（圆心角、弧、弦的关系）如图，在⊙O中，已知
AB CD ，则AC与BD的关系是（
A. AC=BD
A ）
B. AC＜BD
C. AC＞BD
知识点3
定理 推论
圆的基本性质
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理 及其推论
圆心角、
弧、弦之
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧或两条弦中一组量相等，那么它们所对
间关系
应其余各组量也分别相等.
定理
圆周角 定理及
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
知识清单
知识点1 圆的有关概念
定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定 的一个端点旋转一周，另一个端点所 圆的定义 形成的图形叫做圆. 定义2：圆是到定点的距离等于定长的所有点
组成的图形.
弦 直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦.
弧
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、 半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做等 弧.
D ）
B. 50° D. 80°
【点拨】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理
得出∠AOC=40°．
例4 （2016·宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别 交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC. （1）求证：AB=AC； 证明：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
3
．
【点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧．
考点二
圆心角、弧、弦
例2 （2017·牡丹江）如图，在⊙O中， AC CB ， CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
证明：连接OC，∵ AC CB ，∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°， 在△COD与△COE中， DOC EOC CDO CEO CO CO ∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE， ∵AO=BO，∴ AD=BE．
形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（ A. 60° C. 90° B. 80° D. 100°
D ）
5.（垂径定理）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=8， OC=3，则OB的长是
5
．
经典回顾
考点一 圆的对称性
例1 （2014·广东）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦 AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为
∴ AB=AC.
（2）若AB=4，BC= 2 3 ，求CD的长． 解：如图，连接AE，
∵AB为直径，∴ AE⊥BC，由（1）知AB=AC，
1 ∴ BE=CE= BC= 3 ，∵△CDE∽△CBA， 2
CD CE ∴ ，又AC=AB=4，∴CD= CB AC
3 ． 2
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和 性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的 关键．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在 同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等是解答此题的关键．
考点三
圆周角
例3 （2018·广州）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交
⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则 ∠AOB的度数是（ A. 40° C. 70°
∴△BDE是等腰直角三角形．
（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE=CE=3，求AF的长．
解：如图，作FG⊥AC于G，则AG=FG．
∵OA=OC，∴∠EAC=∠FCG．∵BE=CE=3，
∴AC=BC=2CE=6，
CE 1 ∴tan∠FCG=tan∠EAC= ． AC 2
∴CG=2FG=2AG．∴FG=AG=2，∴AF= 2 2 ．
对应训练
1.（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（
A ）
A. 8cm
C. 3cm
B. 5cm
D. 2cm
2.（2018·聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于 点D，连接AB，OC. 若∠A=60°，∠ADC=85°，则 ∠C的度数是（
D. 不能确定
2.（圆周角定理）如图，点A，B，C在⊙O上,∠ACB=35°, 则∠AOB的度数是（ A. 75° C. 65°
B
） B. 70° D. 35°
3.（圆周角定理）如图，在⊙O中，AD是直径， ∠ABC=40°，则∠CAD等于（
B
）
A. 40°
C. 60°
B. 50°
D. 70°
4.（内接四边形）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边
D ）
B. 27.5°
D. 35°
A. 25°
C. 30°
3.（2018·邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接 四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ A. 80° C. 100° B. 120° D. 90°
B ）
4.（2018·中山模拟）如图，在△ABC中，CA=CB，E是 边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB于 点D，连结ED. （1）判断△BDE的形状并证明． △BDE是等腰直角三角形． 证明如下： ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADE=90°， ∴∠BDE=180°-90°=90°． ∵CA=CB，∴∠B=45°，
第一轮 横向基础复习
第六单元 圆
第22课 圆的基本性质
第22课
圆的基本性质
本节内容考纲要求认识圆的轴对称性和中心 对称性，认识圆心角、弧、弦之间相等关系，理解圆 周角和圆心角关系等 . 广东省近 5 年试题规律：主要 以选择、填空题形式考查弧、弦、圆心角圆周角之间 的关系，难度不大. 特别地，虽然考纲已经不要求垂 径定理，但近几年总有考查.
能够重合的两个圆叫做等圆.等圆同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆.
圆心角 顶点在圆心的角，叫做圆心角. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的 圆周角 角叫做圆周角.
知识点2
圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一 圆的对称性 条经过圆心的直线； (2)圆是中心对称图形，对称中心为圆心 ；(3)圆具有旋转不变性.
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
其推论 推论2
推论3 圆内接四边形的对角互补.
课前小测
1.（圆心角、弧、弦的关系）如图，在⊙O中，已知
AB CD ，则AC与BD的关系是（
A. AC=BD
A ）
B. AC＜BD
C. AC＞BD
知识点3
定理 推论
圆的基本性质
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理 及其推论
圆心角、
弧、弦之
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧或两条弦中一组量相等，那么它们所对
间关系
应其余各组量也分别相等.
定理
圆周角 定理及
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
知识清单
知识点1 圆的有关概念
定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定 的一个端点旋转一周，另一个端点所 圆的定义 形成的图形叫做圆. 定义2：圆是到定点的距离等于定长的所有点
组成的图形.
弦 直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦.
弧
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、 半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做等 弧.
D ）
B. 50° D. 80°
【点拨】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理
得出∠AOC=40°．
例4 （2016·宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别 交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC. （1）求证：AB=AC； 证明：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
3
．
【点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧．
考点二
圆心角、弧、弦
例2 （2017·牡丹江）如图，在⊙O中， AC CB ， CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
证明：连接OC，∵ AC CB ，∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°， 在△COD与△COE中， DOC EOC CDO CEO CO CO ∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE， ∵AO=BO，∴ AD=BE．
形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（ A. 60° C. 90° B. 80° D. 100°
D ）
5.（垂径定理）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=8， OC=3，则OB的长是
5
．
经典回顾
考点一 圆的对称性
例1 （2014·广东）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦 AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为
∴ AB=AC.
（2）若AB=4，BC= 2 3 ，求CD的长． 解：如图，连接AE，
∵AB为直径，∴ AE⊥BC，由（1）知AB=AC，
1 ∴ BE=CE= BC= 3 ，∵△CDE∽△CBA， 2
CD CE ∴ ，又AC=AB=4，∴CD= CB AC
3 ． 2
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和 性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的 关键．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在 同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等是解答此题的关键．
考点三
圆周角
例3 （2018·广州）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交
⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则 ∠AOB的度数是（ A. 40° C. 70°
∴△BDE是等腰直角三角形．
（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE=CE=3，求AF的长．
解：如图，作FG⊥AC于G，则AG=FG．
∵OA=OC，∴∠EAC=∠FCG．∵BE=CE=3，
∴AC=BC=2CE=6，
CE 1 ∴tan∠FCG=tan∠EAC= ． AC 2
∴CG=2FG=2AG．∴FG=AG=2，∴AF= 2 2 ．
对应训练
1.（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（
A ）
A. 8cm
C. 3cm
B. 5cm
D. 2cm
2.（2018·聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于 点D，连接AB，OC. 若∠A=60°，∠ADC=85°，则 ∠C的度数是（
D. 不能确定
2.（圆周角定理）如图，点A，B，C在⊙O上,∠ACB=35°, 则∠AOB的度数是（ A. 75° C. 65°
B
） B. 70° D. 35°
3.（圆周角定理）如图，在⊙O中，AD是直径， ∠ABC=40°，则∠CAD等于（
B
）
A. 40°
C. 60°
B. 50°
D. 70°
4.（内接四边形）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边
D ）
B. 27.5°
D. 35°
A. 25°
C. 30°
3.（2018·邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接 四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ A. 80° C. 100° B. 120° D. 90°
B ）
4.（2018·中山模拟）如图，在△ABC中，CA=CB，E是 边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB于 点D，连结ED. （1）判断△BDE的形状并证明． △BDE是等腰直角三角形． 证明如下： ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADE=90°， ∴∠BDE=180°-90°=90°． ∵CA=CB，∴∠B=45°，
第一轮 横向基础复习
第六单元 圆
第22课 圆的基本性质
第22课
圆的基本性质
本节内容考纲要求认识圆的轴对称性和中心 对称性，认识圆心角、弧、弦之间相等关系，理解圆 周角和圆心角关系等 . 广东省近 5 年试题规律：主要 以选择、填空题形式考查弧、弦、圆心角圆周角之间 的关系，难度不大. 特别地，虽然考纲已经不要求垂 径定理，但近几年总有考查.
能够重合的两个圆叫做等圆.等圆同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆.
圆心角 顶点在圆心的角，叫做圆心角. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的 圆周角 角叫做圆周角.
知识点2
圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一 圆的对称性 条经过圆心的直线； (2)圆是中心对称图形，对称中心为圆心 ；(3)圆具有旋转不变性.