基于零失效数据的指数分布可靠性综合评估

总第２６０期
２０１６年第２期
舰船电子工程
ＳｈｉｐＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖｏｌ．３６Ｎｏ．２
１０３
基于零失效数据的指数分布可靠性综合评估磁
于　录　曲宝忠
（９２９４１部队　葫芦岛　１２５０００）
摘　要　武备可靠性试验鉴定中，有时会出现零失效数据的情形，直接应用零失效数据检验、评估指数产品可靠性，可能会造成评估结果“冒进”。

针对这个现象，提出引进失效信息，综合加权处理，评定产品的可靠性。

并通过实例，验证了引进失效信息综合加权评定零失效数据的指数型产品可靠性，评定结果客观、科学，易于被双方共同接受。

关键词　零失效；指数分布；可靠性；失效信息；评估
中图分类号　ＴＰ２０２ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２‐９７３０．２０１６．０２．０２８
ＣｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅＥｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｏｒＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｏｆＥｘｐｏｎｅｎｔｉａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ＢａｓｅｄｏｎｔｈｅＺｅｒｏ‐ｆａｉｌｕｒｅＤａｔａ
ＹＵＬｕ　ＱＵＢａｏｚｈｏｎｇ
（Ｎｏ．９２９４１ＴｒｏｏｐｓｏｆＰＬＡ，Ｈｕｌｕｄａｏ　１２５０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｎｔｈｅｃｏｕｒｓｅｏｆｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｔｅｓｔａｎｄｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｒｍａｍｅｎｔ，ｓｏｍｅｔｉｍｅｓｔｈｅｚｅｒｏ‐ｆａｉｌｕｒｅｄａｔａａｒｉｓｅｓ．Ｗｈｅｎｆｉｒｓｔｈａｎｄｔｈｅｚｅｒｏ‐ｆａｉｌｕｒｅｄａｔａａｒｅｆｉｒｓｔｈａｎｄａｐｐｌｉｅｄｔｏｉｎｓｐｅｃｔａｎｄｅｖａｌｕａｔｅｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｏｆｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｐｅｒｈａｐｓａｒａｓｈａｄｖａｎｃｅｒｅｓｕｌｔｉｓｃｏｍｅｉｎｔｏｂｅｉｎｇ．Ｃｏｎｔｒａｐｏｓｉｎｇｔｈｉｓｐｒｏｐｌｅｍ，ｆａｉｌｕｒｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｗｅｉｇｈｔａｎｄｐｒｏｃｅｓｓｔｈｅｔｅｓｔｄａｔａｓｙｎｔｈｅｔｉａｌｌｙａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｅｖａｌｕａｔｅｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ．Ｅｘａｍｐｌｅｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈａｔｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｏｆｐｒｏｄｕｃｔｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｉｓｏｂｊｅｃｔｉｖｅ，ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃａｎｄａｃｃｅｐｔｅｄｂｙｂｏｔｈｓｉｄｅｓ．
ＫｅｙＷｏｒｄｓ　ｚｅｒｏ‐ｆａｉｌｕｒｅ，ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ，ｆａｉｌｕｒｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ
ＣｌａｓｓＮｕｍｂｅｒ　ＴＰ２０２
１　引言
可靠性［１］作为武器装备的重要战技指标是武备试验与鉴定必须考核的指标之一。

由于各种条件的限制，在指数分布武器装备可靠性试验中，常采用定时截尾试验方法［２］，也就是根据武器装备研制任务书中的指标，作出定时截尾试验检验方案。

随着科学技术的进步，武器装备的可靠性越来越高，按照常用的故障数不低于１的试验方案，往往需要很高的试验周期和试验经费。

因此，在实际的可靠性鉴定试验中，综合考虑试验周期和试验经费，有时会制定故障数为零的试验方案，即零失效定时试验方案［３］。

这就难免在可靠性试验截尾时间到时，经常会出现零失效数据［４］，也就是零故障情形。

在这种情况下，目前都是根据检验方案，对产品作出接受的决定。

其实这样做有一个问题：就是在外推时间处也就是截尾时间的下一时间点处是否会有失效样品出现还不确定。

如果此时有失效样品出现，那么对该产品可靠性的评定就可能会产生“冒进”现象。

为改善这种“冒进”，可以考虑引进失效信息，进行综合处理，在作出可靠性检验的同时，对产品的可靠性作出估计［５］。

本文主要是针对零失效数据的指数分布产品，引进失效信息，综合加权评估产品的可靠性，以改善由于试验截尾时间“短”，而可能造成评定结果的“冒进”。

磁收稿日期：２０１５年８月１０日，修回日期：２０１５年９月１８日
作者简介：于录，女，硕士，研究方向：导弹武器系统试验与鉴定。

曲宝忠，男，硕士，研究方向：导弹武器系统试验与鉴定。

１０４　于　录等：基于零失效数据的指数分布可靠性综合评估总第２６０期
２　定时截尾试验方法
原假设为Ｈ０：θ＝θ０，备择假设为Ｈ１：θ１＝λθ０
（λ＜１）。

其中：θ０为指标的目标值；θ１为指标的最低可接收值；λ为检出比。

设试验时间为Ｔ，故障数为Ｚ。

决策不等式为
Ｚ＞ｌｎ（π１／π０）－（Ｔ／θ１－Ｔ／θ０）ｌｎ（θ１／θ０）
（１）
当不等式（１）成立时，拒绝Ｈ０，否则采纳Ｈ０。

接收原假设Ｈ０的概率：
π０＝１
１＋１
λ
Ｚ０ｅ
Ｔ０１－１
λθ０（２）式中：π０为验前概率，Ｔ０为验前试验时间，Ｚ０为故障数。

拒绝原假设Ｈ０的概率：
π１＝１－π０（３）
判决数：
ＦＢ＝ｉｎｔｌｎ（π１／π０）－（Ｔ／θ１－Ｔ／θ０）
ｌｎ（θ１／θ０）
（４）
生产方风险：
α＝１－
∑
ＦＢ
Ｚ＝０
Ｔ
θ０Ｚ
·
ｅ－Ｔ
θ０Ｚ！
（５）
使用方风险：
β＝
∑
ＦＢ
Ｚ＝０
Ｔθ１
Ｚ
·
ｅ－
Ｔ
θ１Ｚ！
（６）
３　可靠性估计
假设对某武备进行ｍ次定时截尾试验，在第ｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）次定时截尾试验中，截尾时间为ｔｉ（ｔ１＜ｔ２＜…＜ｔｍ），相应试验样品数为ｎｉ，若试验的结果是ｎｉ个样品中有ｒｉ（ｒｉ＝０，１，…，ｎｉ）个失效，则定时截尾试验数据为｛（ｔｉ，ｎｉ，ｒｉ），ｉ＝１，２，…，ｍ｝。

当ｒｉ＝０时，｛（ｔｉ，ｎｉ），ｉ＝１，２，…，ｍ｝为零失效数据。

３．１　零失效数据可靠性估计
指数分布产品的分布函数［６］
可表示为
Ｆ（ｔ）＝１－ｅ－λｔ
，ｔ＞０，λ＞０（７）
式中：λ为失效率［７］，是需要评估的特征参数。

λ的密度函数为
ｆ（ｔ）＝λｅ
－λｔ
（８）若λ的先验密度函数的核为λａ－１
，则λ的先验密度函数为
π（λ）∝λａ－１（９）
式中：０＜ａ＜１为常数。

针对指数分布产品ｍ次定时截尾试验的零失
效数据｛（ｔｉ，ｎｉ），ｉ＝１，２，…，ｍ｝，若λ的先验密度函
数由式（９）给出，在零失效数据情形下，λ的似然函数［８］
为
Ｌ（０｜λ）＝ｅ
－Ｎλ
其中：Ｎ＝
∑
ｍ
ｉ＝１
ｎｉｔｉ。

根据Ｂａｙｅｓ定理，则λ的后验密度函数为
ｈ（λ｜Ｎ）＝π（λ）Ｌ（０｜λ）∫∞０π（λ）Ｌ（０｜λ）ｄλ＝λａ－１ｅ－Ｎλ
∫
∞
０
λａ－１ｅ－Ｎλ
ｄλ＝Ｎａ
Γ（ａ）
λａ－１ｅ－Ｎλ
（１０）
其中：Γ（ａ）＝∫
∞
０
ｔ
ａ－１
ｅ－ｔ
ｄｔ为Ｇａｍｍａ函数。

在平方损失［９］的情况下，失效率λ的Ｂａｙｅｓ估
计为
＾λ＝
∫
∞
０λｈ（λ｜Ｎ）ｄλ＝Ｎａ
Γ（ａ）∫
∞
０
λ（ａ＋１）－１ｅ－Ｎλ
ｄλ＝Γ（ａ＋１）ＮΓ（ａ）＝ａＮ（１１）其中：ａ＝１２
χ２α（２）＝－ｌｎα，χ２
α（２）是自由度为２的
χ２
分布的α分位点，
０＜α＜１，α为置信度，一般取置信度α＝０．５，即ａ＝－ｌｎα＝－ｌｎ０．５＝０．６９３１。

可靠性θ的Ｂａｙｅｓ估计为
＾θ＝１＾λ＝Ｎａ
（１２）３．２　引进失效信息后可靠性估计
现在获得ｍ次定时截尾试验的零失效数据为｛（ｔｉ，ｎｉ），ｉ＝１，２，…，ｍ｝，若在ｍ＋１次定时截尾试验中，截尾时间为ｔｍ＋１，相应的试验样品数为ｎｍ＋１，结果有ｒ（ｒ＝０，１，…，ｎｍ＋１）样品失效。

由于实际上ｍ＋１次定时截尾试验并没有进行，也不允许进行。

因此ｔｍ＋１、ｎｍ＋１和ｒ均是未知的。

现取ｔｍ＋１为ｔｍ再加上前ｍ次定时截尾试验的平均试验间隔时间，即
ｔｍ＋１＝ｔｍ＋１
ｍ－１∑ｍ
ｉ＝２
（ｔｉ－ｔｉ－１）（１３）
取ｎｍ＋１是前ｍ次定时截尾试验的平均样品数（取整），即
ｎｍ＋１＝１
ｍ∑ｍ
ｉ＝１
ｎｉ（１４）其中，［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数。

现假如在ｍ＋１次定时截尾试验中，截尾时间为ｔｍ＋１，相应的试验样品数为ｎｍ＋１，结果有１个样品失效。

若λ的先验密度函数仍由式（９）给出，在１
个样品失效情形下，λ的似然函数［４］
为
Ｌ（１｜λ）＝ｎｍ＋１ｔｍ＋１λｅ
－Ｍλ
其中：Ｍ＝
∑
ｍ＋１
ｉ＝１
ｎｉｔｉ。

根据Ｂａｙｅｓ定理，则λ的后验密度函数为
ｈ（λ｜Ｍ）＝π（λ）Ｌ（１｜λ）
∫∞０π（λ）Ｌ（１｜λ）ｄλ＝λａ－１ｎｍ＋１ｔｍ＋１λｅ－Ｍλ∫
∞
０
λａ－１ｎｍ＋１ｔｍ＋１λｅ－Ｍλ
ｄλ＝
λ（ａ＋１）－１
ｅ－
Ｍλ∫
∞
０
λ
（ａ＋１）－１
ｅ－Ｍλ
ｄλ
＝Ｍａ＋１
Γ（ａ＋１）
λ（ａ＋１）－１ｅ－Ｍλ（１５）其中：Γ（ａ＋１）＝∫
∞
０
ｔ（ａ＋１）－１ｅ－ｔｄｔ为Ｇａｍｍａ函数。

在平方损失的情况下，失效率λ的Ｂａｙｅｓ估计
为
＾λ＝
∫
∞
０λｈ（λ｜Ｍ）ｄλ＝Ｍ
ａ＋１
Γ（ａ＋１）∫
∞
０
λ
（ａ＋２）－１
ｅ
－Ｍλ
ｄλ
＝Ｍａ＋１Γ（ａ＋１）Γ（ａ＋２）Ｍａ＋２＝ａ＋１Ｍ
（１６）
式中：ａ的取值同式（１４）。

可靠性θ的Ｂａｙｅｓ估计为
＾θ＝Ｍａ＋１
（１７）３．３　可靠性的加权综合估计
记零失效数据情况下失效率的Ｂａｙｅｓ估计为
＾λ０，根据式（１１），＾λ０＝ａＮ，Ｎ＝∑ｍ
ｉ＝１
ｎｉｔｉ。

再记引进１个失效信息后失效率的Ｂａｙｅｓ估计为＾λ１，根据式（１６），＾λ１＝ａ＋１Ｍ
，Ｍ＝
∑
ｍ＋１ｉ＝１
ｎｉｔｉ。

现将＾λ０和＾λ１进行
加权，得到失效率λ的加权综合估计
［１０］
为
　＾λ综合＝１
Ｍ
（Ｎ＾λ０＋ｎｍ＋１ｔｍ＋１＾λ１）
＝
１∑
ｍ＋１ｉ＝１
ｎｉｔｉ
∑
ｍｉ＝１
ｎｉｔｉ＾λ０＋ｎｍ＋１ｔｍ＋１＾λ１
（１８）
可靠性θ的加权综合估计为
＾θ综合＝１＾λ综合
＝
∑
ｍ＋１
ｉ＝１
ｎｉｔｉ
∑
ｍｉ＝１
ｎｉｔｉ＾λ０＋ｎｍ＋１ｔｍ＋１＾λ１
（１９）
４　实例分析
某型导弹的自动化测试设备可靠性试验数据
如表１所示。

共有七组数据，试验时间单位：小时。

４．１　实例计算
根据式（１１）、式（１２）得到零失效数据可靠性估计；根据式（１３）、式（１４）、式（１６）和式（１７）得到引进失效信息后可靠性估计；根据式（１９）得到可靠性的加权综合估计。

具体结果如表２所示。

表１　某自动化测试设备截尾试验数据
试验次数ｉ试验样品
数ｎｉ
试验截尾试验ｔｉ失效样品数ｒｉ１３２０２２４０３４７０４５１００５２１３０６３１７０７
３
２１
０
表２　失效率及可靠性估计结果
方法
失效率估计
可靠性估计
＾λ＾θ零失效数据估计
３．０×１０－３３３４．７引进失效信息估计５．６×１０－３１７９．６加权综合估计
３．６×１０－３
２７７．９
４．２　结果分析
１）从计算结果可以看出，在定时截尾试验中，若直接应用零失效数据对装备的可靠性进行估计，因为无法预知截止时间的下一时间点是否会有失效样品出现，而造成评估结果较为冒进。

２）若在零失效数据中，直接引进１个失效样品评估装备的可靠性，由于引进了１个失效数据，就相当于肯定截止时间的下一时间点会出现１个失效样品，缺乏事实依据，所以使评估结果过于保守。

３）在零失效数据中，引进１个失效样品，进行综合处理加权后，得到的评估结果既避免了零失效数据评估的冒进，又避免了直接引进１个失效样品进行评估的保守，符合产品可靠性具有连续性特点，而且使评估结果易于被双方接受。

５　结语
在指数分布产品可靠性评定试验中，针对试验数据零失效情形，引进１个失效样品，进行加权处理，综合评定产品的可靠性，既避免了评估结果的冒进，又使评估结果客观、科学，易于被双方共同接受。

参考文献
［１］曾天翔，等．可靠性维修性保障性术语集［Ｍ］．北京：国
防工业出版社，２００２：３３．
［２］任占勇，等．ＧＪＢ８９９Ａ‐２００９［Ｓ］．北京：中国人民解放军
总装备部，２００９：２４‐２９．
［３］李金国，等．高可靠性航空产品试验技术［Ｍ］．北京：国
防工业出版社，２０１１：２０１‐２０４．
（下转第１０９页）
３．５　综合评估
对多层次模糊综合评定的计算过程是由下而上进行的。

设下层中同隶属于上层某个元素或指标的ｎ个元素的单因素评估矩阵Ｒ＝（γｉｊ）ｎ×５，又知该ｎ个元素的权重向量Ｗ＝（ω１，ω２，…，ωｎ），则上层元素的单因素评估矩阵为
ＢＷ·Ｒ＝（ω１，ω２，…，ωｎ）（γｉｊ）ｎ×５＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４，ｂ５）再通过Ｒ＝Ｂ（以下一层的结果，作为上层的模糊评估）转换，重复上述步骤，即可得到舰船装备保障能力评估结果Ｂ＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４，ｂ５）。

与预先设定的评语集计算Ｖ＝（９０，８０，７０，６０，０），即可得到关于舰船装备保障能力的最终评估得分。

Ｄ＝９０×ｂ１＋８０×ｂ２＋７０×ｂ３＋６０×ｂ４＋０×ｂ５
式中，Ｄ为最后的评估得分。

３．６　关于评估结果的讨论
最后得到的评估结果有两种表示方式：一种是模糊向量方式Ｒ＝（γ１，γ２，γ３，γ４，γ５），反映了评估结果在各等级上的隶属度分量，有助于帮助部队认识舰船装备保障系统的状态，认清下一步工作重点；另一种是得分方式，这种方式有助于不同单位之间的比较和排序，得出最优单位。

４　结语
舰船装备保障能力评估涉及到很多因素，特别是针对影响因素复杂，可变性和不确定性较强，可量化性差的因素，给评估工作带来了极大的困难。

采用基于模糊理论的多级模糊综合评判法对舰船装备保障能力进行评估是一种比较合适的方法。

实践证明，这种方法更加适合于这类边界不清、不易量化的综合评估问题。

本文主要采用的模糊综合评判法体现了舰船装备保障能力评估中定性与定量相结合，为以后此类问题的研究提供了一种有效的方法，具有一定的参考价值。

参考文献
［１］崔荣洪，周向东．模糊综合评判法在航空装备保障能力评估中的应用［Ｊ］．装备指挥技术学院学报，２００１，３：１８‐２２．
［２］蔡文军，李晓松．海军舰船装备保障能力评估理论与方法［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１３．
［３］张俊福，夏启超．模糊综合评估法在空军装备保障能力评估中的应用研究［Ｊ］．兵工学报，２００２，２：２２‐２６．［４］王学义，孙德宝．部队装备保障能力评估研究［Ｊ］．军械工程学院学报，２００２，１４（１）：４２‐４６．
［５］戴钧陶．现在管理评估技术［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９９４．
［６］张卓．作战系统效能评估［Ｍ］．北京：军事科学出版社，１９９６．
［７］张卓编．作战系统效能评估［Ｍ］．北京：军事科学出版社，１９９６．
［８］［美］汤姆·科兰普，蒂姆·科勒，杰克·默林．价值评估［Ｍ］．北京：中国大百科全书出版社，１９９７．
［９］朱石坚，辜健，等．舰船装备综合保障工程［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１０：１５．
［１０］葛涛，等．装备保障能力生成模式影响因素分析［Ｊ］．装备指挥技术学院学报，２００８，４：２８‐３２．
（上接第１０５页）
［４］韩明．基于无失效数据的可靠性参数估计［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００５：１‐２，１０７‐１０９．
［５］曲宝忠，等．海军战术导弹试验与鉴定［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２００５：１２３‐１２４．
［６］李湘宁．基于ＭＬ‐Ⅱ的指数分布可靠性多层Ｂａｙｅｓ估计［Ｊ］．现代防御技术，２０１２（４）：８１‐８２．
［７］周正伐，等．航天可靠性工程［Ｍ］．北京：宇航出版社，
２００７：１９３‐１９６．
［８］韩明．可靠性参数的修正Ｂａｙｅｓ估计法及其应用［Ｍ］．上海：同济大学出版社，２０１０：１１‐１３．
［９］茆诗松，王静龙，等．高等数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２：１６７‐１６９．
［１０］韩明，等．失效率的综合‐Ｂａｙｅｓ估计［Ｊ］．数学物理学报，２００５，２５：６７８‐６８０．。