北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》图形的相似PPT教学课件
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第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第1课时
教学目标
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
课前预习
(一)知识探究 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 相似比 ．
(二)预习反馈
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5，那么它们对
＝∠A.∴AA′DD′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴CC′DD′＝AA′CC′＝ k.
知识点 3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例3 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似 比．(请根据题意画出图形，写出已知、求证并证明)
【思路点拨】画出图形，写出已知，求证，根据相似三 角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据 角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，利用两组角对应相 等的两三角形相似说明△ ABD∽△A1B1D1.
求证：AA′DD′＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′. ∵AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高，∴∠ADB ＝∠A′D′B′＝90°， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴AA′DD′＝AA′BB′＝k.
【归纳总结】证明文字叙述题，首先要画出图形，写出 已知、求证， 然后分析证明思路，写出证明过程．
(2)若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求AAEC的值．
解：∵△EOD∽△BOC，∴SS△△ EBOODC＝OODC2. ∵S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，∴OODC＝32. 在△ ODC 与△ EAC 中，∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE， ∴△ODC∽△AEC， ∴OAED＝OACC，即OODC＝AAEC，∴AAEC＝23.
解：已知：如图，△ ABC∽△A1B1C1，顶点 A，B，C 分 别与 A1，B1，C1 对应，△ ABC 和△ A1B1C1 的相似比为 k， AD，A1D1 分别是△ ABC 和△ A1B1C1 的角平分线．
求证：AA1D，顶点 A，B，C 分别与 A1，B1， C1 对应，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1.∵AD，A1D1 分别是 △ ABC，△ A1B1C1 的角平分线，∴∠BAD＝12∠BAC，∠B1A1D1 ＝12∠B1A1C1，∴∠BAD＝∠B1A1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴AA1DD1 ＝AA1BB1＝k.
3. 如图，已知△ ABC∽△DEF，BG，EH 分别是△ ABC 和△ DEF 的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm.求 EH 的长．
解： ∵△ABC∽△DEF，∴EBHG＝BECF，即E4.H8 ＝64，解 得 EH＝3.2 cm.
4. 如图，△ ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是这两个三 角形的角平分线，EF，E′F′分别是这两个三角形的中位线， 则AA′DD′与EE′FF′相等吗？为什么？
【思路点拨】说明△ CBD∽△CAB，根据相似三角形的 周长比等于相似比列式计算．
解：∵CCDB＝CCAB＝32，且∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB， ∴CC△△ CCBADB＝CCBA＝23，即C△24CAB＝23，∴C△ CAB＝36 cm，即△ ABC 的周长为 36 cm.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，借助这 一性质可解决与三角形相似有关的周长计算问题．
3. 已知△ ABC∽△DEF，△ ABC 和△ DEF 的周长分别 为 20 cm 和 25 cm，且 BC＝5 cm，DF＝4 cm，求 EF 和 AC 的长．
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴EBFC＝2250， ∴EF＝54BC＝245(cm)，同理，DACF＝2205，∴AC＝45DF＝156(cm)．
课前预习
(一)知识探究 相似三角形的周长比等于 相相似似比比 ，面积比等于相似比 的 平平方方 ．
(二)预习反馈
1. 已知△ ABC∽△A′B′C′，如果它们的相似比为 2∶3，
那么它们的面积比是( C )
A. 3∶2 C. 4∶9
B. 2∶3 D. 9∶4
2. 如果两个相似三角形的相似比是 1∶2，那么它们的周
巩固训练
1. 若两个相似三角形的对应中线的比为 3∶4，则它们对
应角平分线的比是( D )
A. 1∶16
B. 16∶9
C. 4∶3
D. 3∶4
2. 如图，Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， D 是 AB 边的中点，P 是 BC 边上一动点(点 P 不与 B，C 重 合)，若以 D，C，P 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则线段 PC＝ 44或或245 ．
应中线的比是( C )
A. 2∶ 5 C. 4∶5
B. 2∶5 D. 16∶25
2. 已知△ ABC∽△EFG，BD 为∠ABC 的平分线，FH
为∠EFG 的平分线，且 BD∶FH＝9∶4，则△ ABC 与△ EFG
对应高的比为( C )
A. 3∶4 C. 9∶4
B. 9∶16 D. 3∶2
3. △ ABC∽△A1B1C1，其中点 A，B，C 分别与点 A1， B1，C1 对应，如果 AB∶A1B1＝2∶3，AC＝6，那么 A1C1＝ 9 .
课堂小结
两个相似的多边形的周长比等于相似比，面积比等于相 似比的平方.
知识点 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 例2 (教材 P110 例 2) 如图，将△ ABC 沿 BC 方向平移得 到△ DEF，△ ABC 与△ DEF 重叠部分(图中阴影部分)的面积 是△ ABC 的面积的一半．已知 BC＝2，求△ ABC 平移的距离．
【思路点拨】根据相似三角形的判定可知△ ABC 与阴影 部分为相似三角形，根据相似三角形的面积比等于相似比的 平方可得到 S△ GEC∶S△ ABC＝EC2∶BC2，从而可得△ ABC 平 移的距离．
解：已知：如图，△ ABC∽△A′B′C′，AA′BB′＝BB′CC′＝AA′CC′ ＝k，D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点．
求证：CC′DD′＝k.
证明：∵D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，∴AD＝21AB，A′D′＝12 1
A′B′，∴AA′DD′＝21A′B′＝AA′BB′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴AA′BB′＝AA′CC′，∠A′ 2AB
课堂小结
1. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中 线的比都等于相似比．已知一组量的对应比，可得到相应其 他各组量的对应比．
2. 相似三角形对应中位线的比也等于相似比．
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第2课时
教学目标
理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，并 会运用它解决相关问题．(重难点)
因此，EF 的长是245 cm，AC 的长是156 cm.
4. 已知：如图，在△ ABC 中，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，EC 和 BD 相交于点 O，连接 DE.
(1)求证：△ EOD∽△BOC；
解：证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEO＝∠CDO ＝90°，
又∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD. ∴OODE＝OOBC，即OOEB＝OODC. 又∠EOD＝∠BOC，∴△EOD∽△BOC.
巩固训练
1. 两个相似三角形的对应边上的高之比是 3∶5，周长之
和是 24，那么这两个三角形的周长分别为( B )
A. 10 和 14
B. 9 和 15
C. 8 和 16
D. 11 和 13
2. 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，BF 与 AC 交于点 G，则△ BGC 与四边形 CGFD 的面积之比是 44∶∶55 .
例题精讲 知识点 1 相似三角形对应高的比等于相似比
例1 求证：相似三角形对应高的比等于相似比．(请根据 题意画出图形，写出已知、求证，并证明)
【思路点拨】先根据题意画出图形，写出已知、求证， 再借助三角形相似加以证明．
解：已知：如图，△ ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高．
解： AA′DD′与EE′FF′相等． 理由如下：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AA′BB′＝BB′CC′. ∵EF，E′F′分别是这两个三角形的中位线， ∴EBFC＝BE′′CF′′＝12，
∴BB′CC′＝EE′FF′，∴AA′BB′＝EE′FF′. ∵AD，A′D′分别是这两个三角形的角平分线，∴AA′BB′＝ AA′DD′，∴AA′DD′＝EE′FF′.
知识点 2 相似三角形对应中线的比等于相似比 例2 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似 比．(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明 过程)
【思路点拨】画出图形，写出已知、求证，依据 D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，即可得到AA′DD′＝AA′BB′，根据 △ ABC∽△A′B′C′，即可得到AA′BB′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，进而 得出△ A′C′D′∽△ACD，可得CC′DD′＝AA′CC′＝k.
长比是( D )
A. 2∶1
B. 1∶4
C. 1∶ 2
D. 1∶2
3. 如果两个相似三角形的周长比为 2∶3，那么这两个相 似三角形的面积比为 4∶9 .
例题精讲 知识点 1 相似三角形的周长比等于相似比
例1 如图，在△ ABC 中，D 是 AC 上一点，CCDB＝CCAB＝32， △ BCD 的周长是 24 cm.求△ ABC 的周长．
解：根据题意，可知 EG∥AB.
∴∠GEC＝∠B，∠EGC＝∠A.
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴S△ S△
GABECC＝EBCC2＝EBCC22，即21＝E2C2 2，
∴EC2＝2.∴EC＝ 2，∴BE＝BC－EC＝2－ 2.
即△ ABC 平移的距离为 2－ 2.
【归纳总结】解决与相似三角形面积有关的问题，应注 意相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质的应用， 确定图形中的相似三角形是解题的关键．
4.7 相似三角形的性质
第1课时
教学目标
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
课前预习
(一)知识探究 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 相似比 ．
(二)预习反馈
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5，那么它们对
＝∠A.∴AA′DD′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴CC′DD′＝AA′CC′＝ k.
知识点 3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例3 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似 比．(请根据题意画出图形，写出已知、求证并证明)
【思路点拨】画出图形，写出已知，求证，根据相似三 角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据 角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，利用两组角对应相 等的两三角形相似说明△ ABD∽△A1B1D1.
求证：AA′DD′＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′. ∵AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高，∴∠ADB ＝∠A′D′B′＝90°， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴AA′DD′＝AA′BB′＝k.
【归纳总结】证明文字叙述题，首先要画出图形，写出 已知、求证， 然后分析证明思路，写出证明过程．
(2)若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求AAEC的值．
解：∵△EOD∽△BOC，∴SS△△ EBOODC＝OODC2. ∵S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，∴OODC＝32. 在△ ODC 与△ EAC 中，∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE， ∴△ODC∽△AEC， ∴OAED＝OACC，即OODC＝AAEC，∴AAEC＝23.
解：已知：如图，△ ABC∽△A1B1C1，顶点 A，B，C 分 别与 A1，B1，C1 对应，△ ABC 和△ A1B1C1 的相似比为 k， AD，A1D1 分别是△ ABC 和△ A1B1C1 的角平分线．
求证：AA1D，顶点 A，B，C 分别与 A1，B1， C1 对应，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1.∵AD，A1D1 分别是 △ ABC，△ A1B1C1 的角平分线，∴∠BAD＝12∠BAC，∠B1A1D1 ＝12∠B1A1C1，∴∠BAD＝∠B1A1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴AA1DD1 ＝AA1BB1＝k.
3. 如图，已知△ ABC∽△DEF，BG，EH 分别是△ ABC 和△ DEF 的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm.求 EH 的长．
解： ∵△ABC∽△DEF，∴EBHG＝BECF，即E4.H8 ＝64，解 得 EH＝3.2 cm.
4. 如图，△ ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是这两个三 角形的角平分线，EF，E′F′分别是这两个三角形的中位线， 则AA′DD′与EE′FF′相等吗？为什么？
【思路点拨】说明△ CBD∽△CAB，根据相似三角形的 周长比等于相似比列式计算．
解：∵CCDB＝CCAB＝32，且∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB， ∴CC△△ CCBADB＝CCBA＝23，即C△24CAB＝23，∴C△ CAB＝36 cm，即△ ABC 的周长为 36 cm.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，借助这 一性质可解决与三角形相似有关的周长计算问题．
3. 已知△ ABC∽△DEF，△ ABC 和△ DEF 的周长分别 为 20 cm 和 25 cm，且 BC＝5 cm，DF＝4 cm，求 EF 和 AC 的长．
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴EBFC＝2250， ∴EF＝54BC＝245(cm)，同理，DACF＝2205，∴AC＝45DF＝156(cm)．
课前预习
(一)知识探究 相似三角形的周长比等于 相相似似比比 ，面积比等于相似比 的 平平方方 ．
(二)预习反馈
1. 已知△ ABC∽△A′B′C′，如果它们的相似比为 2∶3，
那么它们的面积比是( C )
A. 3∶2 C. 4∶9
B. 2∶3 D. 9∶4
2. 如果两个相似三角形的相似比是 1∶2，那么它们的周
巩固训练
1. 若两个相似三角形的对应中线的比为 3∶4，则它们对
应角平分线的比是( D )
A. 1∶16
B. 16∶9
C. 4∶3
D. 3∶4
2. 如图，Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， D 是 AB 边的中点，P 是 BC 边上一动点(点 P 不与 B，C 重 合)，若以 D，C，P 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则线段 PC＝ 44或或245 ．
应中线的比是( C )
A. 2∶ 5 C. 4∶5
B. 2∶5 D. 16∶25
2. 已知△ ABC∽△EFG，BD 为∠ABC 的平分线，FH
为∠EFG 的平分线，且 BD∶FH＝9∶4，则△ ABC 与△ EFG
对应高的比为( C )
A. 3∶4 C. 9∶4
B. 9∶16 D. 3∶2
3. △ ABC∽△A1B1C1，其中点 A，B，C 分别与点 A1， B1，C1 对应，如果 AB∶A1B1＝2∶3，AC＝6，那么 A1C1＝ 9 .
课堂小结
两个相似的多边形的周长比等于相似比，面积比等于相 似比的平方.
知识点 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 例2 (教材 P110 例 2) 如图，将△ ABC 沿 BC 方向平移得 到△ DEF，△ ABC 与△ DEF 重叠部分(图中阴影部分)的面积 是△ ABC 的面积的一半．已知 BC＝2，求△ ABC 平移的距离．
【思路点拨】根据相似三角形的判定可知△ ABC 与阴影 部分为相似三角形，根据相似三角形的面积比等于相似比的 平方可得到 S△ GEC∶S△ ABC＝EC2∶BC2，从而可得△ ABC 平 移的距离．
解：已知：如图，△ ABC∽△A′B′C′，AA′BB′＝BB′CC′＝AA′CC′ ＝k，D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点．
求证：CC′DD′＝k.
证明：∵D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，∴AD＝21AB，A′D′＝12 1
A′B′，∴AA′DD′＝21A′B′＝AA′BB′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴AA′BB′＝AA′CC′，∠A′ 2AB
课堂小结
1. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中 线的比都等于相似比．已知一组量的对应比，可得到相应其 他各组量的对应比．
2. 相似三角形对应中位线的比也等于相似比．
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第2课时
教学目标
理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，并 会运用它解决相关问题．(重难点)
因此，EF 的长是245 cm，AC 的长是156 cm.
4. 已知：如图，在△ ABC 中，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，EC 和 BD 相交于点 O，连接 DE.
(1)求证：△ EOD∽△BOC；
解：证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEO＝∠CDO ＝90°，
又∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD. ∴OODE＝OOBC，即OOEB＝OODC. 又∠EOD＝∠BOC，∴△EOD∽△BOC.
巩固训练
1. 两个相似三角形的对应边上的高之比是 3∶5，周长之
和是 24，那么这两个三角形的周长分别为( B )
A. 10 和 14
B. 9 和 15
C. 8 和 16
D. 11 和 13
2. 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，BF 与 AC 交于点 G，则△ BGC 与四边形 CGFD 的面积之比是 44∶∶55 .
例题精讲 知识点 1 相似三角形对应高的比等于相似比
例1 求证：相似三角形对应高的比等于相似比．(请根据 题意画出图形，写出已知、求证，并证明)
【思路点拨】先根据题意画出图形，写出已知、求证， 再借助三角形相似加以证明．
解：已知：如图，△ ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高．
解： AA′DD′与EE′FF′相等． 理由如下：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AA′BB′＝BB′CC′. ∵EF，E′F′分别是这两个三角形的中位线， ∴EBFC＝BE′′CF′′＝12，
∴BB′CC′＝EE′FF′，∴AA′BB′＝EE′FF′. ∵AD，A′D′分别是这两个三角形的角平分线，∴AA′BB′＝ AA′DD′，∴AA′DD′＝EE′FF′.
知识点 2 相似三角形对应中线的比等于相似比 例2 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似 比．(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明 过程)
【思路点拨】画出图形，写出已知、求证，依据 D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，即可得到AA′DD′＝AA′BB′，根据 △ ABC∽△A′B′C′，即可得到AA′BB′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，进而 得出△ A′C′D′∽△ACD，可得CC′DD′＝AA′CC′＝k.
长比是( D )
A. 2∶1
B. 1∶4
C. 1∶ 2
D. 1∶2
3. 如果两个相似三角形的周长比为 2∶3，那么这两个相 似三角形的面积比为 4∶9 .
例题精讲 知识点 1 相似三角形的周长比等于相似比
例1 如图，在△ ABC 中，D 是 AC 上一点，CCDB＝CCAB＝32， △ BCD 的周长是 24 cm.求△ ABC 的周长．
解：根据题意，可知 EG∥AB.
∴∠GEC＝∠B，∠EGC＝∠A.
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴S△ S△
GABECC＝EBCC2＝EBCC22，即21＝E2C2 2，
∴EC2＝2.∴EC＝ 2，∴BE＝BC－EC＝2－ 2.
即△ ABC 平移的距离为 2－ 2.
【归纳总结】解决与相似三角形面积有关的问题，应注 意相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质的应用， 确定图形中的相似三角形是解题的关键．