河南省豫南豫北2019届高三第二次联考联评文科数学试卷Word版含解析

河南省豫南豫北2019届高三第二次联考联
文科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（）
A. 真真真
B. 真真假
C. 假假真
D. 假假假
3. 函数与，这两个函数在区间上都是减函数的一个充分不必要条件是实数
（）
A. B. C. D.
4. 已知为边的两个三等分点，则（）
A. B. C. D.
5. 设的两根是，则（）
A. B. C. D.
6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
7. 函数.若该函数的两个零点为，则（）
A. B. C. D. 无法判定
8. 古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题知两鼠穿垣.今有垣厚5尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺（旧制长度单位，尺= 寸）的
墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进尺，以后每天的速度为前一天的倍；小鼠第一天也打进尺，以后每天的进度是前一天的一半.它们多久可以相遇？
A. 天
B. 天
C. 天
D. 天
9. 线段的黄金分割点定义：若点在线段上，且满足，则称点为线段的黄金分割点，在中，，若角的平分线交边于点，则点为边的黄金分割点，利用上述结论，可以求出（）
A. B. C. D.
10. 已知矩形.将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是（）
A. B. C. D. 与的大小无关
11. 已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
12. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 过点作圆的切线方程是__________．
14. 已知实数满足，则的取值范围为__________．
15. 下面结论中：①不等式成立的一个充分不必要条件是；
②对恒成立；
③若数列的通项公式，则数列中最小的项是第项；
④在锐角三角形中，；
其中正确的命题序号是__________．
16. 已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径为，则的周长的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是首项的等比数列，且是首项为的等差数列，. （1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 某老师对全班名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：
（1）请把表格数据补充完整；
（2）若从不参加社团活动的人按照分层抽样的方法选取人，再从所选出的人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一个学习积极性高的概率；
（3）运用独立性检验的思想方法分析：请你判断是否有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系？
附：
19. 如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，
且为正三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
20. 已知圆，定点，点为圆上的动点，点在直
线上，点在直线上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作斜率为的直线，与曲线交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得
，若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
21. 已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.
（1）若，求实数的值；
（2）用表示，并求实数的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）为曲线上任一点，过点作曲线的切线（为切点），求的最小值.
23. 选修4-5：不等式选讲
定义在上的函数，若，有，则称函数为定义在上的非严格单增函数；若，有，则称函数为定义在上的非严格单减函数.已知：.
（1）若函数为定义在上的非严格单增函数，求实数的取值范围.
（2）若函数为定义在上的非严格单减函数，试解不等式.
河南省豫南豫北2019届高三第二次联考联
文科数学试卷参考答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】=，=，所以
故选B
2. 若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（）
A. 真真真
B. 真真假
C. 假假真
D. 假假假
【答案】C
【解析】根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|-1|，而1与-1不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．
故选C
3. 函数与，这两个函数在区间上都是减函数的一个充分不必要条件是实数
（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵f（x）=-x2+2（a-1）x在区间[1，2]上是减函数，∴a-1≤1，即a≤2，在区间[1，2]上是减函数，∴a-1＞0，即a＞1，∴a的取值范围是（1，2]．故（1，2]一个充分不必要条件是实数
故选C
4. 已知为边的两个三等分点，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，
∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=，满足勾股定理可知∠BCA=90°
以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系
∵AC=1，BC=则C（0，0），A（1，0），B（0，）
又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，
则E（0，），F（0，）则
故选D
5. 设的两根是，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解得或或即，
所以
故选D
6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图可知：该几何体是以2为边长正方体从右下前方挖去个球，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为，故选A.
7. 函数.若该函数的两个零点为，则（）
A. B. C. D. 无法判定
【答案】C
【解析】由两个函数的图像可知交点的横坐标即为，因为的函数值横大于0，所以设函数与直线的交点的横坐标为，,，且
故选C
8. 古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题知两鼠穿垣.今有垣厚5尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺（旧制长度单位，尺= 寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进尺，以后每天的速度为前一天的倍；小鼠第一天也打进尺，以后每天的进度是前一天的一半.它们多久可以相遇？
A. 天
B. 天
C. 天
D. 天
【答案】A
【解析】由于前两天大鼠打1+2尺，小鼠打尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5．
第三天，大鼠打4尺，小鼠打尺，因此第三天相遇．
设第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5-y尺，
则，因为第三天大鼠速度是4尺，故第三天进行了天所以共进行天
故选A
9. 线段的黄金分割点定义：若点在线段上，且满足，则称点为线段的黄金分割点，在中，，若角的平分线交边于点，则点为边的黄金分割点，利用上述结论，可以求出（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设AB=2，利用黄金分割点的定义得在中，
故选B
10. 已知矩形.将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是（）
A. B. C. D. 与的大小无关
【答案】C
【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心为对角线AC的中点，AC=5，所以球的半径为，所以球的表面积为
故选C
11. 已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得M，设代入双曲线方程相减得
故选B
点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，已知弦AB的中点M坐标，可采用点差法，得出
是解决本题的关键.
12. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，设g（x）=x2f（x），
其导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2•f（x）=2xf（x）+x2•f（x）=x[2f（x）+xf'（x）]，
又由当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）<0成立，则数g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]<0，
则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，
若g（x）=x2f（x），且f（x）为偶函数，则g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x），
即g（x）为偶函数，所以即因为为偶函数，所以,所以
故选D
点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g
（x）并分析g（x）的单调性与奇偶性．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 过点作圆的切线方程是__________．
【答案】
【解析】因为点在圆上，所以切点为，切线斜率
所以由点斜式写方程得即
故答案为
14. 已知实数满足，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】可行域是由A围成的三角形及其内部，表示点与区域中的点
之间距离的平方，在点B处，取得最大值为9，最小值即为点到直线的距离的平方，
故的取值范围为
故答案为
15. 下面结论中：①不等式成立的一个充分不必要条件是；
②对恒成立；
③若数列的通项公式，则数列中最小的项是第项；
④在锐角三角形中，；
其中正确的命题序号是__________．
【答案】①②③
【解析】对于①不等式得所以不等式成立的一个充分不必要条件是；故①对；
对于②，在处的切线为,所以对恒成立；故②对；
对于③=令，在所以对于
=最小的项是第项；③对；
对于④锐角三角形中，又0<,所以故④错；
故答案为①②③
16. 已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径为，则的周长的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据正弦定理得
在锐角中，所以
...............
故答案为
点睛：本题考查了正弦定理解三角形，正弦型函数图像的性质，利用正弦定理把所求的边转化为角来解决是本题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是首项的等比数列，且是首项为的等差数列，. （1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由a5+b3=21，a3+b5=13求出数列{a n}的公比，数列{b n}的公差，从而求出数列的通项公式；（2）根据（1）中求得的结果代入
试题解析：
（1）设数列的公比为的公差为，则由已知条件得：，
解之得：。

（2）由（1）知
①
②
①-②得：
，
，
.
.
18. 某老师对全班名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：
（1）请把表格数据补充完整；
（2）若从不参加社团活动的人按照分层抽样的方法选取人，再从所选出的人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一个学习积极性高的概率；
（3）运用独立性检验的思想方法分析：请你判断是否有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系？
附：
【答案】（1）见解析；（2）；（3）有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系.
【解析】试题分析：（1）根据列联表给出的数据可以补全其它数据（2）人选人，其中学习积极性高的人记为，学习积极性一般的人，记为，从这人中任选两人，共有以下个等可能性基本事件：，
则至少有以为学习积极性高的事件有个，根据古典概型的概率计算即得解.
（3）根据列联表中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．
试题解析：
（1）
（2）人选人，其中学习积极性高的人记为，学习积极性一般的人，记为，从这人中任选两人，共有以下个等可能性基本事件：
，
则至少有以为学习积极性高的事件有个，所以至少有一位学习积极性高的概率.
（3）所以大约有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系.
19. 如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且为正三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）先证明平面在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；（2）因为BC=4，AB=20，利用等积转化，求出即可求三棱锥D-BCM的体积．
试题解析：
（1）为中点，为中点，，
为正三角形，且为中点，
得
又平面平面，
，又，
平面，又平面平面平面.
（2）
又
，
又.。

20. 已知圆，定点，点为圆上的动点，点在直线上，点在直线上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作斜率为的直线，与曲线交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得
，若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）点Q在NP上，点G在MP上，由已知有|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆的定义知G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由定义写出其标准方程即可得到点G的轨迹C的方程．（2）令A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2+y1y21，由直线l与曲线C联立求利用根与系数的关系求出x1x2，y1y2的参数表达式，代入求直线的斜率k的范围．
试题解析：
（1）为线段的中点且，
则为的中垂线，故，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中
点的轨迹的方程是
（2）设的方程为，
由得，
，
，
则，
解得.
故存在这样的直线，使得，此时其斜率的取值范围是.
21. 已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.
（1）若，求实数的值；
（2）用表示，并求实数的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值；（2）利用（1）类似的方法，利用a的表达式来表示b，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．
试题解析：
（1）设与在公共点处的切线相同
，
由题意知
，
由得，，或（舍去）
即有.
（2）设与在公共点处的切线相同
，
由题意知
，
由得，，或（舍去），
即有，
令，则，
于是当，即时，；
当，即时，，
故在的最大值为，故的最大值为.
点睛：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）为曲线上任一点，过点作曲线的切线（为切点），求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由已知，即，
由，两边同乘以得到，即即得解（2）由（1）知，曲线为圆心，半径为的圆，故，当且仅当取得最小值时，取得最小值，求得即可得.
试题解析：
（1）由已知，即，
由，，即，∴
.
（2）由（1）知，曲线为圆心，半径为的圆，故，当且仅当
取得最小值时，取得最小值，，所以，.
点睛：本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆相切求切线长的最小值可以根据勾股定理转到先求圆外的点与圆心距离的最小值即可得解.
23. 选修4-5：不等式选讲
定义在上的函数，若，有，则称函数为定义在上的非严格单增函数；若，有，则称函数为定义在上的非严格单减函数.已知：.
（1）若函数为定义在上的非严格单增函数，求实数的取值范围.
（2）若函数为定义在上的非严格单减函数，试解不等式.
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为：∅；当时，不等式的解集为：. 【解析】试题分析：（1）讨论与2的大小，去绝对值符号，把写成分段函数，根据题目定义即可得解（2）函数为定义在上的非严格单减函数，由（1）知，且.
所以，当时，不等式的解集为：∅；当时，不等式,即或
或解得x的范围即得解.
试题解析：
（1）当时，；
当时，；
当时，.
因为为定义在上的非严格单增函数，根据定义，可得：.
（2）函数为定义在上的非严格单减函数，由（1）知，且.
所以，当时，不等式的解集为：∅；
当时，不等式,即或或解得或即所以
的解集为：.
点睛：本题考查了新定义的应用，分类讨论思想去绝对值，解含绝对值不等式，注意在第二问中先求出
的值域，从而要解可以讨论的最大值与2的大小关系.。