圆的方程教案

圆的方程 共5 课时
李旺
一、本单元（片）重要知识点及其内涵： 知识点1 圆的方程 (一)理解要点
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． (二)注意事项
1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．
2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d 与圆半径r 的关系．d<r 时，点在圆内；d ＝r 时，点在圆上；d>r 时，点在圆外． (三)应用形式
考查圆的方程的形式及应用；利用待定系数法求圆的方程． 知识点2 直线、圆的位置关系 (一)理解要点
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想． (二)注意事项
1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．
2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手． (三)应用形式
1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程． 二、本单元（片）重要问题和解决方法归纳 题型1 求圆的方程
解决方法：(1)求圆心和半径，确定圆的标准方程．(2)设圆的一般方程，利用待定系数法求解．求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解． 例1、 根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．
题型2 与圆有关的最值问题
解决方法：根据代数式的几何意义，借助图形求最值与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如μ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最
值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a)2＋(y －b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
例2、已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2
－4x ＋1＝0.
(1)求y x
的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值．
题型3 与圆有关的轨迹问题
解决方法：结合图形寻求点P 和点M 坐标的关系，用相关点法(代入法)解决． 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
例3、设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2
＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
题型4 直线与圆的位置关系
解决方法：直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．
(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法．
例1、已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2
＝12.
(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．
题型5 圆与圆的位置关系
解决方法：(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用圆心距与两圆半径的关系求解．
例2、 a 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2
－3
＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切． 三、本单元（片）课时及其教学内容规划。