北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 2.1 直角三角形的性质与判定 同步练习含答案
八年级下册数学北师大版知识点总结
八年级下册数学北师大版知识点总结一、三角形的证明。
1. 等腰三角形。
- 性质：- 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角）。
- 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
- 判定：- 有两边相等的三角形是等腰三角形。
- 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
2. 等边三角形。
- 性质：- 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都等于60°。
- 判定：- 三条边都相等的三角形是等边三角形。
- 三个角都相等的三角形是等边三角形。
- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3. 直角三角形。
- 性质：- 直角三角形的两个锐角互余。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
- 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边）。
- 判定：- 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
4. 线段的垂直平分线。
- 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
- 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
- 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5. 角平分线。
- 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
- 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
- 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
二、不等式（组）1. 不等式的基本性质。
- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2. 一元一次不等式。
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式。
北师大版八年级数学下册课件.1直角三角形的性质与判定课件
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教学目标
1.了解直角三角形两锐角互余及互逆命题的转化 2.运用勾股定理逆定理判定直角三角形
重难点
1.熟练掌握勾股定理逆定理的证明方法 2.互逆命题的真假性判定
提出问题，导入新课
问题1 直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形.
归纳新知
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
条件和结论互换
上面两个定理的条件和结论有什么关系吗？ 与同伴交流.
探求新知
再视察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
知识回顾
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
提出问题 探求新知
勾股定理是一个真命题，那么把这个命题的条件和结论颠 倒过来，形成一个新的命题：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是直角三角形．
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆 命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原 命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0， b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
课堂小结
角的性质
直角三 角形
边的性质
定理1：直角三角形的两 个锐角互余 定理2：有两个角互余的 三角形是直角三角形
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第5节 直角三角形的性质与判定
北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第5节直角三角形的性质与判定例1：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，∴2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，故选：A．练习：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A﹣∠B＝50°，∴2∠A＝140°，∴∠A＝70°，故选：B．作业：1．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，∴x+3x＝90，解得x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故选：A．例2：在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，故选：C．练习：在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；③由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C得到：5∠C＝180°，则∠C＝36°，则∠A ＝∠B＝72°＜90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；综上所述，是直角三角形的是①④，共2个．故选：B．作业：2. 在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B＝，∠C＝，则x++＝180°，解得x＝，∴∠A＝，，，∴△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，故选：B．例3：在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18练习：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（）A．175B．600C．25D．625解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，则S＝25+400＝625，故选：D．作业：3. 已知△ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则△ABC的面积为（）A．15cm2B．30cm2C．45cm2D．60cm2解：∵a+b＝17，∴（a+b）2＝289，∴2ab＝289﹣（a2+b2）＝289﹣c2＝289﹣169＝120∴ab＝30，故选：B．例4：如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．练习：如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，∴BD＝＝＝6，∵BC＝8，CD＝2，∴62+（2）2＝82，∴△BDC是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC．作业：4. 如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由．解：（1）∵∠A＝90°，∴BC＝＝＝15；（2）△BCD是直角三角形，理由：∵BC2＝152＝225，BD2＝82＝64，CD2＝172＝289，∴BC2+BD2＝CD2＝289，∴△BCD是直角三角形．例5：如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．练习：如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．（1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形；（2）求△ACD中AD边上的高．解：（1）证明：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵CD＝12，AD＝13，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，则S△ACD＝AD×CH＝AC×CD，∴×13×CH＝×5×12，∴CH＝．作业：5.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求BC边上的高．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BC2＝12+82＝65，AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．（2）设BC边上的高为h．则有•AC•AB＝•BC•h，∵AC＝，AB＝2，BC＝，∴h＝．例6：写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题．该逆命题是命题（填“真”或“假”）．解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；假练习：“两直线平行内错角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，∴其逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，是真命题；故答案为：真．作业：6．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是，该逆命题是命题．（“真”、“假”）．解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．。
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
北师大版八年级下册数学《1.2第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》这一课时，主要让学生了解直角三角形的性质与判定。
在学习了勾股定理和三角函数的基础上，本节课让学生通过观察、实验、推理等方法，探索并证明直角三角形的性质，从而加深对勾股定理的理解和应用。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，对于观察、实验、推理等方法有一定的了解和运用能力。
但是，对于证明直角三角形的性质和判定，还需要老师在课堂上进行引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生通过观察、实验、推理等方法探索数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：证明直角三角形的性质和判定。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实验探究法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对直角三角形性质的思考。
2.自主学习：让学生通过观察、实验、推理等方法，探索直角三角形的性质。
3.合作交流：学生分组讨论，分享探索成果，互相提问，解决问题。
4.讲解与演示：老师对学生的探索成果进行点评，讲解直角三角形的性质和判定方法，并进行现场演示。
5.练习巩固：让学生进行一些有关直角三角形性质和判定的练习题，巩固所学知识。
6.课堂小结：让学生总结本节课所学内容，老师进行补充。
七. 说板书设计板书设计如下：直角三角形的性质与判定a.直角三角形的两个锐角互余b.直角三角形的斜边最长c.直角三角形的两条直角边互相垂直d.如果一个三角形有一个角是直角，那么它是直角三角形e.如果一个三角形的两边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、练习等情况，了解学生的参与程度。
1.2.1 直角三角形的性质与判定教说课稿 2022-2023学年北师大版八年级数学下册
1.2.1 直角三角形的性质与判定教说课稿一、教学目标1.知识与技能：掌握直角三角形的性质与判定方法。
2.过程与方法：通过引导学生观察、归纳和推理，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，增强数学的实际应用能力。
二、教学重点和难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：引导学生运用所学知识进行问题解决。
三、教学准备1.教学工具：黑板、彩色粉笔、三角板、直尺等。
2.教学材料：教材《数学》（北师大版）八年级下册。
四、教学过程4.1 导入新课（板书）直角三角形的定义：一个三角形中，含有一个直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
老师：同学们，我们今天将要学习的是直角三角形的性质与判定方法。
首先，请同学们简单回顾一下，什么是直角三角形？请举个例子。
4.2 引入新知识（板书）直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边相互垂直；直角三角形的斜边最长。
老师：很好，直角三角形的定义大家都回忆了一下。
现在，我们来看一下直角三角形的性质。
请注意我的板书，直角三角形的性质有哪两个？学生：直角三角形的两条直角边相互垂直，斜边最长。
老师：非常棒！直角三角形的两条直角边相互垂直，斜边最长。
下面我们来看一些直角三角形的例子。
（教师展示直角三角形的图片，并引导学生观察）老师：同学们，请观察这些直角三角形的特点，它们的两条直角边是不是相互垂直？它们的斜边是不是最长的？学生：是的，两条直角边相互垂直，斜边最长。
老师：很好！我们通过观察可以发现，直角三角形的两条直角边相互垂直，斜边最长。
这是直角三角形的性质之一。
接下来，我们学习一下直角三角形的判定方法。
请看我的板书。
（板书）直角三角形的判定方法：方法一：三边关系法。
如果一个三角形的两条边的平方之和等于斜边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
方法二：两边关系法。
如果一个三角形的两条边长已知，且两条边相互垂直，那么这个三角形就是直角三角形。
北师大版八年级数学下册第一章复习(知识点+试题)
知识点一：等腰三角形1、全等三角形的性质及判定全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.2、等腰三角形的性质定理：①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。
②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。
（“三线合一”）③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。
（特殊线段相等）等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
知识点二：等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。
2、等边三角形的判定定理：①有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立；②推论：将假设当条件继续推论，得岀与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；③假设不成立；④原命题成立。
知识点四：直角三角形1、直角三角形性质定理：①角的角度：直角三角形，两锐角互余。
②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、直角三角形的判定定理：①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。
②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。
）3、特殊的直角三角形：①在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。
②在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。
4、“ HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。
（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。
）知识点五：垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（垂直平分线点到点的距离相等）V------------------判定定理3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
北师大版八年级数学下册第一章1.2.1直角三角形的性质与判定课件
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最 后判断逆命题的真假．
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12 ＝ 36 ，即点C到AB的距离为 3 6 .
15 5
5
新知小结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求 线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得 简明 易懂．
巩固新知
1 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3， 求AB的长.
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明1第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
B
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
A 30° C
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上
的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°，
CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ 1 AB.
∴ CD＝ 1 AB. 2
D A
B
C
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝ AB ． 4
证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°
∴ BC = AB， ∠B = 60°． 2
∴∠BCD = 30°． ∴ BD = CB .
且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：∵ AB＝BC， ∴△ABC 是等腰三角形， 又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE， ∴∠EDF＝∠FDC＝60°. 又∵ DF∥ BA， ∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°. ∴△ABC 是等边三角形.
1
求证： BC = 2 AB.
A
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
30°
30° 30°
转化
B
C
“线段相等”问题
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
A
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵ AC＝AC，
30°
∴△ABC≌△ADC (SAS).
三角形 的证明
新知一览
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教材，主要介绍了直角三角形的性质与判定方法。
内容包括：直角三角形的定义、性质以及直角三角形的判定方法。
通过本节课的学习，使学生掌握直角三角形的性质与判定，为后续学习勾股定理和相似三角形打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质和分类，对三角形有了一定的认识。
但直角三角形的性质和判定较为抽象，需要通过实例和动手操作来加深理解。
此外，学生可能对数学证明过程感到困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握直角三角形的性质与判定方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究、归纳等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作意识，体验成功的喜悦。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质与判定方法的运用。
2.难点：对直角三角形性质与判定方法的理解和应用。
五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作学习法、直观演示法、实践操作法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例。
2.准备几何画图工具，如直尺、圆规、三角板等。
3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的直角三角形的实例，如建筑工人使用的勾股尺、三角板等，引导学生回顾直角三角形的定义，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示直角三角形的性质与判定方法，引导学生观察、思考，并通过几何画图工具进行实际操作，让学生感受直角三角形的性质与判定方法。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关直角三角形性质与判定的问题，学生进行小组讨论，引导学生运用所学知识解决问题。
在此过程中，教师应及时给予指导和鼓励，提高学生的问题解决能力。
北师大版八下数学第一章小报内容
北师大版八下数学第一章小报内容北师大版八年级下册数学第一章是小报制作的好主题，这一章主要聚焦于三角形的证明以及一元一次不等式和一元一次不等式组。
以下是一个关于这一章内容的小报设计建议：标题：探索三角形的奥秘与不等式的世界第一部分：三角形的证明1.全等三角形的判定与性质•介绍全等三角形的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS和HL（直角三角形）。
•阐述全等三角形的对应边和对应角相等的性质。
2.等腰三角形的性质•定义等腰三角形并说明其两边相等的性质。
•阐述等腰三角形的两个底角相等的性质（等边对等角）。
•介绍等腰三角形的三线合一性质：顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
3.等腰三角形的判定•阐述有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形的性质。
•介绍三个角都相等的三角形是等边三角形的性质。
第二部分：一元一次不等式和一元一次不等式组1.不等式的定义与性质•解释什么是不等式，并举例说明。
•阐述不等式的基本性质，如两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变。
2.一元一次不等式的解法•介绍如何解一元一次不等式，包括移项、合并同类项和系数化为1等步骤。
3.一元一次不等式组的解法•解释什么是一元一次不等式组，并举例说明。
•介绍如何求解一元一次不等式组，包括分别解每个不等式和找出公共解集等步骤。
结语：通过本次小报的制作，我们不仅深入了解了三角形的证明和一元一次不等式及不等式组的相关知识，还学会了如何运用这些知识解决实际问题。
希望同学们能够继续保持对数学的热爱和探索精神，在数学的道路上不断前行！。
北师大版八年级下册数学目录
北师大版八年级下册数学目录教材在八年级数学教学中的地位是举足轻重的。
其中目录收录了什么知识呢?小编整理了关于北师大版八年级下册数学目录，希望对大家有帮助!北师大版八年级下册数学教材目录第一章三角形的证明1. 等腰三角形2. 直角三角形3. 线段的垂直平分线4. 角平分线回顾与思考复习题第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1. 不等关系2. 不等式的基本性质3. 不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组回顾与思考复习题第三章图形的平移与旋转1. 图形的平移2. 图形的旋转3. 中心对称4. 简单的图案设计回顾与思考复习题第四章因式分解1. 因式分解2. 提公因式法3. 公式法回顾与思考复习题第五章分式与分式方程1. 认识分式2. 分式的乘除法3. 分式的加减法4. 分式方程回顾与思考复习题第六章平行四边形1. 平行四边形的性质2. 平行四边形的判定3. 三角形的中位线4. 多边形的内角和与外角和回顾与思考复习题综合与实践⊙ 生活中的“一次模型”综合与实践⊙ 平面图形的镶嵌总复习八年级数学知识点:一元一次不等式与一元一次不等式组一、不等关系定义：一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.与方程的区别：方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.备注：准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”“不小于”“不大于”“至多”“至少”等数学术语.二、不等式的基本性质●不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变，即如果a>b，那么a±c>b±c;●不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc(或>);●不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac三、不等式的解集1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.2、不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：(1)边界：有等号的实心圆点，无等号的空心圆圈;(2)方向：大于向右，小于向左.四、一元一次不等式定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的步骤：①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.列不等式解应用题的基本步骤：①审，②设，③列，④解，⑤答.备注：解一元一次不等式特别要注意，当不等式两边都乘一个负数时，不等号要改变方向.五、一元一次不等式与函数设一次函数y=kx+b，则有一次函数的图像在x轴的上方⇔kx+b>0;一次函数的图像在x轴的下方⇔kx+b<0.六、一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法：“分开解，集中判”备注：几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.。
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第一章三角形的证明 2.1 直角三角形的性质与判定
1．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
2．下列定理中，没有逆定理的是( )
A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中，两锐角互余
C．相反数的绝对值相等 D．同位角相等，两直线平行
3．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )
A．13 B．8 C．25 D．64
4. 如图，在平行线a、b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A、B分别在直线a、b上，则∠1＋∠2的值为( )
A．90°B．85°C．80°D．60°
5. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
6. 下列说法中，正确的是( )
A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定题
C．真命题的逆命题是真命题D．假命题的逆命题是假命题7．直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC
的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )
A.53 B ．5
2
C ．4
D ．5 9. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于( ) A ．10 B ．8 C ．6或10 D ．8或10 10. 直角三角形的两个锐角 (互余；互补)． 11．有两个角互余的三角形是 三角形．
12. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 三角形．
13. 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为 ，其中一个命题称为另一个命题的 ．
14．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的 ．
15. 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，则c 的值为 .
16. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 17. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB ＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B′C 的长为 .
18. 下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a 、b 、c(c 为最
长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
19．如图，数轴上点A表示的实数是.
20. 在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为或 cm2.
21. 写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．
22. 如图是一个机器零件示意图，∠ACD＝90°是衡量这个零件合格的一项指标．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝13cm，CD＝12cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，能否得出∠ACD等于90°？请说明理由．
23. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB 为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5 km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？
24. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3.求EF长．
答案;
1---9 CCBAD ACCC 10. 互余 11. 直角 12. 直角
13. 互逆命题 逆命题 14. 逆定理 15. 3
16. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形 17. 33 18. ① ④ 19. 5－1
20. 126 66
21. 解：(1)逆命题：同位角相等，两直线平行(真命题)；
(2)逆命题：如果a ＋b 是偶数，那么a 为偶数，b 为偶数(假命题)．
22. 解：能．理由如下：在Rt △ABC 中，∵AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，∠ABC ＝90°，∴AC ＝32＋42＝5(cm)．在△ACD 中，∵AD ＝13 cm ，CD ＝12 cm ，AC ＝5 cm ， ∴AD 2＝169，CD 2＋AC 2＝169，∴AD 2＝CD 2＋AC 2，∴∠ACD ＝90°. 23. 解：过B 作BD ⊥CD 于D ，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，AB ＝17， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，∵∠1＝30°，∴∠BCD ＝60°， ∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝1
2BC ＝7.5km ，∴时间为7.5÷2.5＝3h.
24. 解：连接BD.∵△ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 边上的中点，
∴∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∴AD ＝BD ，∵AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°，∵DE ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠ADB ＝90°，∴∠ADE ＝∠BDF ，∴△ADE ≌△BDF ，
∴AE＝BF＝4，同理BE＝CF＝3，在Rt△BEF中，EF＝BE2＋BF2＝5.。