4.5广义积分

收敛；
a
若极限不存在，则称广义积分
f (x)dx
发散．
a
3
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经济应用数学
类似地，定义 f (x) 在 (, b] 上的广义积分为
b f (x)dx lim
b
f (x)dx
a b
a a
若极限存在，称广义积分收敛，否则称之为发散．
函数 f (x) 在 (,)上的广义积分定义为
dx
经济应用数学
解
1 1 x2
dx
arctan
x
lim arctanx lim arctanx
x
x
( )
22
6
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例5.2 计算无穷积分 cos xdx 0
经济应用数学
解
cos xdx
sin x
lim
sin x sin 0
0
0
x
lim sin x x
1
dx 收敛．
1x 1
dx 收敛．
1xx
1. ×2. √
经济应用数学
（） （）
10
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练习题
经济应用数学
1、下列广义积分收敛的是
A.1 cos xdx
1
B. 1
x2 dx
C.1 ln xdx
D. exdx 1
2、求广义积分 1 dx e x ln x
3、若广义积分
x1p
1
1 p 1
该广义积分收敛；
（3）当 p 1 时，
1
1 xp
dx
1 x1p 1 p
1
该广义积分发散；
8
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经济应用数学
于是
1 dx(p 0) 在 p 1 时收敛，在 1 xp
p 1
时发散．
小结:
无穷积分敛散性的判别方法
9
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思考题
（1）广义积分 （2）广义积分 思考题解答
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a
f
( x)dx
F ( x)
a
F ()
F (a)
b
f
( x)dx
F ( x)
b
F (b)
F ()
f
( x)dx
F ( x)
F ()
F ()
其中 F () 与 F () 分别表示极限 lim F(x) x
与 lim F(x) x
5
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例5.1 计算无穷积分
1 1 x2
c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx（c为任意实数）．
c
当上式右边的两个广义积分都收敛时，称为广义积分
f (x)dx 收敛，否则称之为发散．
4
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经济应用数学
上述各广义积分统称为无穷区间上的广义积分，简称 为无穷积分．
以后为了书写方便，常把无穷积分的计算也统一到牛 顿－莱布尼玆公式的格式中，即
经济应用数学
4.5 广义积分
1
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经济应用数学
前面讨论的定积分的积分区间都是有限区间，且 被积函数在积分区间上有界．但实际问题中还会遇到 无穷区间上的积分以及无界函数的积分，这类积分称 为广义积分，通常把前面所讨论的定积分称为常义积 分．下面主要讨论无穷区间上广义积分的计算.
2
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0
k 1 x2
dx
1,
k为常数
求k
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解：1、 p 2 1
经济应用数学
1
1
x2 dx 收敛
2、 1 dx e x ln x
e
1 ln x
d
ln
x
ln
ln
x
e
故该广义积分发散
3、
k 0 1 x2
dx
k arctanx
0
k
2
1
k 2
广义积分
12
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定义4.4 设函数 f (x) 在 [a,) 上连续，对于任意的
b a 极限
lim
b
f (x)dx
称为
f (x) 在
b a
上的广义积分，记为
f (x)dx
，即
a
[a,)
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
b a
若极限存在，则称广义积分
f (x)dx
因为极限 lim sin x 不存在，所以无穷积分 x cos xdx 发散． 0
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例5.3 讨论无穷积分
1
1 x p dx(p
0)
的敛散性．
解 （1）当 p 1 时，
1
1dx x
ln
x
1
该广义积分发散；
（2）当 p 1时，
1
1 dx xp
1 1 p