匀变速直线运动的速度与位移的关系

匀变速直线运动的速度与位移的关系
【学习目标】
1、会推导公式22
02t v v ax -=
2、掌握公式2202t v v ax -=，并能灵活应用
【要点梳理】
要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系
根据匀变速运动的基本公式 0t v v a t =+，
2
012
x v t
a t =+， 消去时间t ，得22
02t v v ax -=．
即为匀变速直线运动的速度—位移关系．
要点诠释：
①式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用． ②公式中四个矢量t v 、0v 、a 、x 也要规定统一的正方向. 要点二、匀变速直线运动的四个基本公式
(1)速度随时间变化规律：0t v v at =+． (2)位移随时间变化规律：2
012
x v t at =+
． (3)速度与位移的关系：22
02t v v ax -=．
(4)平均速度公式：02t x v v +=
，0
2
t
v v x t +=． 要点诠释：
运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选取正方向．公式(1)中不涉及x ，公式(2)中不涉及t v ，公式(3)中不涉及t ，公式(4)中不涉及a ，抓住各公式特点，灵活选取公式求解．共涉及五个量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量． 要点三、匀变速直线运动的三个推论 要点诠释：
(1)在连续相邻的相等的时间(T )内的位移之差为一恒定值，即△x ＝aT 2(又称匀变速直线运动的判别式)．
推证：设物体以初速v 0、加速度a 做匀加速直线运动，自计时起时间T 内的位移 2
1012
x v T aT =+
． ① 在第2个时间T 内的位移
220
112(2)2x v T a T x =+- 203
2
v T aT =+． ②
即△x ＝aT 2．
①122222n n n n x x x x x a T T T ++--∆=
==32
3n n
x x T +-==… ②x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝x n -x n -1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 即02
2
t
t v v v v +==
． 推证：由v t ＝v 0+at ， ① 知经
2t
时间的瞬时速度 02
2
t t
v v a =+． ② 由①得0t at v v =-，代入②中，得
00/20001
()2222
t t t t v v v v v v v v v +=+-=+-=，
即02
2
t
t v v v +=
． (3)某段位移内中间位置的瞬时速度2
x v 与这段位移的初、末速度v 0与v t 的关系为
22
02
1()2
x t v v v =
+． 推证：由速度－位移公式22
02t v v ax -=， ①
知22
02
22
x x
v v a
-=． ② 将①代入②可得22
2
200
22t x v v v v --=，即22
02
1()2x t v v v =+．
要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式
要点诠释：
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助．
设以t ＝0开始计时，以T 为时间单位，则
(1)1T 末、2T 末、3T 末、…瞬时速度之比为v 1:v 2:v 3:…＝1:2:3:…． 可由v t ＝at ，直接导出
(2)第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…，第n 个T 内的位移之比为：x 1:x 2:x 3:x n ＝1:3:5:…:(2n -1)．
推证：由位移公式212x at =
得211
2
x aT =， 222
2113(2)222
x a T a T a T =-=， 2211
(3)(2)x a T a T =-25aT =．
可见，x 1 : x 2 : x 3 : … : x n ＝1 : 3 : 5 : … : (2n -1)．
即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比．
(3)1T 内、2T 内、3T 内、…、位移之比为：222123123x x x =：：：…：：：…， 可由公式2
12
x at =
直接导出． (4)通过连续相同的位移所用时间之比 1231(
21)(32)(1)
n t t t t n n =----::::::::． 推证：由2
12
x at =
知12x
t a
=， 通过第二段相同位移所用时间 22222(21)x
x x
t a a a
⨯=
-=-， 同理：33222x x
t a a
⨯⨯=
-
， 2(32)x
a
=
-， 则1231(21)(32)(1)n t t t t n n ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅--::::::-::．
要点五、纸带问题的分析方法
(1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x 1、x 2、x 3…． ①若x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝1n n x x --＝0，则物体做匀速直线运动． ②若x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝1n n x x --＝△x ≠0，则物体做匀变速直线运动．
(2)“逐差法”求加速度，根据x 4-x 1＝x 5-x 2＝x 6-x 3＝3aT 2(T 为相邻两计数点的时间间隔)，有 41
123x x a T -=
，52223x x a T -=，6332
3x x a T
-=， 然后取平均值，即
123
3
a a a a ++=
654321
2
()()9x x x x x x T ++-++=． 这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性．
要点诠释：①如果不用“逐差法”求，而用相邻的x 值之差计算加速度，再求平均值可得：
32546521222215x x x x x x x x a T T T T ----⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
6125x x T -=．
比较可知，逐差法将纸带上x 1到x 6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x 1和x 6两个实验数
据，实验结果只受x 1和x 6两个数据影响，算出a 的偶然误差较大．
大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T )2而不是3T 2．
(3)瞬间速度的求法
在匀变速直线运动中，物体在某段时间t 内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻2
t
时的瞬时速度相同，即2
t v v =．所以，第n 个计数点的瞬时速度为：1
2n n n x x v T
++=
． (4)“图象法”求加速度，即由1
2n n n x x v T
-+=，求出多个点的速度，画出v -t 图象，直线的斜率即为加速度．
【典型例题】
类型一、公式2202t
v v ax -=的应用 例1、一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l ，当火车头经过某路标时的速度为v 1，而车尾经过这个路标时的速度为v 2，求： (1)列车的加速度a ；
(2)列车中点经过此路标时的速度v ； (3)整列火车通过此路标所用的时间t ．
【答案】（1）22212v v a l -= （2） 2212
2
v v v += （3）122l t v v =+
【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v 1，前进位移l ，速度变为v 2，所求的v 是经过
2
l
处的速度．其运动简图如图所示．
(1)由匀变速直线运动的规律得2221
2v v al -=，则火车的加速度为22
212v v a l
-=．
(2)火车的前一半通过此路标时，有22
122
l v v a -=， 火车的后一半通过此路标时，有2
2
222
l v v a
-=， 所以有2
222
12
v v v v -=-，故22
12
2
v v v +=．
(3)火车的平均速度122v v v +=
，故所用时间12
2l l
t v v v ==+． 【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用2
2
02t v v ax -=可大大简化解题过程．
【变式1】在风平浪静的海面上，有一战斗机要去执行一项紧急飞行任务，而航空母舰的弹射系统出了故障，无法在短时间内修复．已知飞机在跑道上加速时，可能产生的最大加速度为5m/s 2，起飞速度为50m/s ，跑道长为100 m ．经过计算发现在这些条件下飞机根本无法安全起飞．航空母舰不得不在海面上沿起飞方向运动，从而使飞机获得初速度，达到安全起飞的目的，那么航空母舰行驶的速度至少为多大? 【答案】18.4m /s
【解析】若飞机从静止起飞，经过跑道100 m 后，速度为v ． 由v 2＝2ax ．知25100m/s 1010m/s 50m/s v =⨯⨯=<． 故航空母舰要沿起飞方向运动．
取航空母舰为参考系，21010m/s 31.6m/s t v ax ===， 故航空母舰行驶的速度至少为(5031.6)m/s 18.4m/s v '=-=．
【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第5页】
【变式2】某飞机着陆时的速度是216km/h ，随后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s 2。

机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？ 【答案】900m
类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用
例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m 和64 m ，每一个时间间隔为4s ，求质点的初速度和加速度． 【答案】a ＝2.5m/s 2，v A ＝1 m/s
【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同． 解法一：(基本公式法)
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：
2
112A x v t
a t =+． ()221(2
)(2)2A A x v t a t v t =+-+． 将x 1＝24m 、x 2＝64m 、t ＝4s 代入上式解得：a ＝2.5m/s 2，v A ＝1 m/s ．
解法二：(用平均速度公式)
连续的两段时间t 内的平均速度分别为：
1124m /s 6m /s 4x v t ===，2264m /s 16m /s 4
x v t ===． B 点是AC 段的中间时刻，则12A B
v v v +=，22
B C v v v +=，
12616
m /s 11m /s 222
A C
B v v v v v +++=
===． 得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s ， 22211
m /s 2.5m /s 224
C A v v a t --=
==⨯． 解法三：(用△x ＝aT 2法) 由△x ＝aT 2，得22
2240m /s 2.5m /s 4
x a T ∆=
-=．
再由2
112
A x v t at =+
，解得1m/s A v =． 【总结升华】(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力． (2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优 先考虑用判别式△x ＝aT 2求解，这种解法往往更简捷． 举一反三
【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第13页】
【变式1】例题、跳伞运动员做低空跳伞表演，他从224m 的高空离开飞机开始下落，最初未打开降落伞，
自由下落一段距离打开降落伞,运动员以12.5m/s 2
的加速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员
落地的速度不得超过5m/s （g=10m/s 2
）．求：运动员打开降落伞时，离地面的高度至少为多少？ 【答案】99m
【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第15页】
【变式2】火车以速度v 1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v 2（相对于地面，且v 1>v 2）做匀速运动，司机立即以加速度a 紧急刹车，要使两车不相撞，a 应满足什么条件?
【答案】2
12()2v v a s
-≥
类型三、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
例3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第5s 末的速度是6 m/s ，试求：(1)第4s 末的速度；(2)运动后7s 内的位移；(3)第5s 内的位移． 【答案】（1）4.8m /s （2）29.4m （3） 5.4m
【解析】物体的初速度v 0＝0，且加速度恒定，可用推论求解． (1)因为v 0＝0，所以t v at =，即t v t ∝， 故v 4:v 5＝4:5．
第4s 末的速度4544
6m /s 4.8m /s 55
v v =
=⨯=． (2)因为v 0＝0，v 5＝6m/s ，则加速度225060
m /s 1.2m /s 5
v a t --===， 所以7s 内的位移22
7711 1.27m 29.4m 22
x at ==⨯⨯=．
(3)由22
541122x at at ∆=-
11
1.225m 1.216m 22=⨯⨯-⨯⨯ 5.4m =．
第5秒内的位移是5.4m ． 举一反三
【变式1】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s 内的位移为x 1，最后3s 内的位移为x 2，已知x 2-x 1＝6m ；x 1:x 2＝3:7，求斜面的总长． 【答案】 12.5m
【解析】由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s ． 由题意知
13
7
x x =，x 2-x 1＝6m ，解得x 1＝4.5m ，x 2＝10.5m ．
由于连续相等时间内位移的比为1:3:5:…:(2n -1)， 故x n ＝(2n -1)x 1，可知10.5＝4.5(2n -1)，解得53
n =
． 又因为21x n x =总，所以斜面总长：2
5 4.5m 12.5m 3x ⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
总．
【总结升华】切忌认为物体沿斜面运动了6s ，本题中前3s 的后一段时间与后3 s 的前一段时间是重合的． 类型四、纸带问题的处理
例4、在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50 Hz ．如图所示为小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点之间都有四个点未画出．按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个点，用刻度尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离如图所示．
(1)小车做什么运动?
(2)若小车做匀变速直线运动，那么当打第3个计数点时小车的速度为多少?小车的加速度为多少?
【答案】(1) 小车做匀减速直线运动 (2) 50.4cm /s 2
1.502m /s -
【解析】(1)T ＝0.02s ，相邻计数点的时间间隔t ＝5T ＝0.1s ，设相邻计数点间的位移分别为x 1、x 2、x 3、
x 4、x 5，可得：x 1＝8.78cm ，x 2＝7.30cm ，x 3＝5.79cm ，x 4＝4.29cm ，x 5＝2.78cm ，x 2-x 1＝-1.48 cm ，x 3-x 2＝-1.51cm ，x 4-x 3＝-1.50cm ，x 5-x 4＝-1.51cm ，在误差允许范围内，x 2-x 1＝x 3-x 2＝x 4-x 3＝x 5-x 4，所以小车做匀减速直线运动． (2)343 5.79 4.29
cm /s 50.4cm /s 220.1
x x v T ++=
==⨯． 加速度2
22542122
(2.78 4.297.308.78)10m /s 1.502m /s 660.1
x x x x a T -+--+--⨯==-⨯≈， 负号表示加速度方向与初速度方向相反．
【总结升华】用逐差法求加速度，碰到奇数个位移，如本题中只有x 1至x 3五个位移，就去掉中间的一个位移而求解． 举一反三
【变式】某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了在不同拉力下的A 、B 、C 、D 、…等几种较为理想的纸带，并在纸带上每5个点取一个计数点，即相邻两计数点问的时间间隔为0.1s ，将每条纸带上的计数点都记为0、1、2、3、4、5、…，如图所示甲、乙、丙三段纸带，分别是从三条不同纸带上撕下的．
(1)在甲、乙、丙三段纸带中，属于纸带A 的是________． (2)打A 纸带时，物体的加速度大小是________m/s 2． 【答案】(1)丙 (2)3.11
【解析】(1)由匀变速直线运动规律可知：
所以△x ＝x 2-x 1＝6.11cm -3.00cm ＝3.11cm ． x 5＝x 1+4△x ＝3.00cm+4×3.11cm ＝15.44cm ， 所以纸带丙的数据最接近，应和A 是同一条纸带．
(2)2
2222
3.1110m /s 3.11m /s 0.1
x a T -∆⨯===． 【巩固练习】
一、选择题：
1．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在t 内通过位移x ，则它从出发开始通过
4
x
所用的时间为（ ） A ．
4t B ．2t C ．16t D ．22
t 2．做匀减速直线运动的物体经4s 后停止，若在第1s 内的位移是14m ，则最后1s 的位移是（ ）
A ．3.5m
B ．2m
C ．1m
D ．0
3．小球由静止开始运动，在第1s 内通过的位移为1m ，在第2s 内通过的位移为2 m ，在第3s 内通过的位移为3m ，在第4s 内通过的位移为4m ，下列描述正确的是（ ）
A ．小球在这4s 内的平均速度是2.5m/s
B ．小球在3s 末的瞬时速度是3m/s
C ．小球在前3s 内的平均速度是3m/s
D ．小球在做匀加速直线运动
4．一物体做加速度为a 的匀变速直线运动，初速度为v 0．经过一段时间后，物体的速度为2v 0．在这段时间内，物体通过的路程是 ( )
A ．202v a
B ．2032v a
C ．20
v a
D ．202v a
5．一汽车以20m/s 的速度在平直路面匀速行驶．由于前方出现危险情况，汽车必须紧急刹车．刹车时汽
车加速度的大小为10m/s 2．刹车后汽车滑行的距离是 ( ) A ．40m B ．20m C ．10m D ．5m
二、填空题：
1．由静止开始运动的物体，3s 与5s 末速度之比为________，前3s 与5s 内位移之比为________，第3s 内与第5s 内位移之比为________．
2．做匀减速直线运动到静止的质点，在最后三个连续相等的运动时间内通过的位移之比是________，在最后三个连续相等的位移内所用的时间之比是________．
3．如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时问间隔为T ＝0.10s ，其中x 1＝7.05cm 、x 2＝7.68cm 、x 3＝8.33cm 、x 4＝8.95cm 、x 5＝9.61cm 、x 6＝10.26cm ，则A 点处瞬间速度大小是________m/s ，小车运动的加速度计算表达式为________，加速度的大小是________m/s 2．(计算结果保留两位有效数字)
三、计算题：
1．在滑雪场，小明从85m长的滑道上滑下．小明滑行的初速度为0，末速度为5.0m/s．如果将小明在滑道上的运动看成匀变速直线运动，求他下滑过程加速度的大小．
2．一辆汽车正在以15m/s的速度行驶，在前方20m处突然亮起红灯，司机立即刹车，刹车过程中汽车的加速度的大小是6.0m/s2．问：汽车是否会因闯红灯而违章?
3．物体以10m/s的初速度冲上一足够长的斜坡，当它再次返回坡底时速度大小为6.0m/s．设上行和下滑阶段物体均做匀变速运动，则上行和下滑阶段，物体运动的时间之比是多大?加速度之比是多大?
4．一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m/s，试求
(1)第4s末的速度；
(2)运动后7s内的位移；
(3)第3s内的位移．
【巩固练习】 一、选择题：
5、甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v -t 图象如图所示．两图象在t ＝t 1时相交于P 点，P 在横轴上的投影为Q ，△OPQ 的面积为S ．在t ＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d ．已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t ′，则下面四组t ′和d 的组合可能是( )
A ．1t t '=，d S =
B ．112t t '=
，14
d S = C ．112t t '=，12d S = D ．112t t '=，3
4
d S =
二、填空题：
1、由静止开始运动的物体，3s 与5s 末速度之比为________，前3s 与5s 内位移之比为________，第3s 内与第5s 内位移之比为________．
2、做匀减速直线运动到静止的质点，在最后三个连续相等的运动时间内通过的位移之比是________，在最后三个连续相等的位移内所用的时间之比是________．
三、计算题：
2、已知O 、A 、B 、C 为同一直线上的四点．AB 间的距离为1l ，BC 间的距离为2l ，一物体自O 点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A 、B 、C 三点，已知物体通过AB 段与BC 段所用的时间相等．求O 与A 的距离．
4、甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记．在某次练习中，甲在接力区前x 0＝13.5m 处作了标记，并以v ＝9m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L ＝20m ．求：
(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a ；
(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离．。