大学文科物理习题集及解答
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——后抛物体上升过程中相遇
1.7 用炮弹射击离炮台水平距离为5000m，高度为 200m处山坡上的目标，已测出从炮弹出口到击中目 标所经过的时间为15s ,若不计空气的阻力，求： （1）炮筒的仰角θ （2）炮弹的出口速度v0 （3）炮弹所能达到的最大高度Hmax （4）命中目标时炮弹的速度vt
x v 0 xt v 0 x 5000 / 15 2 2 y v 0 yt 1 / 2 gt 200 15v 0 y 1 / 2 9.8 15
4.14 我国1988年12月发射的通信卫星在到达同步轨道之前，先要在一个大的椭圆
形“转移轨道”上运行若干圈。此转移轨道的近地点高度为205.5km，远地点高度
为35835.7km。卫星越过近地点时的速率为10.2km/s。求卫星越过远地点时的速率。
解：地球半径
RE 6370km
mv近( RE h近 ) mv远( RE h远 )
y /m
20 10 0 2 4 6
x /m
-10
2 r xi yj ( 2t )i (19 2t ) j (2) 位置矢量： dx dy 速度： v i j 2 i 4 tj dt dt dv 加速度： a 4 j dt
(2)证明:
椭圆
1.2 已知质点的运动方程为 r=(acosω t)i+(bsinω t)j，其中 a，b，ω 为正常数。 （1） 计算质点的速度和加速度； （2） 证明运动的轨迹是椭圆，其长短轴分别为2a 与2b，质点的加速度恒指向椭圆中心。
x a cos t cos t x / a x2 y2 2 2 1 a b y b sin t sin t y / b
当 t = 1 s 时：
r1 2i 17 j , v1 2i 4 j , a1 4 j r2 4i 11 j , v 2 2i 8 j , a 2 4 j
当 t = 2 s 时：
解(1): v dr / dt ( a sin t )i ( b cos t ) j 2 2 a dv / dt (a cos t )i (b sin t ) j 2 r （加速度恒指向原点）
20 400 8 g 取： t 1 g 10 100 8 g 10 100 8 g t2 ,或 t2 g g 1 t 1 ( 20 400 8 g 10 100 8 g ) 2.4 s g
——后抛物体下落过程中相遇
1 t 2 ( 20 400 8 g 10 100 8 g ) 3.3 s g
2 R1 1 / R 2 40 6 / 20 37.68( rad / s )
1.12 飞机A以vA=1 000km/h的速率（相对地面） 向南飞行，同时另一架飞机B以vB=800km/h的速率 （相对地面）向东偏南30º 角方向飞行。求A机相对 于B机的速度。
30
2 2
( 3) H max v 0 y / 2 g 384.7 m
2
vx v 0 x 1000 / 3( m / s ) ( 4) vy v 0 y gt 60.2( m / s )
v
vx vy 339( m / s )
2 2
tan vy / vx 0.181
t0 2L 1 2 2 2 2 v 1 u / v 1 u / v
u
v 机往
v
v 机返
u
v
( 3) v 机往 v 机返 v u
2
2
L L 2L t2 2 2 2 2 2 2 v u v u v u
2L 1 v 1 u2 / v 2 t0 2 2 1 u /v
解（1）对物体A和B沿 x轴列方程：
m A g sin kA m A g cos T m A a A m B g sin kB m B g cos T m B a B
运动前 T=0，有：
NA
y
T fA
x
a A g (sin kA cos ) 9.8 (sin 37 0.20 cos 37 ) 4.33m / s 2 a B g (sin kB cos ) 9.8 (sin 37 0.40 cos 37 ) 2.77 m / s 2
5.22 如图所示，测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定在弹簧上的木块 内，由弹簧压缩的距离就可以求出子弹的速度。已知子弹质量m=0.02kg，木块质量 M=8.98kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，子弹射入木块后，弹簧被压缩10cm，求 子弹的速度 。设木块与平面间的滑动摩擦系数为0.2。
1016'
1.10 如图所示，AB两轮上套有皮带，A轮的半径 R1=40cm，转速为180r/min，求角速度ω1。B轮 用皮带转动，其半径R2=20cm ，求B轮的角速度 ω2 。
A
B
180 1 2n1 2 6 18.84( rad / s ) 60
v R1 1 R 2 2
东
vAB vA vB 2vAvB cos 60
2 2
vA
南
vB vAB
1000 2 800 2 2 1000 800 cos 60
917km / s
vA vB sin 1000 800 sin 30 sin vAB 917 4052' (西偏南)
1.13 一架飞机从A处向北飞到B处，然后又向南飞到 A处。飞机相对于空气的速度为v，而空气相对于地 面的速度为u，A、B 之间的距离为L，飞机相对于空 气的速率v保持不变。 （1）如果空气是静止的（即u=0），试证明来回飞 行的时间为 t 0 2 L / v （2）如果空气的速度由南向北，试证明来回飞行的 时间为 t 1 t 0 /(1 u 2 / v 2 ) （3）如果空气的速度由东向西，试证明来回飞行的 时间为 t 2 t 0 / 1 u 2 / v 2
4.5 设停在水平轨道上的炮车以仰角α 向前发射一炮弹，炮车与炮弹的质量分别为
M 和 m ，炮弹的出口速度（相对地面）为 v0 ，求炮车的反冲速度多大？车轮与轨
道间的摩擦力忽略不计。
解：设炮车反冲速度为v，水平方向动量守恒
0 Mv mv 0 cos
mv 0 cos v M
4.9 小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m，现有一质量为50kg的人从船尾走
到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
解：由动量守恒得
0 m 船v船 m 人v人
m 人v人 50 1 v船 v人 v人 m船 100 2
v人
m人
1 v船t v人t 2
v船
m船
1 s船 s人 2 s船 s人 3.6 s船 1.2m
s人
s船
速率 v 是多大。
解：因拉力通过小球运动中心，故角动量守恒 又因缓慢拉绳，可将小球的瞬时运动看成圆周运动
mv 0 r 0 mvr
v0
r
v 0r 0 v r
r0
5.2 一长方体蓄水池，面积为S=50m2，贮水深度为h1=1.5m。假定水平面低于地面 的高度是h2=5m。问要将这些水全部抽到地面上来，抽水机需做功多少？若抽水机的 效率为80%，输入功率P=35kW，则抽完这池水需要多长时间？
解得：
v 0 x 1000 / 3( m / s ) v 0 y 260.5 / 3( m / s )
(1) arctan(v 0 y / v 0 x ) arctan 0.2605 14.6 ( 2) v 0 v 0 x v 0 y 344.4m / s
T
mA g
NB
y
fB
x
mB g
4.4 一辆装煤车以3m/s的速率从煤斗下面通过，煤粉通过煤斗以5t/s的流量竖直注
入车厢，如果车厢的速率保持不变，车厢与钢轨间摩擦力忽略不计，求牵引力的大
小。
解：
dp dm F v dt dt dm F v dt
5 10 3 3 1.5 10 4 N
证明： v机 v （机 气） u （气 地） (1) v机 v (u 0) t往 t返 L / v
t0 t往 t返 2 L / v
(2) v机往 v u，v机返 v u
L L 2vL t1 2 2 vu vu v u
5.10 如图所示，一链条总长为l，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为a，假 定开始时链条静止，求链条左端刚刚离开桌边时的速度。
la
解：假定链条质量为m，选桌面为零势 由系统机械能守恒有： 能面，
a
m a l 1 2 a g mg mv l 2 2 2
v
g 2 (l a 2 ) l
1.1 一质点在xy平面上运动，运动函数为： x =2t, y =19-2t2。 （1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线。 （2）求 t1 = 1s 和 t2 = 2s 时，质点的位置、速 度和加速度。 解(1):
x 2t t x / 2 2 2 2 y 19 2t 19 2 ( x / 2) 19 x / 2
v近( RE h近 ) v远 RE h 远 10.2 (6370 205.5) 6370 35835.7
1.59km / s
4.15 如图，用绳系一小球使之在光滑水平面上作圆周运动，圆半径为r0，速率为
v0。今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径逐渐减小。求圆半径缩短至 r 时，小球的
1.5 以初速度20m/s竖直上抛一物体以后，又以 10m/s的初速竖直上抛另一物体，在高度为4m的地 方相遇。试求上抛两物体的时间差为多少？
解: 对于先抛的物体
20 400 8 g 1 2 20t 1 gt 1 4 t 1 2 g
对于后抛物体
10 100 8 g 1 2 10t 2 gt 2 4 t 2 2 g
5.3 如图所示，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一端连一质量为m的物体， 靠在光滑的半径为a的圆柱体表面上，弹簧原长为AB。在变力F 作用下，物体极缓慢 地沿表面从位置B移到C，求力F 所做的功。 （1）用积分法作；（2）用功能原理作。
F
m a
C
F N mg f 0
F mg cos f
W 0 F (ad ) 0 mg cos (ad ) 0 ka (ad ) 1 2 2 mga sin ka 2 1 2 2 W EC EB mga sin ka 2
o
B
F
A
N
mg f
dW ( Sdh) gh
W
h 2
h 1 h 2
Sghdh
2
h
S
h2 h1
1 Sg ( h1 2h1 h2 ) dh 2 1 10 3 50 9.8 (1.5 2 1.5 5) 2
2
4.23 10 6 J
4.23 10 6 W 151s Pt W t 3 P 80% 35 10
1.7 用炮弹射击离炮台水平距离为5000m，高度为 200m处山坡上的目标，已测出从炮弹出口到击中目 标所经过的时间为15s ,若不计空气的阻力，求： （1）炮筒的仰角θ （2）炮弹的出口速度v0 （3）炮弹所能达到的最大高度Hmax （4）命中目标时炮弹的速度vt
x v 0 xt v 0 x 5000 / 15 2 2 y v 0 yt 1 / 2 gt 200 15v 0 y 1 / 2 9.8 15
4.14 我国1988年12月发射的通信卫星在到达同步轨道之前，先要在一个大的椭圆
形“转移轨道”上运行若干圈。此转移轨道的近地点高度为205.5km，远地点高度
为35835.7km。卫星越过近地点时的速率为10.2km/s。求卫星越过远地点时的速率。
解：地球半径
RE 6370km
mv近( RE h近 ) mv远( RE h远 )
y /m
20 10 0 2 4 6
x /m
-10
2 r xi yj ( 2t )i (19 2t ) j (2) 位置矢量： dx dy 速度： v i j 2 i 4 tj dt dt dv 加速度： a 4 j dt
(2)证明:
椭圆
1.2 已知质点的运动方程为 r=(acosω t)i+(bsinω t)j，其中 a，b，ω 为正常数。 （1） 计算质点的速度和加速度； （2） 证明运动的轨迹是椭圆，其长短轴分别为2a 与2b，质点的加速度恒指向椭圆中心。
x a cos t cos t x / a x2 y2 2 2 1 a b y b sin t sin t y / b
当 t = 1 s 时：
r1 2i 17 j , v1 2i 4 j , a1 4 j r2 4i 11 j , v 2 2i 8 j , a 2 4 j
当 t = 2 s 时：
解(1): v dr / dt ( a sin t )i ( b cos t ) j 2 2 a dv / dt (a cos t )i (b sin t ) j 2 r （加速度恒指向原点）
20 400 8 g 取： t 1 g 10 100 8 g 10 100 8 g t2 ,或 t2 g g 1 t 1 ( 20 400 8 g 10 100 8 g ) 2.4 s g
——后抛物体下落过程中相遇
1 t 2 ( 20 400 8 g 10 100 8 g ) 3.3 s g
2 R1 1 / R 2 40 6 / 20 37.68( rad / s )
1.12 飞机A以vA=1 000km/h的速率（相对地面） 向南飞行，同时另一架飞机B以vB=800km/h的速率 （相对地面）向东偏南30º 角方向飞行。求A机相对 于B机的速度。
30
2 2
( 3) H max v 0 y / 2 g 384.7 m
2
vx v 0 x 1000 / 3( m / s ) ( 4) vy v 0 y gt 60.2( m / s )
v
vx vy 339( m / s )
2 2
tan vy / vx 0.181
t0 2L 1 2 2 2 2 v 1 u / v 1 u / v
u
v 机往
v
v 机返
u
v
( 3) v 机往 v 机返 v u
2
2
L L 2L t2 2 2 2 2 2 2 v u v u v u
2L 1 v 1 u2 / v 2 t0 2 2 1 u /v
解（1）对物体A和B沿 x轴列方程：
m A g sin kA m A g cos T m A a A m B g sin kB m B g cos T m B a B
运动前 T=0，有：
NA
y
T fA
x
a A g (sin kA cos ) 9.8 (sin 37 0.20 cos 37 ) 4.33m / s 2 a B g (sin kB cos ) 9.8 (sin 37 0.40 cos 37 ) 2.77 m / s 2
5.22 如图所示，测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定在弹簧上的木块 内，由弹簧压缩的距离就可以求出子弹的速度。已知子弹质量m=0.02kg，木块质量 M=8.98kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，子弹射入木块后，弹簧被压缩10cm，求 子弹的速度 。设木块与平面间的滑动摩擦系数为0.2。
1016'
1.10 如图所示，AB两轮上套有皮带，A轮的半径 R1=40cm，转速为180r/min，求角速度ω1。B轮 用皮带转动，其半径R2=20cm ，求B轮的角速度 ω2 。
A
B
180 1 2n1 2 6 18.84( rad / s ) 60
v R1 1 R 2 2
东
vAB vA vB 2vAvB cos 60
2 2
vA
南
vB vAB
1000 2 800 2 2 1000 800 cos 60
917km / s
vA vB sin 1000 800 sin 30 sin vAB 917 4052' (西偏南)
1.13 一架飞机从A处向北飞到B处，然后又向南飞到 A处。飞机相对于空气的速度为v，而空气相对于地 面的速度为u，A、B 之间的距离为L，飞机相对于空 气的速率v保持不变。 （1）如果空气是静止的（即u=0），试证明来回飞 行的时间为 t 0 2 L / v （2）如果空气的速度由南向北，试证明来回飞行的 时间为 t 1 t 0 /(1 u 2 / v 2 ) （3）如果空气的速度由东向西，试证明来回飞行的 时间为 t 2 t 0 / 1 u 2 / v 2
4.5 设停在水平轨道上的炮车以仰角α 向前发射一炮弹，炮车与炮弹的质量分别为
M 和 m ，炮弹的出口速度（相对地面）为 v0 ，求炮车的反冲速度多大？车轮与轨
道间的摩擦力忽略不计。
解：设炮车反冲速度为v，水平方向动量守恒
0 Mv mv 0 cos
mv 0 cos v M
4.9 小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m，现有一质量为50kg的人从船尾走
到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
解：由动量守恒得
0 m 船v船 m 人v人
m 人v人 50 1 v船 v人 v人 m船 100 2
v人
m人
1 v船t v人t 2
v船
m船
1 s船 s人 2 s船 s人 3.6 s船 1.2m
s人
s船
速率 v 是多大。
解：因拉力通过小球运动中心，故角动量守恒 又因缓慢拉绳，可将小球的瞬时运动看成圆周运动
mv 0 r 0 mvr
v0
r
v 0r 0 v r
r0
5.2 一长方体蓄水池，面积为S=50m2，贮水深度为h1=1.5m。假定水平面低于地面 的高度是h2=5m。问要将这些水全部抽到地面上来，抽水机需做功多少？若抽水机的 效率为80%，输入功率P=35kW，则抽完这池水需要多长时间？
解得：
v 0 x 1000 / 3( m / s ) v 0 y 260.5 / 3( m / s )
(1) arctan(v 0 y / v 0 x ) arctan 0.2605 14.6 ( 2) v 0 v 0 x v 0 y 344.4m / s
T
mA g
NB
y
fB
x
mB g
4.4 一辆装煤车以3m/s的速率从煤斗下面通过，煤粉通过煤斗以5t/s的流量竖直注
入车厢，如果车厢的速率保持不变，车厢与钢轨间摩擦力忽略不计，求牵引力的大
小。
解：
dp dm F v dt dt dm F v dt
5 10 3 3 1.5 10 4 N
证明： v机 v （机 气） u （气 地） (1) v机 v (u 0) t往 t返 L / v
t0 t往 t返 2 L / v
(2) v机往 v u，v机返 v u
L L 2vL t1 2 2 vu vu v u
5.10 如图所示，一链条总长为l，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为a，假 定开始时链条静止，求链条左端刚刚离开桌边时的速度。
la
解：假定链条质量为m，选桌面为零势 由系统机械能守恒有： 能面，
a
m a l 1 2 a g mg mv l 2 2 2
v
g 2 (l a 2 ) l
1.1 一质点在xy平面上运动，运动函数为： x =2t, y =19-2t2。 （1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线。 （2）求 t1 = 1s 和 t2 = 2s 时，质点的位置、速 度和加速度。 解(1):
x 2t t x / 2 2 2 2 y 19 2t 19 2 ( x / 2) 19 x / 2
v近( RE h近 ) v远 RE h 远 10.2 (6370 205.5) 6370 35835.7
1.59km / s
4.15 如图，用绳系一小球使之在光滑水平面上作圆周运动，圆半径为r0，速率为
v0。今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径逐渐减小。求圆半径缩短至 r 时，小球的
1.5 以初速度20m/s竖直上抛一物体以后，又以 10m/s的初速竖直上抛另一物体，在高度为4m的地 方相遇。试求上抛两物体的时间差为多少？
解: 对于先抛的物体
20 400 8 g 1 2 20t 1 gt 1 4 t 1 2 g
对于后抛物体
10 100 8 g 1 2 10t 2 gt 2 4 t 2 2 g
5.3 如图所示，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一端连一质量为m的物体， 靠在光滑的半径为a的圆柱体表面上，弹簧原长为AB。在变力F 作用下，物体极缓慢 地沿表面从位置B移到C，求力F 所做的功。 （1）用积分法作；（2）用功能原理作。
F
m a
C
F N mg f 0
F mg cos f
W 0 F (ad ) 0 mg cos (ad ) 0 ka (ad ) 1 2 2 mga sin ka 2 1 2 2 W EC EB mga sin ka 2
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B
F
A
N
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W
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2
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S
h2 h1
1 Sg ( h1 2h1 h2 ) dh 2 1 10 3 50 9.8 (1.5 2 1.5 5) 2
2
4.23 10 6 J
4.23 10 6 W 151s Pt W t 3 P 80% 35 10