高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用课件理201805212192
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高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用课件理
第十二页，共69页。
2．教材衍化 (1)(必修 A4 P108T3)已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的 夹角为 135°，则|b|为( ) A．12 B．6 C．3 3 D．3 解析 a·b＝－12 2＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选 B.
第十三页，共69页。
第4章 平面(píngmiàn)向量
4．3 平面(píngmiàn)向量的数量积及其应 用
第一页，共69页。
第二页，共69页。
基础知识过关(guò〃 guān)
第三页，共69页。
[知识梳理] 1．两个向量的夹角
第四页，共69页。
2．平面向量的数量积
第五页，共69页。
3．平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e) 的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.
典例 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，
E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得
DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A．－58
1 B.8
1 C.4
11 D. 8
本题可采用向量坐标法．
第十八页，共69页。
解析 建立平面直角坐标系，如图．
则 B－12，0，C12，0，
A0，
23，
第十九页，共69页。
所以B→C＝(1,0)．
易知 DE＝12AC，则 EF＝14AC＝14，
因为∠FEC＝60°，
所以点 F 的坐标为18，－ 83，
所以A→F＝18，－5
8
3，
所以A→F·B→C＝18，－583·(1,0)＝18.故选 B.
2．教材衍化 (1)(必修 A4 P108T3)已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的 夹角为 135°，则|b|为( ) A．12 B．6 C．3 3 D．3 解析 a·b＝－12 2＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选 B.
第十三页，共69页。
第4章 平面(píngmiàn)向量
4．3 平面(píngmiàn)向量的数量积及其应 用
第一页，共69页。
第二页，共69页。
基础知识过关(guò〃 guān)
第三页，共69页。
[知识梳理] 1．两个向量的夹角
第四页，共69页。
2．平面向量的数量积
第五页，共69页。
3．平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e) 的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.
典例 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，
E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得
DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A．－58
1 B.8
1 C.4
11 D. 8
本题可采用向量坐标法．
第十八页，共69页。
解析 建立平面直角坐标系，如图．
则 B－12，0，C12，0，
A0，
23，
第十九页，共69页。
所以B→C＝(1,0)．
易知 DE＝12AC，则 EF＝14AC＝14，
因为∠FEC＝60°，
所以点 F 的坐标为18，－ 83，
所以A→F＝18，－5
8
3，
所以A→F·B→C＝18，－583·(1,0)＝18.故选 B.
高考一轮第四章 第三节 平面向量的数量积及向量应用ppt
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|a|2 (3)a· a＝ ，|a|＝ a· a.
(4)cos〈a，b〉＝ (5)|a· b|
≤
a· b |a||b| .
|a||b|.
3．数量积的运算律： (1)交换律：a· b· . b＝ a
c (2)分配律：(a＋b)· a· c＝ c＋b· . b a· (3)对λ∈R，λ(a· b)＝ (λa)· ＝ (λb) ．
(
)
解析：|a· b|＝|a|· |b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a· b| ＝|a||b|，可知B是错误的． 答案：B
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2．(2011· 辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)， a· (2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12
C．6
B．－6
D．12
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a· (2a－b)＝0，得(2,1)· (5,2－k)＝0 ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案： D
即18＋3x＝30，解得：x＝4. [答案] C
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[例2]
π (2011· 江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向
量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝________. b
[自主解答] b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝(e1－2e2)· 1＋ b (3e
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第三 节
平面 向量 的数 量积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
及向
量的 应用
提 能 力
返回
[备考方向要明了] 考 什 么
高考数学一轮总复习 4.3平面向量数量积及平面向量应用举例课件
2．平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影_|_b_|c_o_s_θ___ 的乘积．
知识点二
平面向量数量积的性质及运算律
1.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝ a·a＝ x12＋y21. (3)夹角：cosθ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy2＋12·yx1y22＋2 y22.
理教材 夯基础 厚积薄发
知识点一
知识梳理 平面向量数量积的概念
1．平面向量的数量积
若两个__非__零___向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 _|a_|_|b_|c_o_s_θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作_a__·b_＝__|_a_||_b_|c_o_s_θ_.
规定：零向量与任一向量的数量积为___0____. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是___a_·b_＝__0___，两个非零 向量a与b平行的充要条件是___a_·_b_＝__±_|a_|_|b_|_____.
答案 (1)× (2)× (3)×
4．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b| ＝( )
A. 5 C．2 5
B. 10 D．10
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0， 即x－2＝0，∴x＝2. ∴a＝(2,1)， ∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝ a＋b2 ＝ a2＋2a·b＋b2＝ 5＋5＝ 10.
高频考点
考点一
平面向量数量积的运算
【例1】 (1)(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已
高考数学(理)一轮复习课件：4-3平面向量的数量积及向量的应用(人教A版)
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b 在a的方向上的投影|b|cosθθ 的乘积．
(4)数量积的性质： ①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝ |a|cosθ ； ②当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝ －|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝ a2；
＝6×(－23)＝－4，故选A.
2. [2011·福建]若向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，则 a·b等于________．
答案：1 解析：由向量的数量积等于对应坐标之积的和， 可得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.
3. [2011·江西]已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－
[变式探究1] [2012·山东聊城外国语学校一模]平
面上有四个互异的点A、B、C、D，满足( A→B － B→C )·( A→D
－C→D)＝0，则三角形ABC是( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
答案：B
解析：由(A→B－B→C)·(A→D－C→D)＝0得(A→B－B→C)·(A→D＋ D→C )＝0，即(A→B－B→C)·A→C＝0，(A→B－ B→C)·( A→B＋B→C)＝ 0，即A→B2－B→C2＝0，所以|A→B|＝|B→C|，故为等腰三角形.
则cosθ＝|aa|··b|b|＝12，又0≤θ≤π，故θ＝π3 .
[答案]
π 3
[规律总结] 当a、b是非坐标形式时，求a与b的夹角， 需求出a·b和|a|、|b|或直接得出它们之间的关系．若a、b是坐
标形式，则可直接利用公式cosθ＝ x21＋x1xy212·＋y1xy222＋y22.
高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理
A．(－15,12)
B．0
C．－3
D．－11
解析：∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.
答案：C
第十九页，共42页。
3．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，|b|＝ 10，则 a·b＝________. 解析：因为 a＝(－2，－6)， 所以|a|＝ －22＋－62＝2 10， 又|b|＝ 10，向量 a 与 b 的夹角为 60°， 所以 a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2 10× 10×12＝10. 答案：10
投影 叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上 意义 的投影___|b_|c_o_s_θ____的乘积
第七页，共42页。
3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a . (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ a·(λb) ． (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
第二十三页，共42页。
角度一 平面向量的模
[多 维 视 角]
(2017 年全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则 |a＋2b|＝________.
【解析】 ∵a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×21＝1， ∴|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 4＋4＋4＝2 3.
1
考情分析
第三页，共42页。
考点分布
1.平面向量 数量积的 概念与运 算、夹角 与模
考纲要求
考点频 率
命题趋势
1.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的 含义及其物理意义．
高考数学一轮总复习 第四章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积课件 理
2012年新课标卷考查平面向 量的数量积及其运算法则；
2013年新课标卷Ⅰ考查向量 的数量积等运算；
2014年新课标卷Ⅰ考查向量 的运算；
2015年新课标卷Ⅰ考查向量 的运算
从近几年的高考试题来看， 向量的数量积运算、向量 的垂直等问题是高考的热 点，既有选择题、填空题， 又有解答题，属中低档题 目，常与平面几何、三角、 解析几何等知识交汇命题， 主要考查运算能力及数形 结合思想．预计2017年高 考仍将以向量的数量积运 算、向量的垂直为主要考 点，以与三角、解析几何 等知识交汇命题为考向
答案：A
(3)(2013 年大纲)已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若
(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(
)
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋
n)⊥(m－n)，可得 (m＋n)·(m－n)＝ (2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝
B．－53
C．53
D．32
解析：由已知得 c＝(1,2)＋k(1,1)＝(k＋1，k＋2)，因为 b⊥
3 c，则b·c＝0.因此k＋1＋k＋2＝0.解得k＝－ 2 .故选A.
答案：A
【互动探究】
1．(2015 年重庆)已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，且 a⊥ (2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( C )
A．π3
B．2π
C．23π
D．56π
解析：由已知可得 a·(2a＋b)＝0⇒2a2＋a·b＝0.设 a 与 b 的 夹角为 θ，则有 2|a|2＋|a|·|b|cosθ＝0⇒cosθ＝－24||aa||22＝－12.又因为
2
2013年新课标卷Ⅰ考查向量 的数量积等运算；
2014年新课标卷Ⅰ考查向量 的运算；
2015年新课标卷Ⅰ考查向量 的运算
从近几年的高考试题来看， 向量的数量积运算、向量 的垂直等问题是高考的热 点，既有选择题、填空题， 又有解答题，属中低档题 目，常与平面几何、三角、 解析几何等知识交汇命题， 主要考查运算能力及数形 结合思想．预计2017年高 考仍将以向量的数量积运 算、向量的垂直为主要考 点，以与三角、解析几何 等知识交汇命题为考向
答案：A
(3)(2013 年大纲)已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若
(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(
)
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋
n)⊥(m－n)，可得 (m＋n)·(m－n)＝ (2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝
B．－53
C．53
D．32
解析：由已知得 c＝(1,2)＋k(1,1)＝(k＋1，k＋2)，因为 b⊥
3 c，则b·c＝0.因此k＋1＋k＋2＝0.解得k＝－ 2 .故选A.
答案：A
【互动探究】
1．(2015 年重庆)已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，且 a⊥ (2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( C )
A．π3
B．2π
C．23π
D．56π
解析：由已知可得 a·(2a＋b)＝0⇒2a2＋a·b＝0.设 a 与 b 的 夹角为 θ，则有 2|a|2＋|a|·|b|cosθ＝0⇒cosθ＝－24||aa||22＝－12.又因为
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北京市2018届高三数学文一轮复习 4.3 平面向量的数量积及其应用课件 精品
2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘 积． 3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ ；;.
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0 ； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b| ； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b| ，a·a＝a2，|a|＝ a·a ；
(2)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1, 且以向量α，β为 邻边的平行四边形的面积为1，则α与β的夹角θ的取值范围是
2 ________．
【解析】 (1)∵a，b 的夹角为 45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|×|b|cos 45°＝ 22|b|，
|2a－b|2＝4－4× 2|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2. 2
【失误与防范】
平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的 是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的 夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现.而近几年平 面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题 中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向.
【失误与防范】
满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于( C )
A.20
B. 15
C.9
D.6
解析 A→M＝A→B＋3A→D， 4
N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B，
∴A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)
＝ 1 (16A→B2－9A→D2)＝ 1 (16×62－9×42)＝9，故选 C.
(2)以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝1， 2
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ ；;.
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0 ； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b| ； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b| ，a·a＝a2，|a|＝ a·a ；
(2)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1, 且以向量α，β为 邻边的平行四边形的面积为1，则α与β的夹角θ的取值范围是
2 ________．
【解析】 (1)∵a，b 的夹角为 45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|×|b|cos 45°＝ 22|b|，
|2a－b|2＝4－4× 2|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2. 2
【失误与防范】
平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的 是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的 夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现.而近几年平 面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题 中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向.
【失误与防范】
满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于( C )
A.20
B. 15
C.9
D.6
解析 A→M＝A→B＋3A→D， 4
N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B，
∴A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)
＝ 1 (16A→B2－9A→D2)＝ 1 (16×62－9×42)＝9，故选 C.
(2)以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝1， 2
高考数学理一轮总复习教师课件4.3平面向量的数量积及平面向量的应用
解析：选D.由a＝(1，－1)，b＝(2，x)，可得a· b＝
2－x＝1，故x＝1.
2．(教材习题改编)已知 |a|＝3，|b|＝2，若 a· b＝－ 3，则 a 与 b 的夹角为( π A. 3 2π C. 3 ) π B. 4 3π D. 4
－3 a· b 1 解析：选 C.cos〈 a，b〉＝ ＝ ＝－ . 2 |a||b| 3×2 2π ∴〈a， b〉＝ . 3
|a|cosθ (1)e· a＝ a· e＝ _____________.
|a||b| (2)当 a 与 b 同向时， a· b＝ _________ ；当 a 与 b 反向
2 | a | － | a || b | 时，a· b＝ ___________.特别地，有 a· a＝________或 |a|
a· a ＝ __________.
a· b＝0 (3)a⊥b⇔____________ . a· b |a||b| (4)cos θ＝ _________.
(5)|a· b|≤ |a||b|.
4．数量积的运算律
(1)a· b＝b· a； λ(a· b) ＝a· (2)(λa)· b＝_______ (λb)； a· c＋b· c (3)(a＋b)· c＝____________.
提示：不正确．求两向量的夹角时，两向量起点应 相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.
2．数量积的概念
(1) 定义：已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 θ ，则 |a||b|· cosθ 叫做 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记作 a· ____________ b ，即 |a||b|· cosθ ； a· b＝____________ (2)几何意义：数量积 a· b等于 a 的长度与b 在 a方向上的投
高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用习题课件理
O 为坐标原点，若A→O·A→B＝32，则实数 m＝( )
A．±1
B．±
3 2
C．±
2 2
D．±12
第十三页，共35页。
y＝x＋m， 解析 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立x2＋y2＝1， 消 去 y 得 2x2＋2mx＋m2－1＝0，由 Δ＝4m2－8(m2－1)>0，得 － 2<m< 2，又 xAxB＝m22－1，xA＋xB＝－m，所以 yAyB＝(xA ＋m)(xB＋m)＝m22－1，由A→O·A→B＝A→O·(O→B－O→A)＝－O→A·O→B ＋O→A2＝－xAxB－yAyB＋1＝－m2＋2＝32，解得 m＝± 22.故选 C.
第三十页，共35页。
解 (1)∵m＝n＝23，A→B＝(1,2)，A→C＝(2,1)， ∴O→P＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， ∴|O→P|＝ 22＋22＝2 2. (2)∵O→P＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)， ∴xy＝＝m2m＋＋2nn，，
第三十一页，共35页。
两式相减，得 m－n＝y－x. 令 y－x＝t，由图知，当直线 y＝x＋t 过点 B(2,3)时，t 取得最大值 1，故 m－n 的最大值为 1.
第三十二页，共35页。
16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 向量 m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且 m·n ＝－35.
第十页，共35页。
6．(2017·龙岩一模)已知向量O→A与O→B的夹角为 60°，且
|O→A|＝3，|O→B|＝2，若O→C＝mO→A＋nO→B，且O→C⊥A→B，则实
数mn 的值为( )
1 A.6
最新2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第4章-第3节-平面向量的数量积与平面向量应用举例
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高三一轮总复习
平面向量数量积的运算
(1)(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分
别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为
A．－58
1 B.8
1
11
C.4
D. 8
()
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则D→E·C→B的值为
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝ a·a
|a|＝ x21＋y21
数量积 夹角 a⊥b
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
cos θ＝|aa|·|bb|
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y12· x22＋y22
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x12＋y21· x22＋y22
所以∠ABC＝30°.故选 A.]
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高三一轮总复习
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B.0
C.1
D.2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
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高三一轮总复习 又B→C＝A→C－A→B， 则A→F·B→C＝12A→B＋34A→C·(A→C－A→B) ＝12A→B·A→C－12A→B2＋34A→C2－34A→C·A→B ＝34A→C2－12A→B2－14A→C·A→B. 又|A→B|＝|A→C|＝1，∠BAC＝60°， 故A→F·B→C＝34－12－14×1×1×12＝18.故选 B.
2018届高三数学文一轮复习课件：4-3 平面向量的数量积与平面向量应用举例 精品
∵a·b 与 b·c 都是实数，故(a·b)·c 是与 c 共线的向量，a·(b·c)是与 a 共线的
向量，
∴(a·b)·c 不一定与 a·(b·c)相等。故③命题不正确。
∵(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2。故④命题不正确。
答案：C
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结 果是向量。( √ )
解析：正确。由数量积与向量线性运算的意义可知，正确。
(4)若 a·b＜0，则向量 a，b 的夹角为钝角。(×)
解析：错误。当 a·b＝－|a||b|时，a 与 b 的夹角为 π。
2．下列四个命题中真命题的个数为( )
→→ 3．在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则AB·AC＝( )
A．－32
B．－23
2 C.3
3 D.2
解析：在△ABC 中， cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝92＋×43－×120＝14， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos∠BAC＝3×2×14＝32。 答案：D
角度三：平面向量的垂直
→→
→
→
→→
【典例 4】已知向量AB与AC的夹角为 120°，且|AB|＝3，|AC|＝2。若AP＝λAB
→ →→ ＋AC，且AP⊥BC，则实数 λ 的值为__________。
→ → →→ 解析：∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0。
→ →→
→ → → → →→ → →
∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－
【微练 2】(1)已知平面向量 a，b，|a|＝1，|b|＝ 3，且|2a＋b|＝ 7，则向
高考数学(理)一轮复习精选课件：第4章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
∴|2α＋β|＝ 10. 答案：Байду номын сангаас10
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会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选 择题、填空题，难度适中，属中档题．
【命题角度】
高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)两向量垂直的应用； (3)已知数量积求模； (4)知模求模．
3
高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题
闯关二：典题针对讲解——已知数量积求模
[例 2] (2013·天津高考)在平行四边形 ABCD 中， AD＝1，
∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若 AC · BE ＝1, 则 AB 的
长为________．
解析: 由题意可知， AC ＝ AB ＋ AD ， BE ＝－1 AB ＋ AD . 2
高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题 闯关二：典题针对讲解——求两向量的夹角
[例 1] (2013·安徽高考)若非零向量 a，b 满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
则 a 与 b 夹角的余弦值为________．
【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得 |a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b， 所以 a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|， 所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－3|b|b|2|2＝－13. 【答案】－1
|2a＋b|＝3 2，|a－b|＝3.
设所求两向量夹角为α，
则 cos α＝ 3
29×3＝
2，又α∈[0，π]，故α＝π.
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会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选 择题、填空题，难度适中，属中档题．
【命题角度】
高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)两向量垂直的应用； (3)已知数量积求模； (4)知模求模．
3
高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题
闯关二：典题针对讲解——已知数量积求模
[例 2] (2013·天津高考)在平行四边形 ABCD 中， AD＝1，
∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若 AC · BE ＝1, 则 AB 的
长为________．
解析: 由题意可知， AC ＝ AB ＋ AD ， BE ＝－1 AB ＋ AD . 2
高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题 闯关二：典题针对讲解——求两向量的夹角
[例 1] (2013·安徽高考)若非零向量 a，b 满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
则 a 与 b 夹角的余弦值为________．
【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得 |a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b， 所以 a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|， 所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－3|b|b|2|2＝－13. 【答案】－1
|2a＋b|＝3 2，|a－b|＝3.
设所求两向量夹角为α，
则 cos α＝ 3
29×3＝
2，又α∈[0，π]，故α＝π.
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第4章 平面向量
4．3 平面向量的数量积及其应用
基础知识过关
[知识梳理] 1．两个向量的夹角
2．平面向量的数量积
3．平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e) 的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b⇔ a·b＝0 . (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a .
2．教材衍化 (1)(必修 A4 P108T3)已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的 夹角为 135°，则|b|为( ) A．12 B．6 C．3 3 D．3
解析 a·b＝－12 2＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选 B.
(2)(必修 A4 P104 例 1)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为___－__2___．
(3)在实数运算中，若 a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，若 a·b ＝b·c(b≠0)，则 a＝c.但对于向量 a，b 却有|a·b|≤|a|·|b|；若 a·b＝b·c(b≠0)，则 a＝c 不一定成立．例如 a·b＝|a||b|cosθ， 当 cosθ＝0 时，a 与 c 不一定相等．
由此得到 (1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 或|a|＝
x2＋y2 .
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|
＝|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12
.
(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
cos∠ABC＝|BB→→AA|·|BB→→CC|＝ 23，所以∠ABC＝30°.故
(2)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋ 2b|＝__2___3___.
解析 由题意知 a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×12＝1，则|a ＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.
本题可采用向量坐标法．
解析 建立平面直角坐标系，如图．
则 B－12，0，C12，0，
A0，
23，
所以B→C＝(1,0)．
易知 DE＝12AC，则 EF＝14AC＝14，
因为∠FEC＝60°，
所以点 F 的坐标为18，－ 83，
所以A→F＝18，－5
又如下图，向量 a 和 c 在 b 的方向上的投影相等，故 a·b ＝b·c，但 a≠c.
(4)两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. (5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． (6)a·b 中的“·”不能省略．
[诊断自测] 1．概念辨析 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不 是向量．( √ ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数 乘运算的结果是向量．( √ ) (3)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，A→B ·B→C ＝|A→B |·|B→C |cosB.( × )
(4)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cosθ＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22.
特别提醒：(1)a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投 影不是一个概念，要加以区别．
(2)对于两个非零向量 a 与 b，由于当 θ＝0°时，a·b>0， 所以 a·b>0 是两个向量 a，b 夹角为锐角的必要而不充分条 件；a·b＝0 也不能推出 a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可 能 a⊥b.
解析 由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为 |b|cosθ＝4×cos120°＝－2.
3．小题热身
(1)(2017·包
头
质
检
)
已
知
向
量
B→A
＝
12，
3
2
，
B→C
＝
23，12，则∠ABC＝(
)
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析 选 A.
又
b>0，解得
3 b>
52－3，
∴3 52－3<b≤2，
∵cosB＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ca2c－ac，
所以|a＋2b|＝2 3.
经典题型冲关
题型 1 平面向量数量积的运算 角度 1 求数量积
典例 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，
E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得
DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A．－58
1 B.8
1 C.4
11 D. 8
5
B.3
52－1，2
D．(2,9－3 5)
本题采用转化思想、向量法、余弦定理．
解析 由题意可得 a＋b＋c＝6，且 b2＝ac，
∴b＝ ac≤a＋2 c＝6－2 b，从而 0<b≤2.
再由|a－c|<b，得(a－c)2<b2，(a＋c)2－4ac<b2，
∴(6－b)2－4b2<b2，得 b2＋3b－9>0.
(4)cosθ＝|aa|·|bb|. (5)|a·b|≤ |a||b| . 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝ b·a ； (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (λ 为实数)； (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2 ，
8
3，
所以A→F·B→C＝18，－583·(1,0)＝18.故选 B.
角度 2 6，a，b，c 分别为角 A，B，
C 的对边，且 a，b，c 成等比数列，则B→A·B→C的取值范围为
()
A．[2,18)
C.2，27－29
4．3 平面向量的数量积及其应用
基础知识过关
[知识梳理] 1．两个向量的夹角
2．平面向量的数量积
3．平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e) 的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b⇔ a·b＝0 . (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a .
2．教材衍化 (1)(必修 A4 P108T3)已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的 夹角为 135°，则|b|为( ) A．12 B．6 C．3 3 D．3
解析 a·b＝－12 2＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选 B.
(2)(必修 A4 P104 例 1)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为___－__2___．
(3)在实数运算中，若 a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，若 a·b ＝b·c(b≠0)，则 a＝c.但对于向量 a，b 却有|a·b|≤|a|·|b|；若 a·b＝b·c(b≠0)，则 a＝c 不一定成立．例如 a·b＝|a||b|cosθ， 当 cosθ＝0 时，a 与 c 不一定相等．
由此得到 (1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 或|a|＝
x2＋y2 .
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|
＝|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12
.
(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
cos∠ABC＝|BB→→AA|·|BB→→CC|＝ 23，所以∠ABC＝30°.故
(2)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋ 2b|＝__2___3___.
解析 由题意知 a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×12＝1，则|a ＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.
本题可采用向量坐标法．
解析 建立平面直角坐标系，如图．
则 B－12，0，C12，0，
A0，
23，
所以B→C＝(1,0)．
易知 DE＝12AC，则 EF＝14AC＝14，
因为∠FEC＝60°，
所以点 F 的坐标为18，－ 83，
所以A→F＝18，－5
又如下图，向量 a 和 c 在 b 的方向上的投影相等，故 a·b ＝b·c，但 a≠c.
(4)两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. (5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． (6)a·b 中的“·”不能省略．
[诊断自测] 1．概念辨析 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不 是向量．( √ ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数 乘运算的结果是向量．( √ ) (3)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，A→B ·B→C ＝|A→B |·|B→C |cosB.( × )
(4)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cosθ＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22.
特别提醒：(1)a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投 影不是一个概念，要加以区别．
(2)对于两个非零向量 a 与 b，由于当 θ＝0°时，a·b>0， 所以 a·b>0 是两个向量 a，b 夹角为锐角的必要而不充分条 件；a·b＝0 也不能推出 a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可 能 a⊥b.
解析 由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为 |b|cosθ＝4×cos120°＝－2.
3．小题热身
(1)(2017·包
头
质
检
)
已
知
向
量
B→A
＝
12，
3
2
，
B→C
＝
23，12，则∠ABC＝(
)
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析 选 A.
又
b>0，解得
3 b>
52－3，
∴3 52－3<b≤2，
∵cosB＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ca2c－ac，
所以|a＋2b|＝2 3.
经典题型冲关
题型 1 平面向量数量积的运算 角度 1 求数量积
典例 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，
E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得
DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A．－58
1 B.8
1 C.4
11 D. 8
5
B.3
52－1，2
D．(2,9－3 5)
本题采用转化思想、向量法、余弦定理．
解析 由题意可得 a＋b＋c＝6，且 b2＝ac，
∴b＝ ac≤a＋2 c＝6－2 b，从而 0<b≤2.
再由|a－c|<b，得(a－c)2<b2，(a＋c)2－4ac<b2，
∴(6－b)2－4b2<b2，得 b2＋3b－9>0.
(4)cosθ＝|aa|·|bb|. (5)|a·b|≤ |a||b| . 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝ b·a ； (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (λ 为实数)； (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2 ，
8
3，
所以A→F·B→C＝18，－583·(1,0)＝18.故选 B.
角度 2 6，a，b，c 分别为角 A，B，
C 的对边，且 a，b，c 成等比数列，则B→A·B→C的取值范围为
()
A．[2,18)
C.2，27－29