高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示(五)学案 新人教A版选修21

高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示（五）学案 新人教A 版选修
21
学习目标：掌握空间向量坐标运算的规律；掌握空间向量的长度、夹角、中点坐标等公式；会用这些公式解决有关问题。

一、主要知识：
1、空间向量的坐标运算：若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则
（1）a b += ；（2）a b -= ；（3）a λ= ；
（4）a b ⋅= ；（5）//a b ⇔ ；
（6）a b ⊥⇔ ；（7）a = ；
（8）cos ,a b = 。

2、空间向量的坐标及两点间的距离公式：若()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则
（1）AB = ；（2）AB d AB == ；（3）线段AB 的中点坐标为： 。

二、典例分析：
〖例1〗：（1）已知(2,3,5)a =-，(3,1,4)b =--，求23a b -，||a ， ()()
232a b a b +⋅-，cos ,a b 。

（2）(1,5,1)a =-，(2,3,5)b =-，若()()//3ka b a b +-，则k = ；若()()3ka b a b +⊥-，则k = ；
〖例2〗：已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的长度和中点坐标；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件。

〖例3〗：已知在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD 的中点，G 在棱CD 上，且14
CG CD =，H 为1C G 的中点。

（1）求EF 与1C G 所成角的余弦值；（2）求FH 的长。

〖例4〗：在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证1D F ⊥平面ADE 。

三、课后作业：
1、已知()()2,1,3,1,2,9a x b y ==-，如果a 与b 共线，则（ ）
A 、1,1x y ==
B 、11,22x y =
=- C 、13,62
x y ==- D 、13,62x y =-= 2、已知()()()1,2,11,6,1,4,4,2,3A B C --，则ABC ∆是（ ） A 、锐角三角形
B 、等腰三角形
C 、直角三角形
D 、钝角三角形
3、若()()3cos ,3sin ,1,2cos ,2sin ,1A B ααθθ，则AB 的取值范围是（ ）
A 、[]0,5
B 、[]1,5
C 、()1,5
D 、()0,5
4、已知()()1,0,0,0,1,1A B -，OA OB λ+与OB 的夹角为120，则λ的值为（ ）
A 、±
B
C 、
D 、
5、已知()()()1,2,11,4,2,3,6,1,4A B C --，则ABC ∆的面积为（ ）
A 、
2 B 、 C 、 D 、 6、已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=，则b a -的最小值为（ ）
A B C D 、115
7、已知()()1,1,0,1,1,1a b ==，若b m n =+，且//m a ，n a ⊥，则m = ，n = 。

8、若()(),2,2,2,3,5a x b ==-的夹角为钝角，则实数x 的取值范围为 。

9、已知()322,0,4a b -=-，()2,1,2c =-，2a c ⋅=，4b =，则cos ,b c = 。

10、已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，且1,90CA CB BCA ==∠=，棱12AA =，,M N 分别是111,A B A A 的中点，（1）求BN 的长；（2）求11cos ,BA CB 的值；（3）求证：11A B C M ⊥。