惠州市2023届高三第一次模拟考试数学参考答案与评分细则

1
，于是
t，
䁠
䁠，且
，
䁠，< , 䁠> 1엤t
䁠엤
䁠엤
엤
엤 䁠엤 엤
䁠 ，䁠
，故 D 正确．故选 ．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.
；
엤
14. 엤 엤 ；
15.
（答案一般形式
xn
n 2
6
nN*
）；
16.
2
r a
7
13.【解析】设公差为 ， h
엤，
，故
h
ො엤
．故答案为： ．
sin엤
cos엤 ，
所以 ੶ sin엤 cos엤 1，即 ੶ 1，所以 ੶ 엤 엤
엤 1 엤 ੶엤
．选 B． ，故选 ．
6.【解析】由图 4 可知，“心形”关于 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除 ， ；
又“心形”函数的最大值为 1，而 选项中 1 时，
h 1엤
1，排除 ．故选 ．
7.【解析】由已知得总项数 项，则 ੶ ，展开式的通项 1
在ො上的投影长为
ො
h，则
在ො上的投影向量为
2
r a
．
7
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分，其中第一小问 6 分，第二小问 4 分）
【解析】（1）当 ੶ 1 时， 1 ො1 엤ො1 엤 ͷ，解得ො1 ， ............................1 分 当 ੶ 엤 时， ੶ 1 엤ො੶ 1 엤 ੶ 1 ͷ，............................................................2 分 可得 ੶ ੶ 1 엤ො੶ 엤੶ ͷ 엤ො੶ 1 엤 ੶ 1 ͷ ， 整理得：ො੶ 엤ො੶ 1 엤， ...........................................................................................3 分 从而ො੶ 엤 엤 ො੶ 1 엤 ੶ 엤 ， ..........................................................................4 分 又ො1 엤 1，所以数列 ො੶ 엤 是首项为 1，公比为 엤 的等比数列； ..................5 分 【注：无首项公比对数列下定义，则不得此分；若无下定义，用累乘法也可得此分】
엤 엤ො
1 엤ො
1
엤
1 h
1，故
엤
C
错误，
对于 ， ͷ
ො
ͷ 엤

엤h
엤

1，故 D 正确，故选： ．
11.【解析】数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得 엤，
故 A 错误 由图知∠ 为钝角知 C 错误，故选： ．
12.【解析】对于 ，连接 1 ， 1 ，可证得 1 ȀȀ ，
1四点共面，
取 n 1 ，得 x1

3
；取 n 2 ，得 x2
5 6
，……(答案不唯一)．
16.【解析】由
1h，得
1h，设
t 、 t ，由
，
得点 的轨迹是以 、 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支(不含右顶点)，
因为 是
的角平分线，且
t， 为
的内心，
设 t t ，由内切圆的性质得，
t
t 엤ො，得 t ො ，
8 ，则其元素个数为 ，故选 ．
3.【解析】因为 8 1ͷ％ 1 엤，所以该数学成绩的 1ͷ％分位数为第 2 个数据 t，选 ．
4.【解析】由图 엤 知无水部分体积与有水部分体积比为 1:2，所以图 1 中高度比为 1:2，得
5.【解析】因为 ො੶
cos sin
，所以sin
cos
cos ，即
sin
੶
又可证得 1 ȀȀ 1 ，所以 1 ȀȀ平面 ，故 A 错误；
H
对于 ，三棱锥 1
的外接球半径
1 엤1
1 h엤 h엤 h 엤 엤 ͷ，
엤
三棱锥 1
的外接球的表面积为 h 엤 8t ，故 B 正确；
对于 ，
1
⺁
1
1 8,
1 1
8 엤t 엤8
엤
ͷ，故
ͷ
C
正确；
对于 ，设二面角 1
的平面角为 ，则 ＝∠ 1 ，所以 ො੶
题号
9
10
11
12
全部正确答案
AC
ABD
BD
BCD
数学试题答案
第 1页，共 8页
9.【解析】对于 ，由于 ～
h
1 h
，则
对于 ， 쳌䁠 엤 ，
⺁h
故 B 错误，
h t 엤ͷ 1，故 正确； t h t ͷ t 1h，故 엤
⺁ h t 1h，
对于 ， 1 엤
1t的方差是 3，则 1 엤 엤 엤
엤 1t 엤 的方差不变，故 正确；
对于
B，由
g
xg
x
1 ，即
g
x
g
1
x
，
g
x 随
g x 的增大而减小，若
g
x
max
g
4
4 ，则
g x min
g
4
1 4
成立，故
B
正确；
对于
C，由
g x 在 0, 上单调递增，所以
g x
g
1
x
，在
x 0,
上单调递减，设 t
x ,0
，
g t 在 t , 0 上单调递增，即 g x 在 x , 0 上单调递增，故 C 错误；
엤
1
当 是偶数时该项为有理项， =0,2,4,6 从中任取 2 项，则都是有理项的概率为
엤
엤，
엤 h
엤
엤．选 ．
8.【解析】对于 A，由函数 g x 是“类奇函数”，所以 g x g x 1 ，且 g x 0 ，所以当 x 0 时，
g 0 g 0 1 ，即 g 0 1，故 A 正确；
엤
엤
14.【解析】因为弦 将圆分成两段弧长之差最大，此时 垂直 ，
由圆半径为 엤，
엤，由勾股定理得
엤 h 엤 엤 엤．
15.【解析】由
엤
엤
，
엤
，故 엤 엤，
sin 엤
，
令엤
π ∈ ，即
엤
∈，
੶
੶ 엤
(੶ 1 엤 )，
数学试题答案
第 엤页，共 8页
【答案的一般形式】
xn
n 2
6
(੶
1엤
)，对 n 取特殊值即可，
惠州市 2023 届高三第一次模拟考试
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
B
B
D
C
A
C
1.【解析】两复数相乘为实数，则复数 1 2i ， 复数 的虚部为 엤．故选 ．
2.【解析】由엤 h 엤 1엤8 엤 ͷ1엤 엤1t 1t엤h 得
对于 ， 回归方程必过样本中心点，则 엤 8 t ⺁ ⺁，解得 ⺁ h，故 D 错误，
10.【解析】
， ො 엤，
log ，ො log 엤，则 a b 1
对于 ，
ො
엤
log엤
log엤엤 1，故 A 正确，
对于 ， ො
log
log 엤 log
1，且 ො t，
t，
ො
⺁
ො h
엤
1，故
h
B
正确，
对于 ， ො엤 엤 ො
对于 D，由 g x g x 1 ， h x h x 1，所以 G x G x g x g x h x h x 1 ，所以函数
G x g x h x 也是“类奇函数”， 所以 D 正确；故选 C．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。