平面向量应用举例课件

F
由
200 2 cos
3

2
≤
200,
cos

2
≥
3 2
,

2
≤
6
,


≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2

1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
绳子的最大拉力为
|
u ur F1
|
,物体重量为 |
ur G
|
,分析绳
子受到的拉力大小F1与两u绳r 子间的夹角θ的关系？
F

u ur
u ur
F1 F2
uur | F1
|
ur |G |
2
cos

2
ur G
uu r
|G u r(4|)如20果0绳3N 子,的θ在最什大么承范受围力内为,绳|F 子1|才2 不0会0N 断u,r ？
u ur F1
u ur F2
来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图
所示，只要分清F，G和θ三者的关系，
就得到了问题得数学解释！
ur G
uur uur
解法：则,不力妨的设平衡| F以1 |及| F直2 |角,由三向角量形的的知平识行,四边形Fu r
可以知道： |
uur F1
|
ur |G |
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
例2. 如图， YABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边
ur v1
r v
u ur v2
r u r u u ru r
分 析 ： 如 图 ， 已 知 vv1v2 ， v110km /h ,
u u r
r u u r
v22km /h ， vv2 ， 求 t.
解：由已知条件得
B
v v2 0
u ur
r
| vr |
| v1 |2 | v2 |2
v2
96(km/ h),
v
A
ur v1
所 以td0.5603.1(m in).
|v| 96
答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船 在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要 使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所 用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这 个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小 船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指 向河对岸），小船过河所用时间才最短。
两臂的夹角越小,手臂就越省力
例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人
共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引
体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数
学的角度解释这种现象吗？
ur F
分析：上述的问题跟如图所示的是同个
问题，抽象为数学模型如下：
用向量F1 ,F2表示两个提力,它们 的合向量为F，物体的重力用向量G
A
C B
D
A D
A
C 判断：矩形ABCD中，对角线
长度与两条邻边长度之间是否 有关系如下：
B A2C D2B 2(A2B A2D )
C
探索：平行四边形 ABCD中， 以上关系是否依然成立？
B 发现：平行四边形两条对角线 的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本 思路吗？
1.向量在几何中的应用（三部曲）：
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
2.向量在物理中的应用：
（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题. （3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
解:使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速 度,方向指向河对岸),小船过河所用时间才最短.
t udr | v1 |
0.5 60 3. 10
ur v1 r
v
u ur v2
答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min
练于角平习为衡112.u 状0平r 0,态面求u ,上u r Fu|uF u 三r3 u r 1 的|个 大1 力N 小u Fu， r u|1r。F u ,u r Fu2 uu |2u ru r ,2 FuuN r3u ， u 作r Fuu用1r与于uF一u2ur点且的处夹
解 : 设 F 1 与 F 2 的 合 力 F F 1 F 2 .B
M
F2(F1F2)2
F2
F
u u r2 u u ru u r u u r2 F 1 2F 1F 2F 2,
O F1 A
F3
u u r u u r u u r u u r
u u r
|F 3 | |F 1 | 2 2 |F 1 | |F 2 |c o s 1 2 0 |F 2 | 2 3
的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
E
R
T
A
B
解：设 u A u u B r a r,u A u u D r b r,u A u u R r r r,则 u A uu C rarbr
由于
uuur AR
cos
2
通过上面的式子，知当θ由0º到
1变8大0º逐，渐c变o s 的大2 值时由，大由2逐0渐º到变9小0º逐. 渐
u ur F1
u ur F2
uur
| F 1 | 由小逐渐变大.
ur
G
uur uur
即 F1 与F2 之间的夹角越大越费力,夹角越
小越省力！
uur | F1
|
ur |G |
Байду номын сангаас
r aB
所以
rr 1br m(ar 1br)
2
2
因 此 n(a rb r)1b rm (a r1b r)
2
2
即 (nm )a r(nm1)b r0 r
Q ar , br不共线， 2
D
F
C
E
R

n n

m 0 m 1
2
0A
T B
解得：n= m = 1 3
与
uuur AC
共线，所以设
r r u r rn (ab),n R
Qu E uB u ru A uB u ru A uE ura r1b r
uuur uuur
2
又因为 ER与E共B线，
rD
F
C
b
ER
T
所以设 uEuR urmuEuB urm(ar1br) A
因为
u u u r u u u r u u u r 2 A R A E E R
所 以 u A u u R r 1 u A u u C r,同 理 T u u C u r 1 u A u u C r,于 是 u R u T u r 1 u A u u C r
3
3
3
故AT=RT=TC
情景1：两人一起提一个重物时,怎样 提它最省力?
夹角越小越省力
情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手 臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什 么关系?
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模
型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两
条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur D BABAD,
uuur uuur uuur ACABAD ,
猜想：
D
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
2.类比猜想，平行四边
形有相似关系吗？