江苏省扬州市2014-2015学年度第二学期期末数学试卷(理科)

江苏省扬州市2014-2015学年度第二学期期末数学试卷
高二数学（理科）
（时间：120分钟满分：160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=．
2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是．
3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=．
4．“α=”是“tanα=1”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
5．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为．
6．方程的解为．
7．四位外宾参观某校，需配备两名安保人员．六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六人的入门顺序共有种不同的安排方案（用数字作答）．
8．若函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为．
9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式
a n= ．
10．把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f （x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+）；②该函数图象关于点（）对称；
③该函数在[]上是增函数；④函数y=f（x）+a在[]上的最小值为，则．
其中，正确判断的序号是．
11．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足关系，则f（1） g （0）．（从“＞”，“＜”，“=”中，选出适当的一种填空）
12．已知cosxsin（2π﹣x），若f（x）=，0≤x≤π，则x的值
为．
13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则
的取值范围是．
14．若实数x，y满足=0，其中e为自然对数的底数，
则（cos6x）y的值为 .
二、解答题（本大题共10小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知sinα=，sin（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求角β的值．
16．设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在
（﹣∞，﹣1]上单调递减．
（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M 时，求实数m的取值范围．
17．已知函数f（x）=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈（﹣，﹣）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为k，试判断k值的符号，并证明你的结论．
18．如图，折叠矩形纸片ABCD，使A点落在边BC上的E处，折痕的两端点M、N分别在线段AB和AD上（不与端点重合）．已知AB=2，BC=，设∠AMN=θ．
（1）用θ表示线段AM的长度，并求出θ的取值范围；
（2）试问折痕MN的长度是否存在最小值，若存在，求出此时cosθ的值；若不存在，请说明理由．
19．（16分）已知函数f（x）=log3x．
（1）若g（2x+1）=f（x），求函数g（x）的解析式，并写出g（x）的定义域；
（2）记h（x）=f（x﹣a）．
①若y=|h（x）|在上的最小值为1，求实数a的值；
②若A（x+a，y1），B（x，y2），C（3+a，y3）为y=h（x）图象上的三点，且满足y1，y2，y3成等差数列的实数x 有且只有两个不同的值，求实数a的取值范围．
20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣5x+1，g（x）=e x．
（1）求函数y=的极小值；
（2）设函数y=f′（x）+a•g（x）（a∈R），讨论函数在（﹣∞，4]上的零点的个数；
（3）若存在实数t∈[0，2]，使得对任意x∈[1，m]，不等式[xf（x）+t]•g（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．
江苏省扬州市2014-2015学年度第二学期期末数学试卷
高二数学（理科）附加题
（时间：30分钟满分：40分）
21．已知展开式中各项的二项式系数和为64．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．
22．我市某商场为庆祝“城庆2500周年”进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X．（1）若取球过程是无放回的，求事件“X=2”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望E（X）．
23．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB．
（1）点P为棱CC1上一动点，求证：AP⊥B1D1；
（2）求AD1与平面A1CD所成角的正弦值．
24．设a n为下述正整数N的个数：N的各位数字之和为n，且每位数字只能取1，3或4．
（1）求a1，a2，a3，a4的值；
（2）对∀n∈N*，试探究a2n•a2n+2与a22n+1的大小关系，并加以证明．。