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常微分方程试题库试卷
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-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
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常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题（30%）
1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'
()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是
_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）
1、
3
()0ydx x y dy -+=
２、sin cos2x x t t ''+=-
３、若
2114A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt
４、32(
)480
dy dy
xy y dx dx -+= ５、求方程2
dy
x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解
三、证明题（１０％）
１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案
一填空题
１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M N
y x
y M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()
dy
p x y Q x y R x dx =++ y y z =+
３、 ()()n dy
p x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dx
n u x y y e --⎰=
４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠
５、
111
10n n n
n n n
n d y d dy
x a a a y dx dx dx ---++++=
６、()()t t C ψφ=
７、零 稳定中心
二计算题
１、解：因为
1,1M N
y x
∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子
2
2ln 2
1
()dy
y y y e e y μ--⎰===，两边同乘2
1y 得320dx x y dy y y +-=
所以解为 32
1x x y y dx dy c y y y
⎡
⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2
2x y c y +=即
2
2()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程2
10λ+=故特征根i λ=±
1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原
方程A=-1
2B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解
cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =
B=0
所以原方程的解为1211
cos sin cos cos223x c t c t t t t
=+-+
３、解：
22
1
()690
1
4p λλλλλ--=
=-+=-解得1,2
3λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
111123322120()()(3)()!i
t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤
=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!i
n t i
i t
e A E i λλ-=-∑得
[]33310111exp (3)01111t
t
t t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭
４、解：方程可化为3
2
84dy y dx x dy y
dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有
3284p y x yp +=（*） （*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dp
y p y p y p y p
dy -+-=
即
32(4)(2)0dp p y y
p dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即
2
()p y c =将y 代入（*）22
24c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c p
x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩p 为参数
又由3240p y -=得123
(4)p y =代入（*）得：
3
427y x =也是方程的解 ５、解：
002
100225
200410725118
3000
2()4220()4400202204400160x
x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+=
=++=+
=++++=+++
⎰⎰⎰ 三、 证明题
由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：
10200''1020011
1
10200()1,()0,
,()0()0,()1,
,()0
()0,()0,
,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========
考虑
102001
0010[(),(),
,()]10
1
n w x t x t x t =
=≠
从而()(1,2,)i x t i n =是线性无关的。

常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为
x.y 的连续函数。

2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

是常数。

引入变量变换-------≠1.0
3、如果存在常数使得不等式,0 L _____________对于所有
称为利普希兹常数。

都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上
关于y 满足利普希兹条件。

4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。

,,21a a
5、设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ_____________-。

二、 计算题40%
1、求方程的通解。

26xy x y
dx dy -=
2、求方程xy
e x y
dx dy =+的通解。

3、求方程t
e x x x 25'6''=++的隐式解。

4、求方程）的第三次近似解。

、通过点（002y x dx dy
+=
三、 证明题30%
1.试验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡122t t t 是方程组x '=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-t t 22102x,x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程x '
=Ax （A 为n ⨯n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明: ()t Φ1
-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.
《常微分方程》期终试卷答卷
一、 填空题（每空5分） 1)()(y x f dx dy ϕ= 2、n y x Q y x P dx dy )()(+= z=n
y -1
3
),(),(21y x f y x f -2
1y y L -≤
4、011
1
11=++++----y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n
5、)()()(t t t ϕφγ+= 二、 计算题（每题10分）
1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=1
-y ,算得dx dy
y dx
dz 2
--= 代入原方程得到x z x dx dz +-=6
，这是线性方程，求得它的通解为z=826
x x c + 带回原来的变量y ，得到y 1=82
6x x c +或者c x y x =-886，这就是原方程的
解。

此外方程还有解y=0.
2、
解：x y xe xy e dx dy xy xy
-=
-=
dx y xe xdy xy )(-= dx xe ydx xdy xy =+
dx xe dxy xy =
xdx e dxy
xy = 积分：
c x e xy +=
--2
21
故通解为：0
212
=++-c e x xy
3、
解：齐线性方程05'6''=++x x x 的特征方程为0562
=++λλ，
5,121-=-=λλ，故通解为t t e c e c t x 521)(--+=
2=λ不是特征根，所以方程有形如t
Ae t x 2)(=
把)(t x 代回原方程 t
t t t e Ae Ae Ae 22225124=++
211=
A 于是原方程通解为
t
t t e e c e c t x 2521211
)(++=-- 4、
解 0)(0=x ϕ
⎰=
+=x
x dx x x x 02
2
012)]([)(ϕϕ 202)]([)(50
22
12x x dx x x x x
+
=+=⎰ϕϕ
4400160202)]([)(11
850
22
23x x x x dx x x x x
+
++=+=⎰ϕϕ 三、证明题（每题15分）
1、证明：令()t Φ的第一列为1ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t 22,这时'1ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22t =⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-t t
22102
1ϕ(t)故
1ϕ(t)是一个解。

同样如果以2ϕ(t)表示()t Φ第二列，我们有2ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01= ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t
2210
22ϕ(t)这样2ϕ(t)也是一个解。

因此()t Φ是解矩阵。

又因为
det ()t Φ=-t 2
故()t Φ是基解矩阵。

2、证明：（1）()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。

（2）由于()t Φ为方程x '
=Ax 的解矩阵，所以()t Φ1
-Φ(t 0)也是x '
=Ax
的解矩阵，而当t= t 0时，Φ(t 0)1
-Φ(t 0)=E, Φ(t- t 0)=Φ（0）=E. 故
由解的存在唯一性定理，得()t Φ1
-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)
3、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，证明)(t φ)()(001
t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

3、证明：)(t φ为方程Ax x ='的基解矩阵)(01t -φ为一非奇异常数矩阵，所以
)(t φ)(01
t -φ也是方程Ax x ='的基解矩阵，且)(0t t -φ也是方程Ax x =' 的基解
矩阵，且都满足初始条件)(t φ)(01t -φE =，E t t ==-)0()(00φφ
所以
)(t φ)()(001t t t -=-φφ
常微分方程期终考试试卷（5）
一．填空题 （30分） 1．)()(x Q y x P dx dy
+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx
x P e )( ，其通解为 _________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。

3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有
)()(x x n ϕϕ-≤______ 。

4．方程2
2y x dx dy
+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，
0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组t
t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -
为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('
=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是
)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='
的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点
),(**y x ，称为驻定方程组。

二． 计算题 （60分）
10．求方程
0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11．求方程0
=-+x e dx dy
dx dy
的通解。

12．求初值问题⎪
⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy
1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二
次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

13．求方程t t x x 3sin 9'
'=+的通解。

14．试求方程组)('
t f Ax x +=的解).(t ϕ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ
三．证明题 （10分）
16．如果)(t ϕ是Ax x ='
满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么
[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷答案 一．填空题 （30分）
1．
)
)(()()(⎰+⎰⎰
=-c dx e x Q e y dx
x P dx
x P
2．),(y x f 在R 上连续，存在0>L ，使2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对
于任意R y x y x ∈),(),,(21
3．1
)!1(++n n h n ML
4．41
4
1≤
≤-
x 5．t
t
t
t t t t t t
e e e e e e e e e 22242----
6．
)
()()(1
t x t x c t x i n
i i -
=+=∑
7．ds
s f s t t
t )()()(10-ΦΦ⎰
ds
s f s t t t t
t )()()()()(0
101⎰--ΦΦ+ΦΦη
8．[]
n t t t
v e v e v e
n λλλ,,,2121
9．0),(,0),(==y x Y y x X
二．计算题 （60分）
10．解：y
x x N
y x y M 226,8=∂∂=∂∂
y M
x N
y M 21-=-∂∂-
∂∂ 积分因子2121)(--=⎰=y e y dy y μ 两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程：0)1(243
2
13
22=-+-dy y x y dx y x
3
224y x M x u
==∂∂ 两边积分得：)(3423
3y y x u ϕ+=
2
1
21
3'21
322)(2--==+=∂∂y y x N y y x y u
ϕ
得：2
14)(y y -=ϕ
因此方程的通解为：
c y x y =-)3(3
2
1
11．解：令p y dx dy
==' 则0=-+x e p p
得：p
e p x +=
那么
⎰⎰+==dp
e p pdx y p )1(
c
e pe p p p +-+=22
因此方程的通解为：⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=c e p p y e p x p p )1(22
12．解：4
),(max ),(==∈y x f M R y x
b y y a x x =≤-=≤-1,100，
41
),min(=
=M b a h 解的存在区间为
41
10=
≤+=-h x x x 即43
4
5-
≤≤-
x 令0)(00==y x ϕ
31
30)(312
1+
=+=⎰-x dx x x x
ϕ
4211918633)313(0)(4731232
2+
---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰-x x x x dx x x x x ϕ 又L y y f
=≤-=∂∂22
误差估计为：
241)!1()()(12=
+≤-+n n h n ML x x ϕϕ
13．解：i i 3,309212-==⇒=+λλλ
i 3=λ是方程的特征值， 设it
e B At t t x 3)()(+=-
得：it
e At Bi Ait Bt A x 32")961292(-++-=
则t Bi Ait A =++6122
得：
361,121=-
=B i A
因此方程的通解为：
t t t t t c t c t x 3sin 361
3cos 1213sin 3cos )(221+-
+=
14．解：0
)5)(1(342
1)det(=-+=----=-λλλλλA E
5,121=-=λλ
0)(11=-v A E λ 得
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=αα1v 取⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=111v
0)(22=-v A E λ 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ββ22v 取⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=212v 则基解矩阵
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=Φ-t t
t t
e e e e t 552)(
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ΦΦ-----t t t t
t t
e e e e e e t 11212
101
2)0()(551
η
⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡+--+=ΦΦ⎰-51211035241203)()()(551
0t t t t t t e e e e ds s f s t 因此方程的通解为：
⎰--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds
s f s t t t 0
)()()()0()()(11ηϕ
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---+=--512110
3524120
355t
t t t t t e e e e e e
三．证明题 （10分） 16．证明：由定理8可知
ds
s f s t t t t t
t )()()()()()(0
101⎰--ΦΦ+ΦΦ=ηϕ
又因为
)ex p()(ex p )(,ex p )(01
001At At t At t -==Φ=Φ-- 0)(=s f
所以ηϕ)ex p(ex p )(0At At t -⋅=
又因为矩阵)()()()(00At At At At ⋅-=-⋅
所以[]
ηϕ)(ex p )(0t t A t -= 常微分方程期终考试试卷(6)
三．填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程
),(y x f dx dy
=的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/
的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（*
*,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy =
31
2
+++-y x y x 2、2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程23=dx dy 3
1
y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解
4、求解常系数线性方程：t e x x x t
cos 32///-=+-
5、试求方程组Ax x =/
的一个基解矩阵，并计算
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3421,为其中A e At
三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果
Ax x t =/
）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么
=)(t ϕ[]
η)(0t t A e -
常微分方程期末考试答案卷
一、一、 填空题。

（30分）
1、x y x N y y x M ∂∂=∂∂)
,(),(
2、)
(x y f dx
dy = 3、y=0y +dx y x f x
x ⎰0),(
4、连续的
5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n
6、n 个线性无关解
7、)0()(1
-ΦΦt
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零 稳定中心 二、计算题。

（60分）
1、解： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-2
y dy-3dy=0
即21d 2
x -d(xy)+dx-3
31dy -3dy=0
所以C
y y x xy x =--+-331
2132
2、解：2)(1)(2-+-+-
=y x y x dx
dy ，令z=x+y 则dx dy dx
dz +
=1 ,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-12
所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3
|1|+z =x+z+1C
即y
x Ce y x +=++23)1(
3、解： 设f(x,y)= 233
1
y ,则)0(2132
≠=∂∂-y y y f
故在0≠y 的任何区域上y f
∂∂存在且连续，
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，
显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解；
又由23=dx dy 31y 解得，|y|=2
3
)(c x -
所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及
|y|=
⎪⎩⎪⎨
⎧≥>-≤是常数0),()()(023
c c x c x c x 4、解： (1)i
21,
0322,12
±==+-λλλ
齐次方程的通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t
+
(2)i ±-=1λ不是特征根，故取t
e t B t A x -+=)sin cos (
代入方程比较系数得A=415，B=-414
于是
t e t t x --=)sin 414
cos 415(
通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t
++t
e t t --)sin 4cos 5(411
5、解： det(A E -λ)=0
54342
12=--=----λλλλ
所以，5,
121=-=λλ 设11-=λ对应的特征向量为1v
由
110442211≠⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----ααv v 可得
取
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121v v 同理取 所以，)(t Φ= [
]
=-251
v e v e t
t
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---t t
t t
e e
e e 552
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t t
t t t t t
t t t t At e e e e e e e e e e e e e e e e t e 5555551
551
222231111223121112)0()(
三、证明题。

（10分）
证明： 设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At
（1） （C 为待定的常向量）
则由初始条件得)(0t ϕη==C e At
又
1)(0-At e =0At e - 所以，C=
1
)(0-At e η=0At e -η 代入（1）得)(t ϕ=ηη)(00
t t A At At e
e e --= 即命题得证。

常微分方程期终试卷(11)
一． 填空
1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。

3．若ϕ（x ）为毕卡逼近序列{})(x n ϕϕ的极限，则有ϕ（x ）—)(x n ϕ≤。

4．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。

5．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方
程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。

6．如果A(t)是n ×n 矩阵，f(t)是n 维列向量，则它们在 a ≤t ≤b 上满足 时，方程组x ˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x （t 0）=η的解在a ≤t ≤b 上存在唯一。

7．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的 基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具有关系：。

8．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件
0()t ψη=的解()t ψ=_____________________
9.满足 _________________________________________的点（**
,x y ），称为方程组的奇点。

10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部
__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。

二．计算题（60分）
1．
3
()0ydx x y dy -+= 2．32()480
dy dy
xy y dx dx -+= 3．求方程2
dy
x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解
4．sin cos2x x t t ''+=-
5．若
2114A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt
6.求1,5
dx dy
x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三.证明题(10分)
设(,)f x y 及f
y ∂∂连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有
仅依赖与x 的积分因子.
答案
一. 填空
1. ()()dy
p x y Q x dx =+ ()p x dx
e -⎰
()()(())
p x dx p x dx e Q x e dx c -⎰⎰+⎰
2. 2
()()()dy p x y Q x y R x dx =++ y y z =+ 3.1
(1)!n n ML h n ++
4. 1()0w a t w '+=
5.
1
()()()
n
i i i x t c x t x t ==+∑ 6． A(t) f(t)连续
7．()(),det 0t t c c ϕψ=≠ 8。

0()()()t t t ψϕϕη=
9．(,)(,)dx
X x y dt dy Y x y dt ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩中X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.为0 稳定中心
二．计算题
1． 1． 解：因为
1,1M N
y x
∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有
积分因子
2
2
ln 21
()dy
y y y e
e
y μ--⎰===
，两边同乘21y 得
3
20dx x y dy y y +-=
所以解为 32
1
x x y y dx dy c y y y
⎡
⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰
2
2x y c y +=即
2
2()x y y c =+另外y=0也是解 2． 2． 解：方程可化为3
2
84dy y dx x dy y
dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有
3284p y x yp +=（*）
（*）两边对y 求导：3
2
2322(4)(8)4dp
y p y p y p y p
dy -+-=
即3
2
(4)(2)0dp p y y p dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即
2
()p y c =将y 代入（*）22
24c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩p 为参数
又由
32
40p y -=得1
23
(4)p y =代入（*）得：
3427y x
=
也是方程的解
3．解：
002
100225
200410725118
3000
2()4220()4400202204400160x
x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+=
=++=+
=++++=+++
⎰⎰⎰ 4．线性方程0x x ''+=的特征方程2
10λ+=故特征根i λ=±
1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原
方程A=-1
2B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解
cos2sin 2x A t B t =+代入原方程1
3A =
B=0
所以原方程的解为1211
cos sin cos cos223x c t c t t t t
=+-+
5．解：
22
1
()690
1
4p λλλλλ--=
=-+=-解得1,2
3λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤
=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!i
n t
i
i t e A E i λλ-=-∑得
[]33310111exp (3)01111t
t
t t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭
6．解：由10
50x y x y --+=⎧⎨
--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dx
x y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
因为11
11---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0） 由2211
211220
11λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）
为稳定焦点。

三．证明题
证明：1 若该方程为线性方程则有()()
dy
p x y Q x dx =+（*）此方程有积分因子
()()p x dx x e μ-⎰= ()x μ只与x 有关
2 若该方程有只与x 有关的积分因子()x μ则 ()()(,)0x dy x f x y dx μμ-=为
恰当方程,从而
(()(,))()x f x y d x y dx μμ∂-=∂()
()f x y x μμ'∂=-
∂ ()()()()()x f dy Q x p x y Q x x μμ'=-+=+⎰其中
()
()()x p x x μμ'-=
于是方程化为 (()())0dy p x y Q x dx -+=即方程为一阶线性方程.-
常微分方程期终测试卷(12)
一、填空题（30%）
1．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
2．方程2
2d d y x x y
+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 3．)
,(y x f y '
连续是保证方程),(d d y x f x y
=初值唯一的 条件．
一条积分曲线.
4. 线性齐次微分方程组Y
A Y
)(d d x x =的一个基本解组的个数不能多于
个，其中R ∈x ，n
R Y ∈．
5．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．
6．方程y
x x y
cos sin d d ⋅=满足解的存在唯一性定理条件的区域
是 ．
7．方程y
x x y
tan d d 2=的所有常数解是 ．
8．方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ．
9．线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．
10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．
二、计算题（40%）
求下列方程的通解或通积分： 1. x y x
y x y tan d d += 2．y y x y x y sin sin cos cos d d 2=-
3．
0)d 1(d )cos 2(2=-+-y x x x xy 4．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x t y y t x 2d d d d
5．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x t y y x t x 32d d d d
三、证明题（30%）
1．试证明：对任意0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程 221)1(d d y x y y x y ++-=
的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．
2．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y x
y =+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x ．
3．设方程)(d d 2y f x x y =中，)(y f 在),(∞+-∞上连续可微，且0)(<y yf ，
)0(≠y ．求证：该方程的任一满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 必在区间
),[0∞+x 上存在．
参考答案
一、填空题
1．)()]()([1211x y x y x y C +- 2．xoy 平面 3．充分 4．n 5．线性
无关 6．xoy 平面 7．πk y =， ,2,1,0±±=k
8． ,2,1,0,±±==k k y π； 或
,2,1,0,2±±=π+π=k k x 9．充分必要 10．n
二、计算题
1．解：令x y u =
，则u x u y '+=' u x u x tan d d =
当0tan ≠u 时
等号两边积分 1d tan d C x x u u +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin
2．解：令y z sin =，则x y y x
z d d cos d d =
代入方程得 z x z x z =-cos d d 2
即 x z z x z cos d d 2=-
再令1-=z u ，则得 x u x u cos d d -=+
⎰+⎰-⎰=-)d e cos (e 1d 1d 1C x x u x
x
⎰+-=-)d e cos (e 1C x x x x x
C x x -++-=e )sin (cos 211
所以 x
C x x x -=++e sin cos sin 2
3．解 由于x N x y
M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y x x xy y x =--⎰⎰00d d )cos 2(
即 C y x y x =--sin 2
4．解 特征方程为 0
121=--=
-λλλE A
即 022=--λλ
特征根为 21=λ，12-=λ
21=λ对应特征向量应满足
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--002121211b a 可确定出
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a
同样可算出12-=λ对应的特征向量为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122b a
所以，原方程组的通解为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x e e 2e e 2221
5．解：特征方程为 0542=+-λλ
特征根为 i ±=22,1λ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+b a y x t i )2(e b a ,满足
01211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----b a i i
解得 b i a )1(2-=
取 i b +=1，则 1=a ．
于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡t t t C t t t C y x t t sin cos sin e sin cos cos e 2221 三、证明题
1．证： 由于
221)
1(),(y x y y y x f ++-= 22222)1(2)1()1)(12(),(y x y y y y x y y x f y ++--++-='
在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展
定理条件．又显然1,0==y y 是方程的两个特解．现任取),(0∞+-∞∈x ，
)1,0(0∈y ，记)(x y y =为过),(00y x 的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界
无限延展，又上不能穿越1=y ，下不能穿越0=y ，因此它的存在区间必为
),(∞+-∞．
2．证明 设)(x y y =为方程任一解满足00)(y x y =，由常数变易法有
⎰-----+=x x x s x x x x s f y x y 000d (s)e e e
)()()(0 于是 0000e d e )(lim e lim )(lim 0
x x x x x s x x x x x s s f y x y --∞→-∞→∞→⎰+= = 0 + ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎰⎰∞---∞→∞-发散若收敛若，000000d e )(,0e e )(lim d e )(0x x s x x x x x x x s s s f s f s s f
3．证明 由已知条件，方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延
展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远． 又由已知条件，知0=y 是方程的一个解．
且在上半平面)0(>y ，有
0)(2<='y f x y ； 在下半平面)0(<y ，有
0)(2>='y f x y ． 现不妨取点),(00y x 属于上半平面，并记过该点的解为)(x y y =．由上面分
析可知，)(x y y =一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又
不能穿过x 轴，否则与唯一性矛盾．故解)(x y y =存在区间必为),[0∞+x。