九年级数学上册22二次函数复习教案

第22章二次函数
一、复习目标
1.理解二次函数的观点；
2.会把二次函数的一般式化为极点式，确立图象的极点坐标、对称轴和张口方向，会用描点法画二次函数的图象；
3.会平移二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)的图象获得二次函数y ＝a(ax ＋m)2
＋k 的图象，认识特别与一般互相联系和转变的思想；
4.会用待定系数法求二次函数的分析式；
5.利用二次函数的图象，认识二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，认识二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

6.二次函数的综合应用 二、课时安排 2
三、复习重难点
掌握二次函数的性质，利用二次函数的图象，认识二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，认识二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其余知识点进行综合应用。

四、教课过程 （一）知识梳理 二次函数知识点：
1. 二次函数的观点：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。

2. 二次函数的基本形式
（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：
2. 2y ax c =+的性质：
3. ()2
y a x h =-的性质： 4. ()2
y a x h k =-+的性质： 3.二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
(1) 将抛物线分析式转变成极点式()2
y a x h k =-+，确立其极点坐标()h k ，
；
(2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其极点平移各处()h k ，
，详细平移方法以下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
（3） 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．
4.二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为极点式2()y a x h k =-+，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用
的五点为：极点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，对于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，
，()20x ，(若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 5.二次函数2y ax bx c =++的性质
（1） 当0a >时，抛物线张口向上，对称轴为2b
x a =-，极点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
（2） 当0a <时，抛物线张口向下，对称轴为2b
x a
=-
，极点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2
b x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值244ac b a -．
6.二次函数分析式的表示方法
（1） 一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，0a ≠)；
（2） 极点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)；
（3）两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 7.二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点状况)：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，此中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点. 7.二次函数的应用： （二）题型、方法归纳 种类一： 二次函数的平移
【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2
向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么获得的抛物线的分析式为( )
A.y=3(x+2)2
+3 B.y=3(x-2)2
+3 C.y=3(x+2)2-3
D.y=3(x-2)2
-3
【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2
向上平移3个单位所得抛物线的分析式为:y=3x 2
+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2
+3向左平移2个单位所得抛物线的分析式为:y=3(x+2)2
+3.
归纳：二次函数平移的两种方法
1.确立极点坐标平移:依据两抛物线前后极点坐标的地点确立平移的方向与距离.
2.利用规律平移:y=a(x+h)2
+k 是由y=ax 2经过适合的平移获得的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.
种类二：二次函数的图象及性质
【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax 2
+bx+c (a≠0)的图象的极点在第一象限,
且过点(0,1)和(-1,0),以下结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.此中正确结论的个数是( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右边,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,因此二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的张口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,因此y>0,y=0,y<0都有可能.因此正确的共有4个,选B.
归纳：
种类三：二次函数与方程、不等式
【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象以下图,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,此中结论正确的选项是.(填入正确结论的序号)
【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的张
b
－ =1>0,口方向向上,∴a>0;∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=
2a
b
－=1,∴b=-2a,∴∴a与b异号,则b<0.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x=
2a
2a+b=0,③是错误的.
∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,
∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.
答案:①②⑤
归纳：二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标知足ax2+bx+c=0.
2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标知足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标知足ax2+bx+c<0.
种类四：二次函数的应用
【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍异的植物分别放在不一样温度的环境中,经过一天后,测试出这栽种物高度的增加状况(如表).
由这些数据,科学家推断出植物每日高度增加量y 是温度x 的函数,且这类函数是一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适合的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择此外两种函数的原因.
(2)温度为多少时,这栽种物每日高度增加量最大?
(3)假如实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增加量的总和超出250mm,那么实验室的温度x 应当在哪个范围内选择?直接写出结果.
【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的分析式为y=ax 2
+bx+c, 依据题意,得
4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩
解得， ∴y 对于x 的函数分析式为y=-x 2
-2x+49.
不选此外两个函数的原因:点(0,49)不行能在任何反比率函数图象上,因此y 不是x 的反比率函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同向来线上,因此y 不是x 的一次函数.
(2)由(1)得y=-x 2
-2x+49,∴y=-(x+1)2
+50. ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50.
即当温度为-1℃时,这栽种物每日高度增加量最大. (3)-6<x<4.
归纳：解决二次函数应用题的两步骤
1.建模:依据数目关系列二次函数关系建模或许依据图象的形状建模.
2.应用:利用二次函数的性质解决问题.
（三）典例精讲
例题1：（2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，假如制作窗框的资料总长为6m，怎样设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们假如改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形构成的矩形，如图2，资料总长仍为6m，利用图3，解答以下问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请经过计算说明．
【剖析】（1）依据矩形和正方形的周进步行解答即可；
（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．
【解答】解：（1）由已知可得：AD=，
则S=1×m2，
（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，
∵，
∴，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x=m时，且x=m在的范围内，，
∴与课本中的例题比较，此刻窗户透光面积的最大值变大．
【评论】此题考察待定系数法确立二次函数分析式、二次函数性质等知识，解题的重点是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用鉴别式确立两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．
（四）归纳小结
1.指引学生整理掌握本章知识点并娴熟掌握。

2.联合知识点进行归纳总结；
3.灵巧应用知识点。

（五）随堂检测
1.(茂名中考)以下二次函数的图象,不可以经过函数y=3x2的图象平移获得的是( )
A.y=3x2+2
B.y=3(x-1)2
C.y=3(x-1)2+2
D.y=2x2
2.(衢州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数分析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为( )
A.b=2,c=-6
B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8
D.b=-6,c=2
3.(长沙中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象以下图,
则以下关系式错误的选项是( )
A.a>0
B.c>0
C.b2-4ac>0
D.a+b+c>0
4. 4.(陕西中考)已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的极点,若y1>y2 ≥y0,则x0的取值范围是( )
A.x0>-5
B.x0>-1
C.-5<x0<-1
D.-2<x0<3
5.(绵阳中考)二次函数y=ax2+bx+c
的图象以下图,给出以下结论:①2a+b>0;
②b>a>c;③若-1<m<n<1,则m+n<b
－ ;
a
④3|a|+|c|<2|b|.此中正确的结论是
(写出你以为正确的全部结论序号).
6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队连任苏迪曼杯集体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.竞赛中羽毛球的某次运动路线能够看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力要素,羽毛球前进高度y(m)与水平距离x(m)之间知足关系
22810y x x 999
=-++，
则羽毛球飞出的水平距离为 m.
7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价钱销售,每个月能卖出3万件;若按每件6元的价钱销售,每个月能卖出2万件,假设每个月销售件数y(件)与价钱x(元/件)之间知足一次函数关系.
(1)试求y 与x 之间的函数关系式.
(2)当销售价钱定为多少时,才能使每个月的收益最大?每个月的最大收益是多少? 【答案】
1.【分析】选D.函数y=3x 2
的图象平移后,二次项系数仍旧是3,不行能变成2,因此D 选项中二次函数的图象不可以经过函数y=3x 2
的图象平移获得.
2. 【分析】选B.平移后的极点为(1,-4),依据平移前后是相反的
过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位获得y=x 2
+bx+c 的极点为(-1,-1),因此原抛物线的分析式y=(x+1)2
-1,化成一般形式为y=x 2
+2x,故b=2,c=0.
3. 【分析】选D.
4. 【分析】选B.∵y 1>y 2≥y 0,∴抛物线张口向上,且对称轴不行能
在A 点的左边;若对称轴在B 点或其右边,此时知足题意,则有
x 0≥3;若对称轴在A,B 两点之间,当y 1=y 2时,有x 0=-1,当y 1>y 2时,
应有x 0> 532
-+,即3>x 0>-1,综上可得x 0的取值范围是x 0>-1.
5. 【分析】对称轴x= b 2a
－＞1，因此b>－2a ，即2a+b>0，故①正
确；抛物线张口向下，a ＜0，与y 轴交于负半轴，c ＜0，对称
轴x=b 2a
－ ＞0，∴b ＞0.依据图象没法确立a 与c 的大小，故②不
正确；由于－1＜m ＜n ＜1，∴ m n 2+ ＜1，而对称轴x= b 2a
－＞ 1，因此 m n 2+ ＜b 2a －，即m+n ＜ b a
－，故③正确；由于x=1时， a+b+c ＞0，而2a+b>0，∴2a+b+a+b+c>0，因此3|a|－2|b|
+|c|=－3a －2b －c=-(3a+2b+c)<0，即3|a|+|c|＜2|b|，故
④正确.
答案：①③④
6. 【分析】令y=0，得： 22810x x 0999
++=－， 解得：x 1=5，x 2=-1(不合题意，舍去)，因此羽毛球飞出的水平距离为5 m.
答案：5
7. 【分析】(1)由题意,可设y=kx+b(k ≠0),把(5,30000),(6,20000)代入得 30 0005k b,
k 10 000,20 0006k b b 80 000,=+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得， 因此y 与x 之间的关系式为:y=-10000x+80000.
(2)设每个月的收益为W,则W=(x-4)(-10000x+80000)
=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x 2
-12x+32)
=-10000[(x-6)2-4]=-10000(x-6)2+40000.
因此当x=6时,W获得最大值,最大值为40000元.
答:当销售价钱定为每件6元时,每个月的收益最大,每个月的最大收益为40000元.
五、板书设计
第22章二次函数
1.考察二次函数的定义、性质：
2.综合考察正比率、一次函数、二次函数的图像:
3.考察二次函数与一元二次方程的关系问题：
4.考察用配方法求抛物线的极点坐标、对称轴、二次函数的极值
5．考察代数与几何的综合能力，常有的作为专项压轴题。

例题精讲：
六、作业部署
《二次函数》随堂检测及其单元检测试题
七、教课反省。