江苏省南通市天星湖中学高中数学必修一学案2-1-3 函数

课题：§2．1．3 函数的单调性(2)
【学习目标】
1．理解函数最大（小）值的几何意义并能求出一些简单函数的最值． 2．体会函数单调性在求函数值域或最值中的应用． 【学习重点】
利用函数的单调性求出一些简单函数的最值求复合函数的单调区间． 【学习难点】
１．函数的单调性的灵活应用． 2．复合函数的单调性判别． 【学习过程】 一、问题情境 1．复习：
（1）复习增函数、减函数的定义及判别方法． （2）指出函数y kx b =+、)0(2>++=a c bx ax y 、(0)k
y k x
=≠的单调区间．
2．问题1：函数的单调性对求函数值域等有何帮助？ 问题2：先完成下表：
二、建构数学 1．函数最值的定义：
(1) 一般地，设)(x f y =的定义域为A ．如果存在A x ∈0，使得对于任意的A x ∈，都有，那么称)(0x f 为)(x f y =的最值，记为．
(2) 一般地，设)(x f y =的定义域为A ．如果存在A x ∈0，使得对于任意的A x ∈，都有，那么称)(0x f 为)(x f y =的最值，记为．
2．单调性与最值：
设函数()y f x =的定义域为[],a b ，
(1) 若()y f x =是增函数，则max y = ，min y = ； (2) 若()y f x =是减函数，则max y = ，min y = ．
下图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
3．复合函数的单调性的判断：
设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是
单调函数．
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同．
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性
相同． 三、数学运用
例1．求下列函数的最大值和最小值．
（1）()35,[3,6]f x x x =+∈（2）x x x f 2)(2+-=，∈x
（3）21y x x =++，∈x [1,1]-（4）4()1,{1,0,1,2}f x x x =+∈-
（5）()f x = (6)x
x x f 321
2)(+-=
，[]1,3x ∈
例2．求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．
例3．（1）已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围．
（2）已知2)1(2)(2
+-+=x a x x f 的单调递减区间是]3,(-∞，求实数a 的取值．
例4．函数()f x 是定义在()1,1-上的增函数，且满足(2)(3)f a f a -<-，求实数a 的取值范围．
例5．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0
,
40,
4)(2
2x x x x x x x f ，若2(2)(),f a f a ->
求实数a 的取值范围．
例6．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0
,)2(0
,1)12()(2
x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．
例7．（1）求函数2
1
2
++=x x y 的单调减区间．
（2）求函数322+--=x x y 的单调区间．
四、课堂检测 1．函数24x y -=的单调递减区间是，单调递增区间为．
2．函数2
11
x y -=
的单调区间为． 3．若函数a x y -=在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是． 4．函数12)(2
+-=ax x x f 在)1,(-∞上是减函数，求a 的取值范围．
5．．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在[]4,3是单调函数，求实数a 的取值范围．
五、课后作业
1．函数x x y 1
-
=在[]2,1上的最大值为，最小值为． 2．函数x
a x f 2
5)(-=在),0(+∞上单调递减，则a 的取值范围是．
3．函数6)(2--=x x x f 的单调增区间是．
4．已知5)(2++=x mx x f 在[)+∞-,2上是增函数，则m 的取值范围是．
5．如果二次函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,2
1
(上单调增函数，则)2(f 的取值范围是．
6．函数x
x
x f +-=
11)(的单调递减区间． 7．函数3222-+-=x x y 的单调递增区间是．
8．已知)(x f 是定义在[]1,1-的增函数，且)1()1(2-<-x f x f ，则x 的取值范围是． 9．函数2()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值． 10．函数)
1(11
)(x x x f --=
的最大值是．
11．函数2()21(0)f x ax ax a =++>在区间[3,2]-上的最大值为4，则a =_______． 12．函数2
3(0)()5(0)
x x f x x x +<⎧=⎨
-≥⎩的最大值为 ．
13．已知x ∈,则函数y=22+x －x -1的最大值为_____．最小值为____． 14．已知二次函数2()21f x ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，求实数a 的值．
15．已知定义在R 上的二次函数)(x f 的最小值为1，且3)2()0(==f f ．（1）求)(x f 的解析式；（2）若)(x f 在区间[]1,2+a a 上单调，求a 的取值范围．。