上海市晋元中学2019-2020学年度高二数学第一学期期末考试(详解版)

晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试
高二年级数学试卷 2020.01
一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为
3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为
4. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为
5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件
6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h
＝ cm ．
7．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程
为 ．
8．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．
9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
10. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .
11. 一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .
12. 已知1b >，直线2
(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于
二．选择题（本大题共4小题，共12分）
13．下面四个命题中正确的是（ ）
A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件
B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件
C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件
14．下列选项中不正确的是（）
A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1
B．如果方程Ax+By+C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0
C．Ax+Bx+C＝0和2Ax+2Bx+C+1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1
D．（x﹣y+5）+k（4x﹣5y﹣1）＝0表示经过直线x﹣y+5＝0与4x﹣5y﹣1＝0的交点的所有直线
15．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）
（1）AC⊥BD（2）AC∥截面PQMN
（3）AC＝BD（4）异面直线PM与BD所成的角为45°
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段
B 1C1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A．B．C．D．
三．解答题（本大题共5小题，共52分）
17.（本题满分8分）
已知直线l1：mx+3y+3＝0，直线l2：x+（m﹣2）y+2＝0，求当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：（1）平行；（2）垂直．
18. （本题满分8分）
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．
19. （本题满分10分）
已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，
OA与母线所成角为30°，
（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．
20. （本题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；
（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．
21.（本题满分14分）
已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数
f（x）的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；
（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．
晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试
高二年级数学试卷 2020.01
一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 【答案】平行或异面 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为
【答案】36π
3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为
，则该正四棱锥的体积为
【答案】 5. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为
【答案】36π
5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件
【答案】充要
6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h
＝ cm ．
【答案】6
7．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．
【答案】x +1＝0或x ﹣+4＝0
8．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．
【答案】
9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【答案】16
10. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .
【答案】22
11.一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .
12.已知1b >，直线2
(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于
【答案】222+
二．选择题（本大题共4小题，共12分）
13．下面四个命题中正确的是（ ）
A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件
B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件
C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件
D ．“直线a 平行于平面β内的一条直线”是“直线a ∥平面β”的必要非充分条件
【答案】D
14．下列选项中不正确的是（ ）
A ．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1
B ．如果方程Ax +By +
C ＝0表示的直线是y 轴，那么系数A ，B ，C 满足A ≠0，B ＝C ＝0
C ．Ax +Bx +C ＝0和2Ax +2Bx +C +1＝0表示两条平行直线的等价条件是A 2+B 2≠0且C ≠1
D ．（x ﹣y +5）+k （4x ﹣5y ﹣1）＝0表示经过直线x ﹣y +5＝0与4x ﹣5y ﹣1＝0的交点的所有直线
【答案】D
15．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）
（1）AC ⊥BD （2）AC ∥截面PQMN
（3）AC ＝BD （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45°
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1
上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
三．解答题（本大题共5小题，共52分）
17.（本题满分8分）
已知直线l 1：mx +3y +3＝0，直线l 2：x +（m ﹣2）y +2＝0，求当m 为何值时，直线l 1与l 2分别有如下 位置关系：（1）平行；（2）垂直．
【解析】（1）由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证可得：m＝3或﹣1都满足两条直线平行．∴m＝3或﹣1．
（2）由m+3（m﹣2）＝0，解得m＝．∴m＝时两条直线相互垂直．
18. （本题满分8分）
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．
【答案】（1）A（﹣1，0），C（5，﹣6）；（2）x﹣y+1＝0．
【解析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线
的交点，
由得，故A（﹣1，0）．
由k AC＝﹣k AB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），
BC所在直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），
由，得C（5，﹣6）．
（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，
所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）＝0，即x﹣y+1＝0．
19. （本题满分10分）
已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，
（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为30°，AP＝r，所以：，
（2）∵，∴∴V C﹣OEF＝V O﹣CEF，
∴，∴
20. （本题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；
（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．
【答案】（1）arccos；（2）arccos；（3）arccos．
【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
A′（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
＝（0，1，﹣2），＝（2，﹣1，2），
设异面直线A′F与CE所成的角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|
＝＝＝．
∴异面直线A′F与CE所成的角的大小为arccos．
（2）＝（0，1，﹣2），A（2，0，0），B（2，2，0），D′（0，0，2），
＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC′D′的法向量＝（x1，y1，z1），
则，取x1＝1，得＝（1，0，1），
设直线A′F与平面ABC′D′所成的角为α，
则sinα＝|cos＜，＞|＝＝＝，
∴直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小为arcsin．
（3）A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0），
＝（2，﹣1，2），＝（﹣2，2，0），＝（2，﹣1，0），
设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣），
设平面CEF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，2，0），
设二面角A﹣CE﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．
∴二面角A﹣CE﹣F的大小为arccos．
21.（本题满分14分）
已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数
f（x）的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；
（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）a n＝2n+2；（2）b n＝12n﹣6；（3）p＝2，q＝12.
【解析】（1）∵点P n（n，S n）都在函数f（x）＝x2+3x的图象上，∴．
当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，，
当n＝1时，也满足．故a n＝2n+2．
（2）∵A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，
∴A＝{x|x＝2n+2，n∈N*}，B＝{x|x＝4n+2，n∈N*}∴A∩B＝B，
又∵b n∈A∩B，∴b n∈B即数列{b n}的公差是4 的倍数
又A∩B中的最小数为6，∴b1＝6，∴b8＝4k+6，k∈N*，又∵88＜b8＜93
∴，解得k＝21．
等差数列{b n}的公差为d，由b8＝6+7d＝90得d＝12，故b n＝12n﹣6
（3）∵，∴
若c1，c p，c q成等比数列，则，即．
可得，所以﹣2p2+4p+1＞0，从而
又p∈N*，∴p＝2，此时q＝12．故当且仅当p＝2，q＝12，使得c1，c p，c q成等比数列．。