广州市高三年级调研测试数学(文科)试题及参考答案

5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，
满分 20 分．其中 14～ 15 题是选做题，考生只能选做一题．
11． 5
12． 3
13．
8
14． 1
33
15．
,
33
三．解答题： 本大题共 6 小题，满分 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
解：（ 1）在△ ABC 中， A B C ．………………………………………………………………
0.02
1分 2分
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总人数 N
25
250人．………………………………………………………………………
3分
0.02 5
（ 2）因为第 1， 2，3 组共有 25+25+100=150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人，每组抽取的
人数分别为：
第 1 组的人数为 6 25 1，………………………………………………………………………… 150
．
13．在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M ，则满足 AMB 90 的概率为 _______．
（二）选做题（ 14～ 15 题，考生只能从中选做一题）
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14．（几何证明选讲选做题 ）
如图 4， AC 为⊙ O 的 直径， OB AC ，弦 BN 交 AC 于点 M ．
若 OC 3 ， OM 1 ，则 MN 的长为
别是多少？
（ 3）在（ 2）的条件下， 从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动， 求恰有 1 人在第 3 组的概率．
18．（本小题满分 14 分）
P
如图 6，在三棱锥 P ABC 中， PA AC ， PC BC ，
M 为 PB 的中点， D 为 AB 的中点，且△ AMB 为正三角形．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C D B A C B
二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共
A． i
B． 1
C． i
79 8 44 64 7 93
图1
D． 1
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5．若集合 A, B 满足 A x Z | x 3 ， B N ，则 A B 不．可．能．是
A ． {0,1, 2}
B． {1,2}
C． { 1}
6．若实数 x ， y 满足不等式组
x 2 y 2 0, x y 1 0, 则 x y 的最大值为 x 2 y 2 0,
………………………………………………………
11 分
所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 8 ．………………………………………………………… 15
12 分
18．（本小题满分 14 分）
（ 1）证明： 在正 AMB 中， D 是 AB 的中点，所以 MD AB ．…………………………………… 1 分
M
又 PC BC , PA PC P, PA, PC 平面 PAC ，
A． 4
B． 5
C． 6
7．执行如图 2 的程序框图，如果输入的 N 的值是 6，那么输出的 p 的值是
D．
D． 7
A ． 15
开始
输入 N
B ． 105
k 1, p 1
C． 120
D ．720
p pk
否
k N?
输出 p
结束
是
kk2
图2
8．某几何体的三视图（如图 3 所示）均为边长为 2 的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是
（ 1）求 cosB 的值；
3
．
3
（ 2）若 a 3， b 2 2 ，求 c 的值．
17．（本小题满分 12 分）
某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们
的年龄在 25 岁至 50 岁之间．按年龄分组：第 1 组
[25,30) ，第 2 组 [30,35) ，第 3 组 [35,40) ，第 4 组
(C1, C3) ， (C1 ,C4 ) ， (C2 ,C3) ， (C2, C4 ) ， (C3,C 4 ) ，共有 15 种．…………………………… 9 分
其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为：
( A, C1) ， ( A, C2 ) ， ( A, C3) ， ( A, C4 ) ， ( B, C1) ， ( B,C2 ) ， ( B,C3 ) ， (B,C4 ) ，共有 8 种．
因为 M 是 PB 的中点， D 是 AB 的中点，所以 MD // PA ，故 PA AB ．…………………… 2 分
又 PA AC ， AB AC A， AB , AC 平面 ABC ，
P
所以 PA 平面 ABC ．………………………………… 4 分
因为 BC 平面 ABC ，所以 PA BC ．…………… 5 分
B．有且仅有 1 个零点 D．有且仅有 3 个零点
二．填空题： 本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． （一）必做题（ 11～13 题）
11．若向量 m 1,2 ， n x,1 满足 m n ，则 | n | __________．
12．在等比数列 { an} 中，若 a 2 a 3 3a1 ，则 a4
[40,45) ，第 5 组 [45,50] ，得到的频率分布直方图
如图 5 所示．下表是年龄的频率分布表． 图5
区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]
人数
25
a
b
（ 1）求正整数 a ， b ， N 的值；
（ 2）现要从年龄较小的第 1， 2， 3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1， 2， 3 组的人数分
A． 4 4 2
B． 4 2
C． 4 2
D．8 4 2
正视图
侧视图
俯视图
图3
9．若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有
A．1条
B．2 条
C． 3 条
D．4 条
10．函数 f (x) sin x x 在区间 0, 内
A ．没有零点 C．有且仅有 2 个零点
11 分 12 分
17．（本小题满分 12 分）
解：（ 1）由频率分布直方图可知， [25,30) 与 [30,35) 两组的人数相同，
所以 a 25 人．……………………………………………………………………………………… 且 b 25 0.08 100 人．……………………………………………………………………………
3
（ 2）因为 a 3 ， b
2 2 ， cosB
1
，
3
由余弦定理 b 2 a 2 c2 2ac cos B ，………………………………………………………………
1分 2分 3分 5分 7分
9分
得
2
c
2c 1
0 ．……………………………………………………………………………………
解得 c 1．……………………………………………………………………………………………
4分 5分 6分 7分
（ 3）由（ 2）可设第 1 组的 1 人为 A ，第 2 组的 1 人为 B ，第 3 组的 4 人分别为 C1, C2, C3,C4 ，则从
6 人中抽取 2 人的所有可能结果为：
( A ,B )， ( A, C1) ， ( A, C2 ) ，( A, C3) ，( A, C4) ，( B, C1 ) ，( B,C2 ) ， (B, C3 ) ， (B,C 4 ) ， (C1, C2) ，
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广州市 20XX 届高三年级调研测试
试卷类型： A
数 学（文 科）
本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
2014． 1
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型（ A ）填涂在答题卡相应位置上．
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考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给 以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答 应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
4．作答选做题时，请先用 的，答案无效．
2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体体积公式 V
1 Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．
3
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求 作答的答案无效．
an 1 an 1 1
20．（本小题满分 14 分）
在圆 x2 y2 4 上任取一点 P ，设点 P 在 x 轴上的正投影为点 D ．当点 P 在圆上运动时，动点
M 满足 PD 2MD ，动点 M 形成的轨迹为曲线 C ． （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）已知点 E 1,0 ，若 A, B 是曲线 C 上的两个动点，且满足 EA EB ，求 EA BA 的取值范围 ．
3．如图 1 是 20XX 年某大学自主招生面试环节中， 七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图， 去掉
一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为
A ． 85， 84
B ． 84， 85
C． 86， 84
D ． 84， 86
4．设 z 1 i （ i 是虚数单位） ，则复数 2 i 2 的虚部是 z
21．（本小题满分 14 分）
已知函数 f x ln x ax2
a 2 x．
（ 1）若 f (x) 在 x 1处取得极值，求实数 a 的值；
（ 2）求函数 f (x) 在区间 [ a2, a] 上的最大值．
广州市 20XX 届高三年级调研测试
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明： 1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参
所以 cos A C cos
B
…………………………………………………………………………
2
2
B sin
2
3
．………………………………………………………………………
3
所以 cos B 1 2sin 2 B …………………………………………………………………………… 2
1
．………………………………………………………………………………………
M
A
C
（ 1）求证： BC 平面 PAC ； （ 2）若 BC 4 ， PB 10 ，求点 B 到平面 DCM 的距离．
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19．（本小题共 14 分）
设数列 an 满足 a1
a2 2
a3 22
an 2n 1
2n ， n N* ．
（ 1）求数列 a n 的通项公式；
（ 2）设 bn
an
，求数列 bn 的前 n 项和 Sn ．
．
C
15．（坐标系与参数方程选讲选做题 ）
若点 P (x, y) 在曲线 x 2 cos （ 为参数， y sin
R ）上，则 y 的取值范围是 x
B
M
O
A
N
图4
．
三．解答题： 本大题共 6 小题，满分 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 cos A C 2
第 2 组的人数为 6 25 1，………………………………………………………………………… 150
第 3 组的人数为 6 100 4 ，……………………………………………………………………… 150
所以第 1，2， 3 组分别抽取 1 人， 1 人， 4 人．……………………………………………………
1．函数 y 4 x 的定义域是
A ． ,4
B． ,4
C． 4,
D ． 4,
2．命题“若 x 2 1 ，则 1 x 1 ”的逆否命题是
A ．若 x 2 1，则 x 1，或 x 1
B ．若 1 x 1，则 x 2 1
C．若 x 1，或 x 1 ，则 x2 1
D．若 x 1，或 x 1 ，则 x 2 1