求二次函数解析式的三种方法

求二次函数解析式的三种基本方法
四川 倪先德
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2
+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩
⎪⎨⎧-===432c b a
∴这个二次函数的解析式为y=2x 2
+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2
－1 (a ≠0)
又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

∴a(0－4)2
－1=3 ∴a=4
1 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。

例3、如图，已知两点A （－8，0），（2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C 。

求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式。

分析：A 、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，
其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x －2)
又连结AC 、BC ，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：
OC 2=AC·BC=8×2 ∴OC=4
即C(0,4)。

∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=41-
∴这个二次函数的解析式为y=41-
(x+8)(x －2)，即y=41-x 2－23x+4。

变式练习，创新发现
1、在图的方格纸上有A 、B 、C 三点（每个小方格的边长为1个单位长度）． （l ）在给出的直角坐标系中分别写出点A 、B 、C 的坐标；
（2）根据你得出的A 、B 、C 三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数 的解析式．
2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y 轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A （－2，0）、B （1，0）、C （0，2）三点。

求这条抛物线的解析式。

） 参考答案：
1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。

（2）y=
21x 2－4x+9。

2、y=(x －2)2+1，即y=x 2－4x+5。

3、y=－(x+2)(x －1)，即y=－x 2－x+2。