高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》全集汇编及答案解析

数学《数列》知识点
一、选择题
1．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，
(2)(4)(6)(2018)
(1)(3)(5)(2017)
f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2018
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+
++
L 的值即可.
【详解】
在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则
()()
12f a f a +=，据此可知：
()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+
++
L 2222210092018=++++=⨯=L .
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+
，
又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.
4．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2
C ．
111989
2
D ．
1120192
【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】
由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2m -， 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则9S =（ ） A ．993 B ．766 C ．1013 D ．885
【答案】C 【解析】 【分析】
计算11a =，()1121n n a a -+=+，得到21n
n a =-，代入计算得到答案.
【详解】
当1n =时，11a =；
当2n ≥时，1121n n n n a S S a --=-=+，∴()1121n n a a -+=+，
所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，即21n
n a =-，∴
1222n n n S a n n +=-=--，
∴10
92111013S =-=．
故选：C . 【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则4
2
S S ( ) A ．3 B ．9
C ．10
D ．13
【答案】C 【解析】 【分析】
设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2
60,0q q q --=>，解得q ，
再利用求和公式即可得结果. 【详解】
设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，
Q 满足645,3,a a a -成等差数列，
()
2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，
则
()
()
4124221313131103131
a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
7．已知数列{}n a 中，12a =，2
11n n n a a a +=-+，记12111n n
A a a a =
++⋯+，12111
n n
B a a a =
⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．201920191
2
A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】
根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】
注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）2
1210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．
（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=
+=，2019212111
6
B A a a <=⋅=， 所以2019201912
A B ->
.
事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：
（1）2
111211111111
111
11n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒
=
-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）2
11n n n a a a +=-+等价于
2
111
1
n n n
a a a +=
--， 所以1111n n n a a a +-=-， 故12111111
n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是
12121111111n n a a a a a a ⎛⎫
⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭
， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.
8．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2
1q >，然后再根据充分条件和
必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以2
1q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性
质是解题的关键.
9．在递减等差数列{}n a 中，2
1324a a a =-．若113a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．
24143
B ．
1143
C ．
2413
D ．
613
【答案】D 【解析】
设公差为,0d d < ，所以由2
1324a a a =-，113a =，得
213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ， 因为111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和等于
1111116()()213213213261313
n --≤--=-⨯- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数
列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
1(1)(3)n n ++或
1
(2)
n n +.
10．已知数列{}n a 中，732,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是等差数列，则11a 等于（ ） A ．0 B ．
12
C ．
23
D ．1-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件得等差数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
公差以及通项公式，代入解得11a .
【详解】
设等差数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
公差为d ，则
731111144,112324d d d a a =-∴=-=++， 从而31115
(3)11242424
n n n a a =+-⋅=+++
1111111521
1242432
a a =+=∴=+，选B. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题.
11．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．
2
3
B ．
32
C ．23
-
D ．32
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d .
101010,70a S ==Q ，11910109
10702a d a d +=⎧⎪
∴⎨⨯+=⎪⎩
解得2
3
d =
. 故选：A . 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.
12．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16，
得810
2
16a q a =
=，得q 2＝2. ∴4
624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，
又S n 为等差数列{b n }的前n 项和，
∴()111116
1111442
b b S b
+⨯=
==.
故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.
13．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值． 【详解】
等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <， 即()
()120201*********a a S a a +=
=+>，10110a a ∴+>，
()
1212111212102
a a S a +=
=<，所以，110a <，则100a >，
因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．
14．已知函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）
A ．
20152016 B ．
2016
2017
C ．
2017
2018
D ．
2018
2019
【答案】D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析
式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】
由()2
f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，
因为函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则
()()211111
11
f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019
S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．
15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9
C ．18
D ．27
【答案】D 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=
∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()
272
a a S ⨯+== 故选D.
16．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51
C ．61
D ．68
【答案】B 【解析】 【分析】
由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】
在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，
3156a a ∴+=.
()()117315171717176
51222
a a a a S ++⨯∴====.
故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.
17．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a
r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a
r r r
+-+
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：
1717
16
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a
S a r a r a r r r r r
++-=++++⋯⋯++==+-++-；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
18．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=
（ ）
A ．0
B ．55
C ．66
D ．78
【答案】D
【解析】
【分析】 先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.
【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，
213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+
222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++-
12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=（） 78=
故选：D
【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
19．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633
f x x x x =-+-的极值点，则2020
a =（ ）
A ．1-
B ．1
C
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633
f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根
∴140396a a =
又{}n a
是正项等比数列，所以2020a =
∴20201a ==.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
20．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[；
B
．(,-∞ C
．)+∞
D
．(,)-∞⋃+∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322
a d a =-
-，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解.
【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴1515455102
a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322
a d a =--， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=-
-=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时等号成立；
当10a <
时，11322a d a =-
-≥=
1a =立； ∴实数d
的取值范围为(,)-∞⋃+∞.
故选：D.
【点睛】
本题考查了等差数列前n项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.。