(完整版)2018二次函数压轴题题型归纳(可编辑修改word版)

⎩ ⎩ ⎩ 一、二次函数常考点汇总
1、两点间的距离公式： AB =
2、中点坐标：线段 AB 的中点C 的坐标为：
⎛
x A
+ x
B
y A + y B ⎫
， ⎪
⎝
2
2 ⎭
直线 y = k 1 x + b 1 （ k 1 ≠ 0 ）与 y = k 2 x + b 2 （ k 2 ≠ 0 ）的位置关系：
（1）两直线平行⇔ k 1 = k 2 且b 1 ≠ b 2
（2）两直线相交⇔ k 1 ≠ k 2
（3）两直线重合⇔ k 1 = k 2 且b 1 = b 2
3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：
① 用∆ 和参数的其他要求确定参数的取值范围；
（4） 两直线垂直⇔ k 1k 2 = -1
② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于 x 的一元二次方程 x 2－2(m + 1)x + m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。

4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）
例：若抛物线 y = mx 2 + (3m +1)x + 3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定
此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：
已知关于 x 的方程 mx 2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总
有一个固定的根。

解：当 m = 0 时， x = 1；
当 m ≠ 0 时， ∆ = (m - 3)2
≥ 0 ， x =2m
综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。

6、函数过固定点问题，举例如下：
， x 1
= 2 - 3 、 x m 2
= 1 ；
已知抛物线 y = x 2 - mx + m - 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固
定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于 m 的方程 y - x 2 + 2 = m (1 - x ) ；
⎧ y - x 2 + 2 = 0 ∴ ⎨ 1 - x = 0 ⎧ y = -1 ，解得： ⎨ x = 1
；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于 m 的方程 y - x 2 + 2 = m (1 - x ) 不论 m 为何值，方程恒成立）
⎧ a = 0 小结：关于 x 的方程 ax = b 有无数解⇔ ⎨ b = 0
(y - y ) + (x 2 - x ) 2
A B A B
⎩
⎩ 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1） 如图，直线l 1 、l 2 ，点 A 在l 2 上，分别在l 1 、l 2 上确定两点 M 、 N ，使得 AM + MN
之和最小。

（2） 如图，直线l 1 、l 2 相交，两个固定点 A 、 B ，分别在l 1 、l 2 上确定两点 M 、 N ，使得
BM + MN + AN 之和最小。

（3） 如图， A 、B 是直线l 同旁的两个定点，线段 a ，在直线l 上确定两点 E 、 F （ E 在 F 的
左侧 ），使得四边形 AEFB 的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM·△x=1/2 ·AN·△y 9、函数的交点问题：二次函数（ y ＝ax 2＋bx ＋c ）与一次函数（ y ＝kx ＋h ）
⎧ y ＝ax 2＋bx ＋c （1） 解方程组⎨ y ＝kx ＋h 可求出两个图象交点的坐标。

⎧ y ＝ax 2＋bx ＋c 2 ( ) ∆
（2） 解方程组⎨ y ＝kx ＋h
，即 ax ＋ b －k x ＋c －h ＝0 ，通过 可判断两个图象的交点
的个数
有两个交点 ⇔ 仅有一个交点 ⇔ 没 有 交 点 ⇔
10、方程法
∆＞0 ∆ = 0
∆＜0 （1） 设：设主动点的坐标或基本线段的长度
（2） 表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3） 列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时， 利用几何分析法能给解题带来方便。

一 基础构图：
y= x 2 - 2x - 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小，差最大
1 在对称轴上找一点 P ，使得 PB+PC 的和最小，求出 P 点坐标
2 在对称轴上找一点 P ，使得 PB-PC 的差最大，求出 P 点坐标
★求面积最大
连接 AC,在第四象限找一点 P ，使得∆ACP
★ 讨论直角三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P ，使得∆ACP 为直角三角形，
求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P ，使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形．
★ 讨论等腰三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P ，使得∆ACP 为等腰三角形，
求出 P 坐标
★ 讨论平行四边形
1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F
上，
且以 B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标
二 综合题型 例 1 (中考变式）如图，抛物线 y = -x 2 + bx + c 与 x 轴交与 A (1,0),B (-3，0)两点，顶点为 D 。

交 Y 轴于 C
(1) 求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。

若没有，请说明理由
(3) 若 E 为抛物线 B 、C 两点间图象上的一个动点(不与 A 、B 重合)，过 E 作 EF 与 X 轴垂直，交 BC
于 F ，设 E 点横坐标为 x.EF 的长度为 L ，
求 L 关于 X 的函数关系式？关写出 X 的取值范围？
当 E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时 E 点的坐标？
(4) 在（5）的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H 。

当 E 点运动到什么位置时,以点 E 、F 、H 、D
为顶点的四边形为平行四边形？
(5) 在（5）的情况下点 E 运动到什么位置时，使三角形 BCE 的面积最大？
y
B O A x
C D
y B
O C
A x
y
A O F
B x
C
P
例 2 考点： 关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点 A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，－
)，点 B 在 x 轴上．已知某 二次函数的图象经过 A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线 x ＝1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点 P 与 B 、C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F ．
（1） 求该二次函数的解析式；
（2） 若设点 P 的横坐标为 m ，试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长； （3） 求△PBC 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标．
x ＝1
例 3
考点：讨论等腰
如图，已知抛物线 y ＝ 1
x 2＋bx ＋c 与 y 轴相交于 C ，与 x 轴相交于 A 、B ，点 A 的坐标为（2，0），
2
点 C 的坐标为（0，－1）． （1） 求抛物线的解析式； （2） 点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE ⊥x 轴于点 D ，连结 DC ，当△DCE 的面积最大时， 求点 D 的坐标； （3） 在直线 BC 上是否存在一点 P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，
说明理由．
备用图
例 4 考点：讨论直角三角
⑴ 如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上
确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（ ）．
(A ）2个 （B ）4个 （C ） 6个（D ）7个
3 y
B
O C
D
E
A
x
⑵ 已知：如图一次函数y ＝ 1 x ＋1 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝ 1
x 2＋bx ＋c
2 2 的图象与一次函数 y ＝ 1
x ＋1 的图象交于 B 、C 两点，与 x 轴交于 D 、E 两点且 D 点坐标为（1，0）
2
（1） 求二次函数的解析式； （2） 求四边形 BDEC 的面积 S ； （3） 在 x 轴上是否存在点 P ，使得△PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P ，若不存在，请说明理由．
例 5 考点：讨论四边形
已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与 x 轴交于点 A （－2，0），点 B （6，0），与 y 轴交于点 C ．
（1） 求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2） 在抛物线上有一点 D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的
解析式；
（3） 在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ，抛物线上有一动点 P ，x 轴上有一动点
Q ．是否存在以 A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由．
综合练习：
1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线
y =ax2- 4ax + 4a +c 与x 轴交于点A、点B，与y 轴的正半轴
交于点C，点A 的坐标为(1, 0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB＝∠ACB，求点P 的坐标；
(3)Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A'，若QA -QB =
坐标和此时△QAA'的面积。

2 ，求点Q 的
2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y =ax2 +2ax +c 的图像与y轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A、B 两点，点B 的坐标为(- 3，0)。

（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；
（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2 的两部分，求出此时点M 的坐标；
（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△ CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =
且对称轴与x 轴交于点C 。

（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；2
x 2- 2x 与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，m
（2）D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E （0，2），求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M 在直线OB 上，且使得∆AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

4、已知关于x 的方程(1-m)x2+ (4 -m)x + 3 = 0 。

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）若正整数m 满足8 - 2m > 2 ，设二次函数y = (1-m)x2+ (4 -m)x + 3 的图象与x 轴交于
A、B 两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一
个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y =kx + 3 与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。

5 如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y 轴交于点C（0，4），与x 轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE∥AC，交BC 于点E，连
接CQ．当△CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标；
（3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线AC 交于点F，
点D 的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF 是等腰三角形？若
存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋m－2 的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m 为正整数，求该二次函数的表达式；
（2）若x1＜1，x2＞1，求m 的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
1 MD 1
（4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N 两点，且＝，求该直线的表2
DN 3
达式．
题型二、抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题
例2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5，
（1）求证：不论 m 取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；
（2）求当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短．
20 题型三、抛物线方程的整数解问题
例1． 已知抛物线 y = x 2 - 2(m +1)x + m 2 = 0 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m ＜5，则
整数 m 的值为
例 2．已知二次函数 y ＝x 2－2mx ＋4m －8．
（1） 当 x ≤2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； （2） 以抛物线 y ＝x 2－2mx ＋4m －8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正∆AMN （M ，N 两点在拋物线上），请问：△AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明 理由； y （3） 若抛物线 y ＝x 2－2mx ＋4m －8 与 x 轴交点的横坐标均为整数， 求整数 m 的值．
O
x
题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
A
例 1．已知抛物线 y = x 2 + bx + c （其中 b >0，c ≠0）与 y 轴的交点为 A ，点 A 关于抛物线对称轴的
对称点为 B (m ,n )，且 AB =2. (1)求 m ,b 的值
(2)如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO = 。

求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请
画图思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）
例 1．已知：二次函数 y = x 2 - 4x + m 的图象与 x 轴交于不同的两点 A （ x ，0）、B （ x ，0）（ x ＜ x ），
其顶点是点 C ，对称轴与 x 轴的交于点 D ． （1）求实数 m 的取值范围；
（2）如果（ x 1 +1）（ x 2 +1）=8，求二次函数的解析式；
1 2 1 2
（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿 y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点 A 1 、B 1 ，
顶点为点 C1，且△ A 1B 1C 1 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．
综合提升
1. 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 C （0，4），且| AB |＝2 对称轴为 x ＝1． （1） 求二次函数的表达式；
（2） 若二次函数的图象都在直线 y ＝x ＋m 的下方，求 m 的取值范围．
3，图象的
2.已知二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．
（1）若该二次函数图象与x 轴的两个交点A、B 分别在原点的两侧，并且AB＝
5，求m 的值；
（2设）该二次函数图象与y 轴的交点为C二，次函数图象上存在关于原点对称的两点M N、且，S△MNC＝27，求m 的值．
3.已知关于x 的一元二次方程x 2－2(k＋1)x＋k 2＝0 有两个整数根，k＜5 且k 为整数．
（1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y＝x 2－2(k＋1)x＋k 2的图象沿x 轴向左平移 4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线y＝x＋b 与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b 的取值范围．
4.已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m 为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1 所得线段的长为2 2，求m 的值．
四、中考二次函数定值问题
1.（2012 江西南昌 8 分）如图，已知二次函数 L1：y=x2﹣4x+3 与x 轴交于A．B 两点（点A 在点B
左边），与 y 轴交于点 C．
（1）写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数 L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由．
2.（2012 山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)
三点，过坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点．分别过点 C、D(0，－2)作平行于 x 轴的直线l1 、l2 ．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以 ON 为直径的圆与直线l1相切；
(3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线l2的距离之和等于线段 MN 的长．
3.（2012浙江义乌12分）如图 1，已知直线y=kx 与抛物线y=
- 4
x2+
22
x交于点 A（3，6）．
（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；
27 3
（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合），交直线OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N．试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合），点D（m，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的 E 点的个数分别是1 个、2 个？
4．（2011•株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=2 2（如图1），求a 的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2 所示位置时，过B 作BF⊥x 轴于点F，测得OF=1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
11。