福建省三明市2018-2019学年高一上学期期末质量检测数学试题(精品解析)

福建省三明市2018-2019学年高一上学期期末质量检测
数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知角的终边过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角的终边过点，可得，再根据计算求得结果.
【详解】已知角的终边经过点，，
，故选B.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
2.已知向量，，若，则实数的值为（）
A. -2
B. -3
C. 0
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得，故选B.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用
解答；（2）两向量垂直，利用解答.
3.函数的定义域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，
则有，
解得，
函数的定义域是，故选A.
【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式
求出.
4.在中，设，，为线段的中点，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得，然后利用向量减法的三角形法则即可得结果.
【详解】因为，，为线段的中点，
所以，
由向量减法的三角形法则可得，
，故选D.
【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
5.已知，，，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出得范围，从而可得结果.
【详解】因为;
;
,
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
6.方程在区间上的所有解的和为（）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
等价于，的根就是图象交点的横坐标，画出函数的图象，结合对称性即可得结果.
【详解】
因为不是的根，
所以等价于，
的根就是图象交点的横坐标，
画出图象，如图，
因为都是奇函数，所以图象关于原点对称，
又因为区间关于原点对称，
所以图象在区间上的交点关于原点对称，
所以，交点横坐标的和为0，即方程在区间上的所有解的和为0，故选D.
【点睛】本题主要考查方程的根、函数的零点以及函数图象的交点，属于中档题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
7.函数，不论为何值的图象均过点，则实数的值为（）
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由幂函数的图象过定点,可得的图象过点,从而可得结果.
【详解】因为不论为何值幂函数的图象均过点,
不论为何值的图象均过点,
又因为不论为何值的图象均过点，
所以且，即，故选A.
【点睛】本题主要考查幂函函数的几何性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
8.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，即在上恒成立，从而可得结果.
【详解】，
，
在区间上单调递增，
，
即，
，
即实数的取值范围为，故选C.
【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
9.如图函数的部分图象，则（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
由求得，由求得，从而可得结果.
【详解】由图可知，，
，
又，
，
，所以时，可得，故选A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、以及由三角函数的图象求解析式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
10.已知函数，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数在上递减，可将转化为，从而可得结果.
【详解】因为与都在上递减，
在上递减，
等价于，
解得，故选B.
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
11.已知，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数之间的关系求出，再利用求解即可.
【详解】，，且，
，
，
，故选D.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
12.已知函数有唯一零点，则实数的值为（）
A. -4
B. -3
C. -2
D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
设，函数有唯一零点，等价于有唯一零点，根据是偶函数可得的唯一零点一定是，从而可得结果.
【详解】化为
，
设，函数有唯一零点，
等价于有唯一零点，
因为
所以是偶函数，
若有唯一零点，
的图象与有唯一交点，
因为的图象关于轴对称，
所以的唯一零点一定是，
所以，
解得，故选A.
【点睛】本题主要考查方函数的零点以及函数的奇偶性与函数图象的应用，属于中档题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与
的交点.
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.已知函数则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数解析式可得再求出即可.
【详解】因为函数
因为，
，
即，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
14.已知，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.
【详解】，
，
，故答案为.
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关
系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
15.设，，则_____（用含的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用换底公式以及对数的运算法则化简即可.
【详解】
，故答案为.
【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.
16.已知函数的图象关于点成中心对称，则式子的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据的图象关于点成中心对称，可得，可得，由求出的范围，
化为，设，则，利用配方法可得结果.
【详解】的图象关于点成中心对称，
，即，可得，
因为，所以或；
或，
或
则，
设，
则，
当时，；当时，，
所以的取值范围为.
【点睛】求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据: 换元法、不等式法、三角函数法、图象法,配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）当时化简集合，由补集的定义求出，再利用交集的定义求解即可；（2）由
，可得，则解不等式即可得结果.
【详解】（1）当时，，，
则.
（2）因为，所以，则，所以.
，所以，则解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．
18.已知函数的最小正周期为.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域.
（3）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为偶函数，求的值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）由周期公式可得，从而可得结果；（2）由,可得,利用正弦函数的单调性可得结果；（3）的图象向左平移个单位后得，利用
可得结果.
【详解】（1）由题意知，
所以.
（2）,,
,
所以当时，的值域为.
（3）的图象向左平移个单位后得，
为偶函数，，即，
，即，
又，.
【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、奇偶性和值域，属于中档题.已知的奇偶性求时，
往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；
（2）时，是偶函数.
19.已知向量，.
（1）设向量与的夹角为，求；
（2）设向量，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求出，，结合，利用向量夹角公式可得结果；（2）由
，利用三角函数的有界性求出是范围，从而可得结果.
【详解】（1）向量，，
则，，
.
（2），
所以，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形
式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此
时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量
的模（平方后需求）.
20.已知函数.
（1）若，且函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）令，且为偶函数，试判断的单调性，并加以证明.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据，结合二次函数的图象与函数在上单调递增，可得，从而可得结果；（2）
为偶函数，，则，设为区间上的任意两个数，且，则
，讨论三种情况，分别判断符号，从而可得结果. 【详解】（1）因为，且函数在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）为偶函数，，
即对任意都成立，
所以，则.
设为区间上的任意两个数，且，
则，
①当时，的单调增区间为；
②当时，或时，，
所以在区间和上单调递增；
③当时，或时，，
在区间和上单调递增；
同理在区间和上单调递减.
综上所知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和
；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，
一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
21.已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）当时，在区间和
上单调递增，在区间上单调递减，求得,,,,在区间
上有三个零点，等价于函数与的图象在区间上有三个交点，数形结合可得结果. 【详解】（1）
，
由，得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）由，得，
函数的单调递减区间为.
当时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减.
,,,,
又在区间上有三个零点，等价于函数与的图象在区间上有三个交点，结合草图可知，
所以函数在区间上有三个零点时，.
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象以及辅助角公式的应用，属于中档题.函数
的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由
求得函数的减区间，求得增区间.
22.已知函数.
（1）当时，求在时的值域；
（2）若对任意，，均有，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）当时，，由，可得，由对数函数的单调性可得结果；（2）由对数函数的定义域可得在时恒成立，则，，均有，等
价于在时恒成立，即在时恒成立，讨论两种情况，结合二次函数定性质可得结果.
【详解】（1）当时，，
因为，所以，则，
所以在时的值域为.
（2）依题意对任意，，恒成立，
所以在时恒成立，则.
对任意，函数在区间上单调递减，
由已知，均有，
所以在时恒成立，
即在时恒成立.
①当，时，，则符合题意.
②当时，在时恒成立，
则在时恒成立，
令，
所以则.
由①、②可得的取值范围为.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质以及对数函数的性质、转化与划归思想与分类讨论思想的应用，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.。