《试卷4份集锦》昆明市名校中考第三次模拟数学试题

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（）
A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定
2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为AD中点，分别以B、E为圆心，以AB、AE为半径画弧，两弧交于点F，连接AF、BE，则AF的长为（）
A.12
5
B.
13
5
C.
24
5
D.5
4．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)．若有36枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( )
A.22张
B.23张
C.24张
D.25张
5．若a2+2a﹣3＝0，则代数式（a﹣）的值是（）
A.4
B.3
C.﹣3
D.﹣4
6．已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（﹣1，1），则ab有（）
A.最小值0
B.最大值1
C.最大值2
D.有最小值﹣
7．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，沿CE折叠△CDE，点D恰好落在AC的中点F处，若CD＝
3ACE的面积为（）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．23
8．估计372-的值应在( ) A ．4和5之间 B ．5和6之间
C ．6和7之间
D ．7和9之间
9．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置
关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定 10．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ） A.开口向下
B.对称轴是3x =
C.最大值为0
D.与y 轴不相交
11．下列运算正确的是（ ） A.222
()x y x y +=+ B.6
3
2
x x x ÷=
C.2
(3)3-=
D.3
2361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
12．将直线y ＝2x ﹣3向右平移2个单位．再向上平移2个单位后，得到直线y ＝kx+b ，则下列关于直线y ＝kx+b 的说法正确的是（ ） A ．经过第一、二、四象限 B ．与x 轴交于（2，0） C ．y 随x 的增大而减小 D ．与y 轴交于（0，﹣5）
二、填空题
13．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1﹣S 2+S 3+S 4等于_____．
14．若正方形的面积是9，则它的对角线长是_____．
15．点P （5，﹣3）关于x 轴对称的点P′的坐标为____________.
16．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）
17．计算：38﹣|﹣2|＝_____．
18．某校随机调查了八年级20名男生引体向上的个数，统计数据如表所示，则这些男生引体向上个数的中位数与众数之和为_____．
个数 6 7 8 9 10
人数 2 3 4 6 5
19．先化简，再求值：
2443
1
11
x x
x
x x
-+⎛⎫
÷+-
⎪
--
⎝⎭
，其中x的值是不等式组
3
215
x
x
-<
⎧
⎨
+≤
⎩
的一个整数解.
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，过点C作CG⊥AE，垂足为G，连接DG，
（1）若BC＝6，CF＝2，求CE的长；
（2）猜想：AG、CG、DG之间有何数量关系，并证明．
21．等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，两边分别交BC、CD于M、N．
（1）如图①，作AE⊥AN交CB的延长线于E，求证：△ABE≌△AND；
（2）如图②，若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.
①求证：BM+MN=DN；②如图③，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．22．某学校开展名著阅读活动，现老师推荐2部不同的名著A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部阅读．
(1) 甲选择名著A的概率为；
(2) 求甲、乙、丙3人选择同一部名著的概率．（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）23．下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况：：
月用水量/吨15 20 25 30 35 40 45
户数 2 4 m 4 3 0 1 ＝，补充画出这
（2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中：
统计量名称众数中位数平均数
数据
如下：
月用水梯级标准Ⅰ级（30吨以内）Ⅱ级（超过30吨的部分）
单价（元/吨） 2.4 4
如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？
（4）按上表收费，如果某用户本月交水费120元，请问该用户本月用水多少吨？
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函
数y＝m
x
在第二象限内的图象交于点C，CE⊥x轴，tan∠ABO＝
1
2
，OB＝4，OE＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．
25．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝22，CD＝1，求FE的长．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13．6
1415．(5，3) 16．1 17．0 18．18 三、解答题
19．当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【解析】 【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x 的值，代入计算即可求出值． 【详解】
2443111x x x x x -+⎛⎫
÷+- ⎪--⎝⎭
22(2)131
11x x x x x ⎛⎫--=
÷- ⎪---⎝⎭
2(2)(2)(2)
11x x x x x -+-=÷
-- 2(2)11(2)(2)
x x x x x --=⨯-+-22x x -=+
解不等式组3
215x x -<⎧⎨
+≤⎩
得32x -<≤，其整数解：21012212x --≠-、、 、 、 、、 、
x 可以等于10-、
当1x =-时，原式=3-； 当0x =时，原式=1- 【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）3（2）DC 【解析】 【分析】
（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】
（1）在正方形ABCD 中， ∵AB ∥DC ，AB ＝BC ， ∴△CEF ∽△BEA ， ∴
CE CF BE AB
=， ∵BC ＝6，CF ＝2，BE ＝BC+CE ，
∴
2
66
CE CE =+，
解得：CD ＝3；
（2）猜想：AG 、CG 、DG 之间的数量关系为：2AG CG DG =+， 证明如下：在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°， ∴∠DAE ＝∠E ，∠DCG+∠GCE ＝90°， ∵CG ⊥AE ，
∴∠E+∠GCE ＝90°， ∴∠DCG ＝∠E ＝∠DAE ， 在△ADH 与△CDG 中
AD CD DAH DCG AH CG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADH ≌△CDG （SAS ）， ∴DH ＝DG ，∠ADH ＝∠CDG ， ∵∠ADC ＝∠ADH+∠HDC ＝90°， ∴∠HCD+∠GDC ＝∠HDG ＝90°， ∴HG 222DH DG DG +， ∵AG ＝AH+HG ，AH ＝CG ， ∴AG ＝2DG ． 【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，正方形的性质、勾股定理等知识的应用，关键是利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答．
21．（1）见解析；（2）①见解析；②10. 【解析】 【分析】
（1）利用互余判断出∠EAB=∠NAD ，即可得出结论；
（2）先构造出△ADG ≌△ABM ，进而判断出，△AMG 为等腰直角三角形，即可得出NM=NG ，即可得出结论；
（3）由（2）得出MN+BM=DN ，进而得出CN=18-2BC ，再利用勾股定理得求出CN=6，在判断出△ABP ∽△
ACN ，得出AP AB AN AC 2
==AN ，代入即可得出结论． 【详解】
解：（1）如图①， ∵AE 垂直于AN ，
∴∠EAB+∠BAN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠NAD+∠BAN=90°，
∴∠EAB=∠NAD，
又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△AND；………………
（2）如图②，在ND上截取DG=BM，连接AG、MG，∵AD=AB，∠ADG=∠ABM=90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG=AM，∠MAB=∠GAD，
∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°，
∴△AMG为等腰直角三角形，
∴AN⊥MG，
∴AN为MG的垂直平分线，
∴NM=NG，
∴DN﹣BM=MN，
即MN+BM=DN；
（3）如图③，连接AC，同（2），证得
MN+BM=DN，
∴MN+CM﹣BC=DC+CN，
∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC，
即8﹣CN+10=2BC，
即CN=18﹣2BC，
在Rt△MNC中，
根据勾股定理得MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，∴CN=6，
∴BC=6，
∴AC=62，
∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，∴∠BAP=∠NAC，
又∵∠ABP=∠ACN=135°，
∴△ABP∽△ACN，
∴AP AB
AN AC2
==
在Rt△AND中，
根据勾股定理得AN2=AD2+DN2=36+144，
解得AN=65，
∴
652
=，
∴AP=310．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠EAB=∠NAD，解（2）的关键是判断出△AMG为等腰直角三角形，解（3）的关键是判断出△ABP∽△ACN．
22．(1)1
2
；(2)
1
4
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1）甲选择名著A的概率=1
2
；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部名著的结果数为2，
所以甲、乙、丙3人选择同1部名著的概率=28=14
． 【点睛】
本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 23．（1）6（2）25，25，26.5（3）100（4）39 【解析】 【分析】
（1）根据各用户数之和等于数据总和即可求出m 的值，根据表格数据补全统计图；（2）根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；（3）用达标的用户数除以总用户数，乘以500即可；（4）设该用户本月用水x 吨，列方程2.4×30+4（x ﹣30）＝108，解答即可． 【详解】
（1）m ＝20﹣2﹣4﹣4﹣3﹣0﹣1＝6， 这20户家庭三月份用电量的条形统计图：
故答案为6；
（2）根据题意可知，25出现的次数最多，则众数为25，
由表可知，共有20个数据，则中位数为第10、11个的平均数，即为25； 平均数为（15×2+20×4+25×6+30×4+45×1）÷20＝26.5， 故答案为25，25，26.5；
（3）小区三月份达到ⅠI 级标准的用户数：
31
50010020
+⨯
=（户）， 答：该小区三月份有100户家庭在ⅠI 级标准； （4）∵2.4×30＝72＜120， ∴该用户本月用水超过了30吨， 设该用户本月用水x 吨， 2,4×30+4（x ﹣30）＝108， 解得x ＝39，
答：该用户本月用水39吨． 【点睛】
本题考查的是统计表即条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 24．（1）6y x =-，1
22
y x =-+；（2）D （32，﹣4）． 【解析】 【分析】
（1）由条件可求得OA ，由△AOB ∽△CEB 可求得CE ，则可求得C 点坐标，代入反比例函数解析式可求得
m的值，可求得反比例函数解析式；
（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标．
【详解】
解：（1）∵tan∠ABO＝1
2
，
∴
A1
OB2
O
=，且OB＝4，
∴OA＝2，
∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，
∴AO BO
CE BE
=，即
24
42
CE
=
+
，解得CE＝3，
∴C（﹣2，3），
∴m＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝
6
x -；
∵OA＝2，OB＝4，
∴A（0，2），B（4，0），
代入y＝kx+b得
2
40
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
k
2
b2
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴一次函数的解析式为y＝
1
2
x
-+2；
（2）设D（x，
6
x -），
∵D在第四象限，
∴DF＝x，OF＝6
x
，
∴S△DFO＝1
2
DF•OF＝
16
3
2
x
x
⋅=，
由（1）可知OA＝2，
∴AF＝2+6
x
，
∴S△BAF＝1
2
AF•OB
166
2422
2x x
⎛⎫⎛⎫
=+⨯=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
∵S△BAF＝4S△DFO，
∴2（2+6
x
）＝4×3，解得x＝
3
2
，
当x＝3
2
时，
6
x
-的值为﹣4，
∴D（3
2
，﹣4）．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积鞥，用D点坐标表示出△BAF和△DFO的面积是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）EF＝5
3
.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．【详解】
（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，
∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴DE＝EF
（2）∵AB＝AC＝BAC＝90°，
∴BC＝4，
∵CD＝1，
∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，
∵∠ABF＝∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴1+（3﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝5 3
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列调查中，适合普查的事件是（）
A．调查华为手机的使用寿命v
B．调查市九年级学生的心理健康情况
C．调查你班学生打网络游戏的情况
D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率
2．﹣5的相反数是（）
A．﹣5 B．5 C．﹣1
5
D．
1
5
3．如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝k
x
（x＞0）的
图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（）
A．43B．9
3
2
C．
25
3
4
D．83
4．下列标志中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
5．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有
（）个“O”
A.28
B.30
C.31
D.34
6．将点A（﹣2，3）绕坐标原点逆时针旋转90后得到点A'，则点A'的坐标为（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
7．图为某班35名学生投篮成绩的条型统计图，其中上面部分数据缺损导致数据不完全.已知此班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图的数据，无法
．．确定下列哪一选项中的数值（）
C ．6球（不含6球）以下的人数
D ．7球（不含7球）以下的人数 8．已知三角形ABC 的三个内角满足关系∠B ＋∠C=3∠A ，则此三角形( ).
A ．一定有一个内角为45°
B ．一定有一个内角为60°
C ．一定是直角三角形
D ．一定是钝角三角形
9．如图，在四边形AOBC 中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（ ）
（1）A 、O 、B 、C 四点共圆 （2）AC ＝BC （3）cos ∠1＝
2a b
c
+ （4）S 四边形AOBC ＝
()sin 1
2
a b c +⋅∠
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依此规律拼成第6个图案需小木棒（ ）根．
A.53
B.54
C.55
D.56
11．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，侧得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 为( )
A ．90+303
B ．90+603
C ．90+903
D ．90+1803
12．如图，下图经过折叠不能围成一个正方体是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．一副三角板如图所示，叠放在一起．若固定△AOB ，将△ACD 绕着公共点A 按顺时针方向旋转α度
14．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 平移，使点A 移至线段AC 的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是_____ 15．﹣3的相反数是 ．
16．如图，在矩形ABCD 中，点G 在AD 上，且GD=AB=1，AG=2，点E 是线段BC 上的一个动点（点E 不与点B ，C 重合），连接GB ，GE ，将△GBE 关于直线GE 对称的三角形记作△GFE ，当点E 运动到使点F 落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE 的长是__________．
17．若－2≤a＜2，则满足a(a ＋b)＝b(a ＋1)＋a 的b 的取值范围为____． 18．若x ＝2是关于x 的方程2x ﹣m+1＝0的解，则m ＝_____． 三、解答题
19．如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q （1）如图2，当1CE
EA = 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明． （2）如图3，当
2CE
FA
=时 ①EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由．
②在旋转过程中，连接PQ ，若AC ＝30cm ，设EQ 的长为xcm ，△EPQ 的面积为S （cm 2），求 S 关于x 的函数关系，并求出x 的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，且B （6，4），F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点的反比例函数y=
k
x
（k ＞0）的图象与BC 边交于点E ，连接AE ．
（1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式．
（2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值．
21．为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
环境空气质量指数（ω）30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2
良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…根据上述信息，解答下列问题：
（1）请补全空气质量天数条形统计图：
（2）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；
（3）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
23
1
1
32(20181)2sin452cos30
2018
-
︒︒
⎛⎫++-+ ⎪
⎝⎭
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长.
25．△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，⊙O 是△ABC 的外接圆． （1）如图①，过A 作MN ∥BC ，求证：MN 与⊙O 相切；
（2）如图②，∠ABC 的平分线交半径OA 于点E ，交⊙O 于点D ．求⊙O 的半径和AE 的长．
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B C D C A D B C
D
13．当α＝30°时AB ∥CD ；当α＝45°时BO ∥CA ；当α＝75°时AO ∥CD ；当α＝135°时BO ∥AD ；当α＝165°时BO ∥CD ． 14．1 15．3
16．5253
或或 17．1
64
b -≤≤ 18．5 三、解答题
19．(1)EP ＝EQ ，理由见解析；（2）①EQ ＝2EP ，理由见解析；②2
12103)4
S x x =剟. 【解析】 【分析】
（1）连接BE ，根据已知条件得到E 是AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE ，∠PBE=
果；
②设EQ=x ，根据上述结论，可用x 表示出S ，确定EQ 的最大值，及最小值后，可得出x 的取值范围． 【详解】
（1）连接BE ，如图2：
证明：∵点E 是AC 的中点，△ABC 是等腰直角三角形， ∴BE ＝EC ＝AE ，∠PBE ＝∠C ＝45°， ∵∠PEB+∠BEQ ＝∠QEC+∠BEQ ＝90°， ∴∠PEB ＝∠QEC ， 在△BEP 和△CEQ 中，
BEP CEQ BE CE
PBE C ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BEP ≌△CEQ （ASA ）， ∴EP ＝EQ ．
（2）①作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥BC 于点N ，如图3：
∵∠A ＝∠C ＝45°， ∴EM ＝AM ，EN ＝CN ，
∵∠MEP+∠PEN ＝∠NEQ+∠PEN ＝90°， ∴∠MEP ＝∠NEQ ，
又∵∠EMP ＝∠ENQ ＝90°， ∴△MEP ∽△NEQ ，
∴EP ：EQ ＝ME ：NE ＝ME ：CN ＝AE ：CE ＝1：2， 故EQ ＝2EP ；
②设EQ ＝x ，由①得，EP ＝1
2
x ， ∴S △EPQ ＝
12EP×EQ＝1
4
x 2， 当EQ ＝EF 时，EQ 取得最大，此时EQ ＝DE×tan30°＝30×
3
3
＝3 当EQ ⊥BC 时，EQ 取得最小，此时EQ 2
＝2，
综上可得：S ＝14
x 2
（
【点睛】
本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力． 20．（1）12y x
=,4
y x 83=-+；（2）当k=12时，S 最大，最大值是3．
【解析】 【分析】
（1）先求出点F 的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式，求解点E ，由E 、A 两点即可求得直线AE 的解析式．
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k 的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 【详解】
解：（1）∵B （6，4），点F 是AB 的中点， ∴点F 的坐标为（6，2）， ∵反比例函数y=k
x
（k ＞0）的图象过点F ， ∴k=6×2=12，
∴反比例函数解析式为y=12x
， 把y=4代入y=12x 得，4=12x
， 解得x=3， ∴E （3，4），
设直线AE 的解析式为y=ax+b ，
∴34
60a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得438
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩ ，
∴直线AE 的解析式：4
y 83
x =-+； （2）设F （6，
6k ），则E （,44
k
）， ∴S=()2
21111·612326448248
k k k k k ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当k=12时，S 最大，最大值是3． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，表示出△EFA 的面积是解本题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）219天．
（1）由题意，可得轻度污染的天数，即可补全条形统计图.
（2）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：
15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°.
（3）由18÷30得出每天适合做户外运动的概率，再由得出的概率乘以365即可得到答案. 【详解】
解：（1）由题意，得轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．
（2）由题意，得
优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，
良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，
轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°
（3）该市居民一年（以365天计）适合做户外运动天数为：18÷30×365=219天．
【点睛】
本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂条形统计图和扇形统计图中包含的信息.
22．（1）m≥﹣1
12
；（2）m＝2．
【解析】
【分析】
（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．
【详解】
（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
解得m≥﹣1 12
；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，
因为x1x2＝m2+2＞0，
所以x12+x22＝31+x1x2，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，
所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，
整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，
而m≥﹣1 12
；
所以m＝2．
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，
1212,b c
x x x x a a
+=-=．灵活应用整体代入的方法计算．
23．2019 【解析】 【分析】
原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计算，最后一项依据负整数指数幂运算，即可求解. 【详解】
原式＝23
32122201822
-++⨯-⨯+=321232018-++-+=2019 【点睛】
此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答此题的关键.
24．(1)见解析；（2）32
π 【解析】 【分析】
（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A 、B 、C ，△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的对应点A 2、B 2、C 2的位置，然后顺次连接即可，再先求得AC 的长，再根据弧长公式列式计算即可． 【详解】
(1)如图所示：A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1) 向左平移3个单位，再向上平移5个单位的坐标分别为A 1(-2,1)、B 1（0，2）、C 1（－2，4）.
(2)如图所示：AC ＝4－1＝3，¼
2903
233602
AA ππ=⨯⨯=.
【点睛】
考查作图-旋转变换，轨迹，作图-平移变换，解题的关键是：平移，旋转后对应点的坐标表示出来，及弧长公式的正确运用． 25．（1）详见解析；（2）5
【分析】
（1）作直径AD，连接DC，证明∠D＝∠NAC，根据∠D＋∠DAC＝90°，可证∠OAN＝90°；
（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC，由角平分线的性质可得EG＝EH，BG＝BH＝6，求出AH，在Rt△OBH中由勾股定理列出方程求出半径，再根据△AGE∽△AHB可求出AE.
【详解】
解：（1）作直径AD，连接DC，
∵AB＝AC且MN∥BC，
∴∠B＝∠ACB＝∠NAC，
∵∠D＝∠B，∴∠D＝∠NAC，
∵AD是直径，∴∠D＋∠DAC＝90° ，
∴∠NAC＋∠DAC＝90°，
∴∠OAN＝90°，
又∵点A 在⊙O上，∴MN与⊙O相切；
（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC,
∵OB＝OC，AB＝AC
∴O、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，
∵BD平分∠ABC， EG⊥AB，FH⊥BC，
∴EG＝EH，BG＝BH＝6，
在Rt△ABH中，∵AB＝10，BH＝6，∴由勾股定理得AH＝8，
设⊙O的半径为x，在Rt△OBH中，
由勾股定理得： (8－x)2＋6２＝x2，∴x＝25
4
，即⊙O的半径为
25
4
，
∵AB＝10，BG＝6，∴AG＝4 ，
由△AGE∽△AHB得：AG AE AH AB
，
代入解得：AE＝5.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理
以及相似三角形的判定和性质等知识点，涉及知识点较多，有一定难度，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB ﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示， 其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC 的面积是 10 ,则 a 的值为( )
A.5
B.35
C.7
D.45 2．下列计算结果正确的是（ ）
A.（﹣a ）2•a 6＝﹣a 8
B.（m ﹣n ）（m 2+mn+n 2）＝m 3﹣n 3
C.（﹣2b 2）3＝﹣6b 6
D.
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是∠ACB 的平分线，交AB 于点D ，过点D 分别作AC 、BC 的平行线DE 、DF ，则下列结论错误的是（ ）
A ．AD BD =
B ．F
C DF = C ．AC
D BCD ∠=∠
D ．四边形DECF 是正方形 4．下列命题中真命题的有（ ）
①同位角相等；②在△ABC 中，若∠A=12∠B=13
∠C ，△ABC 是直角三角形；③两条对角线互相垂直的四边形是菱形；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．30269精确到百位的近似数是( )
A ．303
B ．30300
C ．330.230⨯
D ．43.0310⨯ 6．样本数据3，a ，4，b ，8的平均数是5，众数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 716＝（ ）
A ．±4
B ．4
C ．±2
D ．2
8．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （﹣1，﹣2），D （﹣2，﹣1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段CD 扩大为原来的2倍，得到线段AB ，则线段AB 的中点E 的坐标为（ ）
A ．（3，3）
B ．（）
C ．（2，4）
D ．（4，2）
9．在同平面直角坐标系中，函数y ＝x ﹣1与函数y ＝1x
的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，这个立体图形的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．2016年西峡香菇年出口值达到4380000000亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心．其中数学4380000000用科学记数法表示为( )
A ．743810⨯
B ．84.3810⨯
C ．94.3810⨯
D ．104.3810⨯ 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，直线l 1，l 2，l 3分别经过△ABC 的顶点A ，B ，C ，且l 1∥l 2∥l 3，
若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
二、填空题 13．如图，将矩形ABCD 绕点C 沿逆时针方向旋转，使点B 的对应点刚好落在DC 延长线上，形成矩形A'B'CD'，AB ＝4，AD ＝8，则阴影部分的面积为____．
14．把多项式ax 2+2a 2x+a 3
分解因式的结果是_____．
15．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是 ． 16．不等式组 的非负整数解有_____个． 17．若
，则 。

18．不等式5﹣2x ＞﹣3的解集是_____．
三、解答题 19．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，求证：AF ＝CE ．
20．如图，在7×7的方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，请按要求找出D 点，使得D 点在格点上．
（1）在图甲中画一个∠ADC ，使得∠ABC ＝∠ADC ．
（2）在图乙中画一个三角形ADC ，使得△ADC 的面积等于△ABC 面积的2倍．
21．计算：()1
0133cos3012122π-︒⎛⎫-+-++- ⎪⎝⎭
． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，CA ＝CD ，∠CDA ＝30°．
（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为4，
①用尺规作出点A 到CD 所在直线的距离；
②求出该距离．
23．实验室里，水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1︰2，用一个管子
在甲、乙两个容器的10厘米高度处连通(即管子底端离容器底10厘米)．已知只有甲容器中有水，水位高2厘米，如图所示．现同时向甲、乙两个容器注水，平均每分钟注入乙容器的水量是注入甲容器水量的10倍．若注水1分钟，乙容器的水位上升1厘米．当甲、乙两个容器的水位都到达连通管子的位置时，停止注水．
(1)当注水1分钟时，甲容器的水位上升了多少厘米？
(2)当注水多少分钟时，两容器的水位高度之差是1厘米？
24．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．求证：a2＝b（b+c）
（2）如图②，在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且c＝7，b＝8，求a的长．
（3）若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们则称这样的三角形为“倍角三角形”．问题（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图③，∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．
25．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．
（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；
（2）求证：BD＝AB+AE．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B A B D C B A D A C C
13．323
π﹣ 14．a （x+a ）2
15．
16．
17．6
18．x ＜4
三、解答题
19．见解析.
【解析】
【分析】
方法一：先根据平行四边形的性质及中点的定义得出AE=FC ，AE ∥FC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF 是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等得出AF=CE ； 方法二：先利用“边角边”证明△ADF ≌△CBE ，再根据全等三角形的对应边相等得出AF=CE ．
【详解】
证明：（证法一）：
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，
又∵E 、F 是AB 、CD 的中点，
∴AE ＝12AB ，CF ＝12
CD ， ∴AE ＝CF ，AE ∥CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AF ＝CE ．
（证法二）：
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，
又∵E 、F 是AB 、CD 的中点，
∴BE ＝12AB ，DF ＝12
CD ， ∴BE ＝DF ，
∴△ADF ≌△CBE （SAS ），
∴AF ＝CE ．
【点睛】
本题考查了证明两条线段相等的方法，一般来说，可以证明这两条线段是一个平行四边形的一组对边，也可以证明这两条线段所在的三角形全等．注意根据题目的已知条件，选择合理的判断方法．
20．（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用网格即可得出符合∠ABC ＝∠ADC 的答案；
（2）利用三角形面积求法得出答案．
【详解】
（1）如图甲所示：∠ABC ＝∠ADC ；
（2）如图乙所示：△ADC 的面积等于△ABC 面积的2倍．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格分析是解题关键．
21．2+3
【解析】
【分析】
先计算零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值，再进行二次根式化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
解：原式=2﹣1﹣3
+23+1﹣
3
=2+3．
【点睛】
考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算.
22．（1）CD与⊙O相切．理由见解析；（2）①如图，AH为所作；见解析；②点A到CD所在直线的距离为6．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图，利用等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA＝30°，∠OCA＝∠OAC＝30°，则利用三角形内角和计算出∠OCD＝90°，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）①如图，利用基本作图，过点A作AH⊥CD于H即可；②在Rt△OCD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝8，则AD＝12，从而可求出AH的长．
【详解】
（1）CD与⊙O相切．
理由如下：连接OC，如图，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣3×30°＝90°，。