现代谱估计-有理谱估计

，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
rx 1 rx 0 rx 0 rx 1 rx p 1 rx p 2
rx p 1 a 1 rx 1 rx p 2 a 2 rx 2 rx 0 a p rx p
c 2 ，强相合
自回归传递函数(CAT)准则 CAT m
1 m N i N m ，选择 AR 模型阶 ˆ N ˆm N i 1 N i
次使得由该模型得到的最小预测误差功率估计与理想的最小预测误差功率的差 值最小。 在样本较短时，一般取 N/2~N/3。
2.6 AR 参数估计和 AR 功率谱估计的渐近统计特性
ˆ m 2 m ，使模型对应过程的概率分布 赤池信息论(AIC)准则 AIC m N ln
最大可能地逼近实际过程的概率分布（Kullback-Leibler 信息测度最小） ，过相合
ˆ m m ln N ，强相合，也可从 Bayes 最短描述长度(MDL)准则 MDL m N ln ˆ m cm ln ln N 原理得到； HIC m N ln
m p 阶最优前向预测误差滤波器是 AR 过程的白化滤波器
2.4 AR 模型参数估计方法
自相关法：用样本有偏自相关函数的估计，求解 Yule-Walker 近似方程；自 相关法还可以看作求解最优一步前向线性预测问题。 由于自相关法并非真的 p 阶 前向预测误差来估计预测误差功率， 故其分辨率低， 数据样本较少时， 更是如此。 若用无偏的自相关函数估计值，则不保证自相关矩阵的正定性，而且方差较大。 协方差法：相对与自相关法，估计预测误差功率时不取那些不适当的项；不 保证估计出的 AR 参数对应于稳定的 AR 模型；样本充分大时，高斯分布的 AR 过程，协方差法得到的是极大似然估计。 修正协方差法：使前、后向预测误差功率估计的平均值达到极小来估计 AR 模型参数；不保证 AR 模型的稳定性。 Burg 法：先估计反射系数，在根据 Levinson 递推关系得到 AR 参数估计值； 利用使 m 阶前、后向预测误差功率的平均值极小估计反射系数；与修正协方差 法的区别为， 对 AR 参数施加了 Levinson 递推关系的约束； 反射系数的其它估计 方法有几何平均法、数据自适应加权法、极大似然法。 参数估计方法总结：对于真正的 AR 过程，协方差法、修正协方差法和 Burg 法性能相近，只有自相关法较差，偏差大，分辨率差，方差大；正弦信号加白噪 声数据，自相关、基本 Burg 法有谱线分裂和谱线偏移现象，协方差法、数据自 适应加权反射系数估计和极大似然反射系数估计对应的 Burg 法可以减少或消除 谱线分裂、谱峰偏移，修正的协方差法没有谱线分裂现象且谱峰偏移最小；自相 关法和 Burg 法可用 Levinson 递推计算，对应稳定的 AR 模型，协方差法和修正 协方差法不能用 Levinson 递推计算， 也不保证对应稳定的 AR 模型， 但也有快速 算法。综上，修正协方差性能最好。
1.5 有理谱估计问题
如果随机信号不含线谱分量，则为纯随机的，功率谱为频率的连续函数，可 用 ARMA、AR、MA 模型描述。其功率谱估计问题，就是信号的参数建模问题， 包括选择合适的模型、 估计模型参数和将这些估计结果代入理论功率谱公式三部
分，分为 AR 谱估计、MA 谱估计、ARMA 谱估计。 对于谱估计问题，不同的模型适合表示不同类型的谱： ①AR 模型适合具有尖峰而没有深谷的谱； ②MA 模型适合具有深谷但没有尖峰的谱； ③ARMA 模型较通用，对两种极端情况都能适用。 选择模型的准则： ①节俭准则：选择参数尽量少的模型。对应有限的数据，估计的参数越多，估计 精度就会越差，从而影响谱的估计质量。 ②求解模型参数的计算量： AR 模型参数估计可通过解一组线性方程得到，而 ARMA 和 MA 模型参则需要求解高阶非线性方程。
近有效估计。 AR 功率谱估计的渐近统计特性：渐近无偏、强一致、分布收敛于高斯分辨， 方差与数据长度成反比。 AR 功 率 谱 估 计 的 频 率 分 辨 率 ： 用 正 弦 信 号 加 白 噪 声 来 测 试 ，
2
AR
1.03 p SNR p 1
0.31
p
q
这种描述 y n 的线性模型叫做自回归滑动平均模型(ARMA 模型)， 那么 y n 的功率谱就可以表示为
Py H e
2 j

2

2
B e j A e j
2
当 a l 0, l 1, 2,
p 时，有
1.3 平稳随机过程的时间序列模型
对于规则过程 y n ， 从功率谱等价的角度， 可以看做是一个功率谱为 2 的
白噪声 u n 激励一个稳定的线性定常系统 H z 的输出：
a l y n l b l u n l
l 0 l 0
y n b l u n l
l 0
q
即滑动平均模型(MA 模型)。 当 b l 0, l 1, 2
q 时，有
y n a l y n l u n
l 0
p
即自回归模型(AR 模型)。 ARMA、AR、MA 三种模型之间存在一定的内在的联系： (1) 任何 AR 或 ARMA 过程都可以表示为唯一的、阶数可能无穷大的 MA 过程； (2) 任何 MA 或 ARMA 过程都可以表示为唯一的、阶数可能无穷大的 AR 过程。
2.2 AR 过程特性
2.2.1 Yule-Walker 方程
p 阶 AR 过程 x n 满足差分方程
x n a l u n l u n
l 1 p
u n 为方程等于
2
的零均值平稳白噪声。可以推导出 Yule-Walker 方程：
1.2 谱表示定理
设平稳随机过程 y n 的功率谱 Py 是 cos 或 e j 的有理函数，那么必 定存在一个渐进稳定的最小相位线性定常系统，使得如果系统的输入为白噪声， 则系统的输出是功率谱为 Py 的平稳随机过程。 如果随机过程中不含确定性随机过程分量，那么它的功率谱就是有理谱，从 功率谱等价的角度，这个随机过程就可以看成白噪声激励线性系统的输出。
现代谱估计之有理谱估计
1、功率谱估计基本介绍
1.1 Wold 分解定理
任一广义平稳随机过程 x n 都可作如下分解：
x n x1 n x2 n
其中 (1) x1 n 和 x2 n 是不相关的过程； (2) x1 n 是具有连续功率谱的完全随机规则过程，可表示为
大样本渐近统计特性，各种 AR 参数估计方法有相同的渐近统计特性
ˆ, ˆ 2 是渐近无偏强一致估计， N a a ˆ 和 AR 参数估计的渐近统计特性： a
ˆ aa ˆ, ˆ 2 是渐 的分布都收敛于高斯分布；如果 u n 服从高斯分布， a N 2 2 ˆ
2.5 模型阶次选择
阶次太低， 会平滑真实功率谱， 较大偏差， 可能使谱峰无法分辨； 阶次太高， 会是估计参数太多，谱估计方差性能下降，出现伪峰。 真正的 AR 过程，预测误差功率随阶次的增加而下降，达到真实阶次后便不 再下降。但在有限样本下，预测误差功率会随着阶次的增加单调地趋于零，对于 非 AR 过程，同样如此。因此不能简单地将预测误差功率的减少作为确定阶次的 方法，还要考虑阶次增加带来的模型参数增加引起谱估计方差的增大。 N m ˆ m ，过相合 最终预测误差(FPE)准则 FPE m N m
p 0 k 0 rx k a i rx k i 2 i 1 k 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，由 AR 过程的前 p 个自相关函数可以外推其它延迟的自相关函数。若 已知了 AR 过程的前 p 1 个延迟的自相关函数， 就可以通过解一组线性方程得到 AR 过程参数。 Yule-Walker 方程的矩阵表示：
2、自回归谱估计
2.1 引言
最大熵谱估计，对于未知的自相关函数，选取各种外推结果中具有最大随机 性的过程对应的一组外推结果，也就是按最大熵准则来外推自相关函数。对于高 斯平稳过程的最大熵谱估计问题与用 M 阶 AR 模型拟合该过程是等价的。 AR 谱估计和最大熵谱估计的不同之处： (1)最大熵准则和方法具有普遍意义， 并不限于高斯平稳过程或者 AR 过程的 谱估计，只是对于高斯平稳过程，最大熵谱估计结果有 AR 谱估计的形式。 (2)AR 谱估计是对从功率谱等价的角度能够用有限阶 AR 模型准确或近似表 示的平稳过程，通过估计 AR 模型参数间接获得功率谱估计的方法。 (3)对于非高斯过程，最大熵谱估计和 AR 谱估计在任何情况下都不同。 (4)对于高斯的 AR 过程，如果自相关函数的最大延迟小于 AR 过程的阶次， AR 谱估计则不能求出，而最大熵谱估计则得到一个阶次等于最大延时的 AR 过 程对应的谱。 (5)用多维平稳模拟随机场的多维最大熵谱估计与多维 Ar 谱估计在任何情况 下都不同。
x1 n h k u n k
k 0

且 h k ， u n 为与 x1 n 不相关的白噪声过程；
2 k 0

(3)
x n 为可由其过去值的线性组合完全预测的确定性随机过程。
2
Wold 分解定理说明，任何一个广义平稳随机过程都可以分解为一连续谱和 一线谱之和。