自学初中数学资料 一元二次方程的解法

自学资料
一、一元二次方程的解法（直接开平方法）
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【知识探索】
1．一般地，对于方程，
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：，；
（2）当时，方程有两个相等的实数根：；
（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实根．
【错题精练】
例1．解一元二次方程的步骤是：（1）把原方程变形为__________ （2）根据平方根意义，
①当，且a，c异号时，方程的解是__________ ．②当，时，原方程的解是
，当，且a，c同号时，原方程__________
例2．一元二次方程(x−1)2=2的解是（）
A. x1=−1−√2，x2=−1＋√2；
B. x1~＝1−√2，x2=1+√2；
C. x1~=3，x2~=−1；
D. x1=1，x2~=−3．
例3．已知，则的值为__________
【举一反三】
1．关于x的方程能用直接开平方法求解的条件是__________
2．若实数a，b满足(a2+b2−3)2=25，则a2+b2的值为（）
A. 8；
B. 8或－2；
C. －2；
D. 28．
3．的根是__________
4．用直接开平方法解方程，方程的根为__________
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二、一元二次方程的解法（配方法）
【知识探索】
1．配方法解方程（）的一般步骤是：
（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为（、是已知数）的形式；（2）通过方程两边同时加“一次项系数一半的平方”，将的左边配成一个关于的完全平方公
式，方程化为；
（3）
①当时，再利用开平方法解方程；
②当时，原方程无实数根．
【说明】
（1）对于一般的一元二次方程，都可以用配方法来解；
（2）由方程（），把移到等式右边，在两边同时除以，得．
【错题精练】
例1．已知x2−2(n+1)x+4n是一个关于x的完全平方式，则常数n= ．
例2．用配方法解下列方程：
例3．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（）
A. （x﹣n+5）2=1
B. （x+n）2=1
C. （x﹣n+5）2=11
D. （x+n）2=11
【举一反三】
1．把方程1
3
x2−x−5=0，化成(x+m)2=n的形式得（）
A. (x−3
2)
2
=29
4
；
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B. (x−3
2)
2
=27
2
；
C. (x−3
2)
2
=51
4
；
D. (x−3
2)
2
=69
4
．
2．关于x的一元二次方程x2−mx−2=0的一个根为﹣1，则m的值为．
3．已知可变为的形式，则__________ 4．用配方法解下列方程：
5．用适当的数填空__________ =__________
三、一元二次方程的解法（因式分解法）
【知识探索】
1．通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
【错题精练】
例1．已知2x(x+1)=x+1，则x＝．
例2．已知实数(x2−x)2−4(x2−x)−12=0，则代数式x2−x+1的值为．
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例3．直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程的两个实数根，该三角形的面积为__________ .
【举一反三】
1．解方程：
2．已知实数x满足（x2−x）2−3（x2−x）−4=0，则代数式x2−x的值为．
3．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是__________ .
4．解下列方程
（1）x2−2x=0；
（2）3x(x−1)=2−2x．
四、一元二次方程的解法（公式法）
【知识探索】
1．当△0时，方程（）的实数根可写为的形式，这个式子叫做一
元二次方程（）的求根公式．
【说明】求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程（）的结果．
【错题精练】
例1．已知x=−b+√b2−4c
（b2−4c>0），则x2+bx+c的值为．
2
例2．若实数a、b满足，则=__________ .
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例3．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【举一反三】
1．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（）．
A. 0
B. 1
C. -1
D. ±1
2．若方程的一个根为，则另一根为__________ .
3．徐涛同学用配方法推导关于x的一元二次方程的求根公式时，对于的情况，他是这样做的：
小明的解法从第
__________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是__________ .
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1．用适当方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．方程化为的形式是__________ 。

3．若是一个完全平方式，则的值是__________
4．方程(x−2)2=3x(x−2)的解为．
5．关于x的一元二次方程为.
（1）求出方程的根；
（2）为m何整数时，此方程的两个根都为正整数？
)．
6．已知M=x2−3，N=4(x−3
2
（1）当x=1时，求M−N的值；
（2）当1<x<2时，试比较M，N的大小．
● 1.求根公式2.配方法和因式分解（十字相乘）的运用3.易错题型
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