第二章测度论的知识要点与复习自测

第二章测度论的知识要点与复习自测
第二章测度论的知识要点与复习自测
一、Lebesgue 外测度的知识要点：
◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；
◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；
◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。

自测题：
1、叙述n
R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：
（1）设n n Q R ?为有理点集，计算*n
m Q 0=；
（2）设n R E ?为至多可数集，计算*
m 0E =；
（3）设n ,R E F ?，*
m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ?==。

2、据理说明下面的结论是否成立：设n
R E ?，（1）若E 为有界集，则*
m E <+∞；（2）若*
m E <+∞，则E 为有界集；（3）若*m E =+∞，则E 为无界集；（4）若E 为无界集，则*
m E =+∞。

3、设n
R I ?为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界
两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：
（1）设1[0,1]R P ??为三分Cantor 集，则*
m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ?上的黎曼可积函数，
{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈?，
()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）
（3）设n
R E ?有内点，则*
m 0E >；
（4）（外侧度的介值性）设1
R E ?为有界集，*m 0E >，则对任意*
0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）
（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1
R E ?，*m 0E >，则对任意*
0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =。

（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）
二、Lebesgue 可测集的知识要点：
◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价
条件（如：余集的可测性；对任意的A E ?和c B E ?，总有()*** m A B m A m B ?=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；
◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；
◇ 记{}R n E E ?=?是可测集，则2c c ?=>，其中c 为连续基数；
◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；
◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是n R 中的可测集）（1）设1E ，2E ，，m E 为互不相交的可测集，则1
1
m m m
m
i i i i E E ==?=∑（有限可加性）
；设1E ，2E ，，m E 为可测集（注意没有互不相交的要求），则
1
1
m m m
m
i i i i E E ==?≤∑（次有限可加性）。

（2）设1E ，2E ，，k E ，为互不相交的可测集，则
1
1
m m k k k k E E ∞
∞
==?=∑（可数可加性）
；设1E ，2E ，，k E ，为可测集列（注意没有互不相交的要求），则
1
1
m m k k k k E E ∞
∞
==?≤∑（次可数可加性）。

（3）差集测度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设E 和G 都是可测集，且E G ?，则
① m m(\)m G G E E =+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。

设E 和G 都是可测集，则
① m m(\)m G G E E ≤+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。

（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）
设{}k E 为单调递增的可测集列，则
()
1m lim m lim m k k k k k k E E E ∞→∞=→∞
=?= ；设{}k E 为单调递减的可测集列，且存在0k E ，使得0m k E <+∞，则
()
1
m lim m lim m k k k k k k E E E ∞
→∞
=→∞
=?=。

（5）一般可测集列测度的极限性
设{}k E 为可测集列，则
①m lim lim m()lim m k k k k i k
k k E E E ∞
→∞
=→∞
→∞
=?≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷
出】）；
②若存在k 0，使得0m i i k E ∞
=?<+∞，则
mlim limm()limm k k k k k i k
k E E E ∞
→∞
→∞
=→∞
=?≥；
③若lim k k E E →∞
=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则limm k k E →∞
存在，且
lim m m k k E E →∞
=。

（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设p A R ?为可测集，q B R ?为可测集，则A B ?为p+q R 上的可测集，且m(A B)=mA mB ??。

自测题：
1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设n
,R E G ?
（1）若E 和G 都是可测集，且E G ?，则
① m m(\)m G G E E =+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G
E =-。

（2）若E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。

（3）若E 和G 不是可测集，则① ***m m (\)m G G E E ≤+；
② 当*
m E <+∞时，***m (\)m m G E G E ≥-。

2、利用1和可测集的性质证明：（1）设n ,R E G ?都是可测集，则
()()m m m +m G E G E G E ?+?=；
【注意：()()m \\G E G E G E ?=?】
（2）利用（1）和等侧包定理证明：设n
,R E G ?（不必为可测集），则
()()****m m m +m G E G E G E ?+?≤。

3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明：（1）设1[0,1]R P ??为三分Cantor 集，则m 0P =；
【注意：三分Cantor 集的构造1
211[0,1]\()n n i n i P I -∞==??= ），其中n i I （1
1,2,,2n i -= ）为Cantor
集的构造过程中第n 步去掉的长度均为1
3
n 的开区间】
（2）对于任意给定正数01a <<，不改变Cantor 集的构造思想，只是将在Cantor 集的
构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为231111,,,,,3333
n a a a a
---- 的开区间（比如第n 步换为去掉1
2n -个长度都为13
n a -的互不相交的开区间），并记这样得到的集为
P （称为类Cantor 集或一般Cantor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：0m P a =。

4、证明一般可测集列测度的极限性：设{}k E 为可测集列，则
①m lim lim m()lim m k k k k i k k k E E E ∞
→∞
=→∞
→∞
=?≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；
②若存在k 0，使得0
m i i k E ∞
=?<+∞，则
mlim limm()limm k k k k k i k
k E E E ∞
→∞
→∞
=→∞
=?≥；
③若lim k k E E →∞
=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞
存在，且
lim m m k k E E →∞
=。

④ 若
*
1
m k
k E
∞
=<+∞∑，则k lim k E →∞
和k lim k E →∞
都是零测集。

三、可测集的结构的知识要点：
◇ n R 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F σ型集，G δ型集，Borel 集。

◇ 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）：（1）对任意n R E ?，E 与G δ型集的关系（等测包定理）；（2）可测集与开集的关系，可测集与G δ型集的关系；（3）可测集与闭集的关系，可测集与F σ型集的关系。

自测题：
1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题：
（1）如何将一个G δ型集表示成一列单调递减的开集的交集？
（2）设n
R E ?，则存在一列单调递减的开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，
k E G ?，*
*
1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=??
==
；
（3）设n
R E ?有界，则存在一列单调递减的有界开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，
k E G ?，*
*
1m m m k E G E k ≤<+，且(
)
*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=??
==。

注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。

2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明：
设R n k E ?（1,2,k = ）为一列单调递增的集列，每个k E 不必为可测集，则（1）存在一列单调递增的G δ型集k G （1,2,k = ），使得，对每一个1k ≥，k k E G ?，且*m m k k E G =；
（2）()
*
*
*
1lim m m m lim k k k k k k E E E ∞→∞→∞=??==
（单调递增集列的外侧度的极限性质）。

3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭
集的更细致的关系）：设n
R E ?是可测集，则
（1）对任意的0ε>，存在开集G ，使得E G ?，且
()\m G E ε<；
（2）存在一列单调递减的开集k G （1,2,k = ），使得，对每一个1k ≥，k E G ?，且()1
\k m G E k <
；（3）存存在一列单调递增的闭集k F （1,2,k = ），使得，对每一个1k ≥，k F E ?，且()1\k m E F k
<。

4、试利用可测集的结构和开集的结构证明“可测集的直积的可测性及测度的计算公式”，即，设p
A R ?为可测集，q
B R ?为可测集，则A B ?为p+q
R
上的可测集，且
m(A B)=mA mB ??。

5*、定义1：设:[0,)f E →+∞，其中1
R E ?为可测集，记
(){}2,(,),0()R p G f E x y x E y f x =∈≤<?，
则称(),p G f E 为非负实函数f 在E 上的下方图形（相当于数学分析中定义在[,]a b 上的一元非负函数所构成的曲边梯形）；
定义2：设1
R E ?为可测集，且1
m
i i E E == ，其中i E （1,2,,i m = ）都是1
R 中的可
测集，且互不相交（1
m
i i E E == 称为可测集E 的一个有限不交的可测分解），现定义
:[0,)f E →+∞如下：
1211
22
121,,()()()()(),m i m E E m E i E i m m
c x E c x E f x c x c x c x c x c x E χχχχ=∈??∈?==+++∈?∑ ，x E ∈，
其中0i c ≥（1,2,,i m = ）都为常数，()i E x χ为E 为全集时i E 的示性（特征）函数，则称f 在可测集E 上的一个非负简单函数。

试利用4“可测集的直积的可测性及测度的计算公式”解决下面的问题：设f 是按定义2定义的可测集E 上的非负简单函数，(),p G f E 的含义如定义1，则
（1）()1,[0,)m
p i i i G f E E c ==? ，其中[0,)i i E c ?（1,2,,i m = ）互不相交；
（2）(),p G f E 是2
R 上的可测集；
（3）()1
m ,m m
p i
i
i G f E c E ==?∑。

四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意n R E ?，只要*m 0E >，则存在
1E E ?，使得1E 为不可测集（即n R 中一定存在不可测集）。

自测题：
据理说明：
（1）为什么n
R 中的零测集中一定不存在不可测子集？
（2）为什么n R 中的不可测集总有外侧度，且外侧度一定大于零？（3）为什么n R 中的不可测集一定是不可数集？。