1.3%2B条件概率

B 另一件是次品，则 AB 两件都是次品
N CM2 ， N A Cm1 CM1 m Cm2 , N AB Cm2
Cm2
= 1
P
B
|
A
P AB P A
2 P A
CM2
Cm2 Cm1 CM1 m CM2
m 1 2M m 1
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解2：有顺序不放回抽样
设 A 第一件是次品,B 第二件是次品，
（2）非负性： P( A | B ) 0；
（3）可列可加性：设 A1 , A2 , … ，An , … 是可数个两两
互不相容的事件，则
P( Ai B)
P( Ai B).
i 1
i 1
P( Ai i 1
P Ai B
B)
i1
PB
P Ai B
i1
PB
P AiB
i 1
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
30%
A1
2% 1% 50%
1%
20% A2 A3
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例5 口袋中有10张卡片，其中2张是中奖卡，三个人依次
从口袋中摸出一张（摸出的结果是未知的，且不放回），
求第一、二、三人分别中奖的概率。
解：设三个人摸卡中A1 奖事件分别为A1 A1, A2 , A3
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率,
将此概率记作P(A|B).
一般地，P(A|B) ≠ P(A).
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例如, 掷一颗均匀骰子, A={掷出2点},
B={掷出偶数点},P(A)=1/6, P(A|B)=? 已知事件B发生, 此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B,
B中共有3个元素, 它们的出
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场 券”的概率都是1/5。
这就是有关抽签顺序问题的正确解答。 也就是说, 抽签不必争先恐后。
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例3 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地 拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。
解 记 A——拨号不超过三次，而接通所需电话
Ai ——第 i 次拨号接通所需电话，i =1，2，3。 [方法一] 分解事件 A（直接和）
PB
P( Ai
i 1
B)
P
B
P B PB
PB PB 1
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由此出发，也可以推导出条件概率的一些性质，如：
P ( | B) = 0 ； P (A B ) = 1 – P ( A | B ) ；
P ( A1 ∪ A2 | B ) = P ( A1 | B ) + P ( A2 | B) – P ( A1A2 | B ) 条件概率满足普通概率的一切性质，因为条件概率 也是概率，满足概率的三条公理！
P A1 A2 B ?P A1 B P A1A2 B
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• 条件概率的计算
1) 用定义计算: P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2) 从加入条件后改变了的情况去算（古典概型） 掷骰子
例：A ={掷出2点},B ={掷出偶数点}
P(A|B）= 1
B发生后的
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“大家不必争先恐后, 你们一个一个 按次序来, 谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢? 让我们用 概率论的知识来计算一下, 每个人抽到“入场券”的概 率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”
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我们用 Ai 表示“第 i 个人抽到入场券” i＝1, 2, 3, 4, 5.
∵ A = A1 ∪A1 A2 ∪A1A2 A3 ， 且 A1 ，A1 A2 ，A1A2 A3 两两互斥。
P( A) P( A1) P( A1A2 ) P( A1A2 A3 )
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P( A1) P( A1) P(A2 A1) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 )
解法2:
应用定义
P(A | B) 3 1 62
在B发生后的
缩减样本空间
中计算
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例2 设有 M 件产品包含有 m 件次品，从中任取2件，
求 (1)有一件是次品时，另一件也是次品的概率；
(2)至少一件是次品的概率。
解1：这类题型关键是掌握事件符号的设定。
设 A 两件中至少有一件是次品；
1 10
9 1 10 9
9 81 10 9 8
3 10
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例3 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地 拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。
解 记 A——拨号不超过三次，而接通所需电话 Ai ——第 i 次拨号接通所需电话，i =1，2，3。
[方法二] 利用对立事件
A A1A2 A3 P( A) 1 P( A) 1 P( A1A2 A3 )
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若P AB 0，则PABC P A PB A PC AB
设事件 A1，A2，…，An 满足 P( A1A2…An1 ) > 0，则
P(A1A2…An) = P(A1) P(A2| A1) P(A3|A1A2) … P(An|A1A2…An1 )
证 ∵ A1 A1A2 ... A1A2…An1 ，P( A1A2…An1 ) > 0，
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事件 B 为“任取一件为次品”,
P(B A1 ) 0.02, P(B A2 ) 0.01, P(B A3 ) 0.01, P( A1 ) 0.3, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.2,
由全概率公式得
P(B) P( A1 )P(B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( A3 )P(B A3 )
AB 两件都是次品,A B 至少有一件是次品
P AB
Am2 AM2
,
P A B =1 P A
B
1 P
AB
1
A2 M m AM2
1 P AB | A
B
P A B AB
PA B
P AB PA B
m 1 2M m 1
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二、乘法公式
由条件概率的定义：
P(A |
B)
P( AB) P(B)
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在缩减样本空间
缩减样本空间
中A所含样本点
所含样本点总数
个数
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例 1 掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A ={掷出点数之和不小于10}
B ={第一颗掷出6点}
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
∴ P(A1) P(A1A2) … P(A1A2…An1 ) 0
P( A1) P( A2 | A1) P A3 A1A2
P( A1)
P( A1A2 ) P( A1)
P( A1A2 A3 ) P( A1 A2 )
P( A1 A2 An )
P( An | A1A2 An-1 )
P( A1 A2 An-1 An ) P( A1A2 An-1 )
A1B A2B AnB.
A1B, A2B,, AnB两两互斥 P(B) P( A1B) P( A2B) P( AnB)
P( A1 )P(B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( An )P(B An )
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n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
也称为 的一个分割。
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• 全概率公式
设Ω为随机试验的样本空间, A1, A2, …, An是 样本空间Ω的一个分割, 且有P(Ai)>0, i =1,
2, …, n, 则对任一事件B, 有
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
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证明 B ΩB ( A1 A2 An ) B
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
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样本空间的分割（划分）
定义 设A1, A2 ,, An为一个随机事件序列，且满足
(1) A1, A2, , An两两互斥
A2
A1
(2) A1 A2
An
A3
An1
An
那么，称A1, A2 , , An为一个完备事件组,
第一章 概率论的基本概念
1.1 随机事件及其运算 1.2 频率与概率 1.3 条件概率 1.4 独立性
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1
1.3 条件概率
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式和贝叶斯公式
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2
一、条件概率
在解决许多概率问题时, 往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
P
A1
1 5
，A2轮到第A1二A2人摸时，A1与A1AA12构成完备事件组:
1 P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2 )
1 9 8 7 3
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10 9 8 10
式主要用于计算比较复杂
事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式
的综合运用。
综合运用
可加性
P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 P(A)>0, 则 P(BA)=P(A)P(B|A)
而 P(AB)=P(BA)
故 P(A)>0, 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
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B AB A
试验结果必须是既在B 中又在A 中的样本点,即此点必属于AB.
由于我们已经知道B 已发生,故B
变成了新的样本空间,于是有(1)。
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可以证明:对于给定的事件B ( P( B ) > 0 )，条件概率 P ( | B ) 也满足概率的三条公理：
（1）规范性：P( | B ) = 1；
也就是要想第2个人抽到入场券, 必须第1 个人未抽到,
计算得:
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
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同理, 第3个人要抽到“入场券”, 必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P( A3 ) P( A1A2 A3 ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1A2 ) ＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
若每一原因发生的概率已知，
即 P Ai
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 P B Ai
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
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例4 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是 次品的概率是多少?
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和。
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易, 但B总
是伴随着某个 Ai 出现, 适当地去构造这一 组Ai往往可以简化计算。
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还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
我们把事件B看作某一过程的结果， 把 A1, A2 ,, An看 作 该过 程 的 若 干个 原因 ，
现是等可能的, 其中只有1个
在集A中,于是P(A|B)= 1/3.
P( A | B) P( AB) P(B)
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定义 设A、B是两个事件, 且P(B)>0,
则称 P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下, 事件A的条件概率。
若事件B已发生,则为使A也发生,
则 Ai 表示“第 i 个人未抽到入场券” 显然, P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5 也就是说,
第1个人抽到入场券的概率是1/5。
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由于 A2 A1A2 由乘法公式
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1)
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
解 设事件 B 为“任取一件为次品”, 事件 Ai 为“ 任取一件为 i 厂的产品? ,
A1 A2 A3 , Ai Aj , i j i, j 1,2,3.
P( A1 ) 0.3, P( A2 ) 0.5, 30%
P( A3 ) 0.2,
A1
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20% A2
50%
A3
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一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不 容易才搞到一张入场券. 大家都想去, 只好 用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片, 只有一张上写有“入场券”, 其余的什 么也没写. 将它们放在一起, 洗匀, 让5个人依次抽取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗?