人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用总复习优质课

函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的 Δy 增量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值 的极限， 即 f′(x) Δx f(x＋Δx)－f(x) Δy ＝Δ lim lim . x→0 Δx＝Δ x→0 Δx
• 2．导数的意义 • (1) 几何意义：函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 就是曲线 y ＝ f(x) 在点 P(x0 ， f(x0)) 处的 切线的斜率k，即k＝f′(x0)． • (2) 物理意义：函数 s ＝ s(t) 在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时， 运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v ，即 v ＝ s′(t)．而函数v＝v(t)在t度a，即a＝ v′(t)．
第一章 导数及其应用
1.导数的概念 对于函数 y＝f(x)，如果自变量 x 在 x0 处有增量 Δx， Δy 那么函数 y 相应地有增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)， 比值Δx就 Δy 叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率，即 ＝ Δx f(x0＋Δx)－f(x0) Δy .如果当 Δx→0 时，Δx有极限，我们就说 y Δx ＝f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的 f(x0＋Δx)－f(x0) Δy 导数， 即 y′|x＝x0＝f′(x0)＝Δ lim lim . x→0 Δx＝Δ x→0 Δx
f(1)－f(1－x) 1 1 ∴2lim ＝－1，即2f′(1)＝－1， x→0 x ∴f′(1)＝－2. 因此 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－2.
• [ 例 2] 已知函数 f(x) ＝ ax3 ＋ 3x2 － 6ax － 11 ， g(x) ＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0. • (1)求a的值； • (2) 是否存在实数 k ，使直线 m 既是曲线 y ＝ f(x) 的 切线，又是 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k的 值；如果不存在，请说明理由． • [分析 ] 直线 y＝kx＋9 过定点(0,9) ，可先求出过 点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直 线是否也是曲线y＝f(x)的切线．
[例 3] －1(a∈R)．
1－a (2010· 山东文， 21)已知函数 f(x)＝lnx－ax＋ x
(1)当 a＝－1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线 方程； 1 (2)当 a≤2时，讨论 f(x)的单调性．
• 1. 利用导数研究函数的单调区间是导数的 主要应用之一，其步骤为： • (1)求导数f′(x)； • (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； • (3) 确定并指出函数的单调增区间、减区 间． • 特别要注意写单调区间时，区间之间用 “和”或“，”隔开，绝对不能用“∪” 连接．
• 2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数 f′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递 增；f′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单 调递减，求函数的单调区间转化为解不等 式f′(x)>0或f′(x)<0.
[例 1]
f(1)－f(1－x) 设 f(x)为可导函数， 且满足条件lim x→0 2x
＝－1，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率．
• [分析] 根据导数的几何意义可知，欲求y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率，即求 f′(1)，即可得所求斜率．
[解析]
f(1)－f(1－x) ∵f(x)为可导函数，且lim ＝－1， x→0 2x
• 3．利用导数的几何意义求切线方程 • 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清 所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一 是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切 点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得； 另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型 中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)， 则切线方程为 y － y1 ＝ f′(x1)(x － x1) ，再由切线过 点P(x0，y0)得 • y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ① • 又y1＝f(x1) ② • 由①②求出x1，y1的值． • 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
• 当 x ＝ 0 时， f(0) ＝－ 11 ，此时切线方程为 y ＝ 12x －11； • 当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10. • 所以y＝12x＋9不是公切线． • 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， • 即有x＝－1，或x＝2. • 当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝ －18； • 当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9. • 所以y＝9是公切线． • 综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.
[解析]
(1)因为 f′(x)＝3ax2＋6x－6a， 且 f′(－1)＝0，
∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2. (2)因为直线 m 过定点(0,9)， 先求过点(0,9)与曲线 y＝g(x) 相切的直线方程． 设切点为(x0,3x2 0＋6x0＋12)，又 g′(x0)＝6x0＋6， ∴切线方程为 y－(3x2 0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将
2 点(0,9)代入得 9－3x2 0－6x0－12＝－6x0－6x0， 2 ∴3x0 －3＝0，∴x0＝± 1，
当 x0＝1 时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为 y＝12x＋9； 当 x0＝－1 时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)， 所以切线方程为 y＝9. 下面求曲线 y＝f(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程： ∵f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， f′(x)＝－6x2＋6x＋12. 由 f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， ∴x＝0，或 x＝1.