《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第 1.1课时)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
切线的性质：
1.圆的切线与圆只有一个公共点。
2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。
3.
想一想切线还有什么性质吗？
生活中圆与直线相切的实例
在雨中旋转的雨伞
思考
如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA
与直线l是不是一定垂直呢？为什么？
解：OA⊥l ,理由如下：
假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l于点M,
少有1名女生，那么不同的选派方案种数_____
A .
A. 14
B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分步！
课堂练习
2（2007年全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的
一个小组，则不同的报名方法共有_____.
D
A．10种
B．20种
C. 25种
D . 32种
学生选小组N=
感谢各位的仔细聆听
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise
Do Not Need Too Much Text
课堂练习
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步：百、十、个位数各有5种取法，
所以可以组成
5×5×5=125
个三位数.
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理：
①是排列组合问题的最基本的原理；
②是推导排列数、组合数公式的理论依据；
解：
（1）该题应用分类计数原理，分两类：第一类，取明朝古币有7种；第二类，取清朝古币有
10种. 所以共有
7+10=17
种不同取法.
（2）该题应用分步计数原理，分两步：第一步，取明朝古币有7种；第二步，取清朝古币有
10种. 共有
7×10=70
种不同取法.
课堂练习
1（2008年福建卷7）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
新知探究
如果这名同学只能选一个专业，那么它共有多少种选择呢？
分析
由于这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共
同的强项的专业，因此符合分类加法计数原理的条件.
解：
这名同学可以选择两所大学中的一所，在A所大学中有5种专业选择方法，在B所大学中有4种专
老师：
时间：2020.4
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
课前导入
想一想 先看下面的问题
从我们班推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？
第1章 计数原理
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
第二十四章 圆
专题24.2.2 直线和圆的位置关系
（ 切 线 的 性 质 定 理 ）
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise
∴AC是⊙O的切线( 切线的判定定理)．
随堂测试
直角三角形
1．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______
．
【详解】
解：如图所示，
∵AB是直径，AC是切线，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
随堂测试
2．如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A点，PA=4cm，PB=2cm，则
③是求解排列、组合问题的基本思想.
2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别：
① 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可
以完成这件事；
②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成
后才算做完这件事.
课堂小结
件事共有
N=m×n
种不同的方法.
新知探究
例题2
书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有5本不同的文艺书，从书架的第1、2层各取1
本书，有多少种不同的取法？
分析 读题意可知，这是一个分步乘法计数题.
解：
从书架的第1，2，各取1本书，可以分成两个步骤完成:
第一步，从第一层取1本计算机书，有4种方法；
66° ．
心角的度数为__________
【详解】连接，
∵直线 切⊙于点，
∴ ⊥ ，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=123°，
∴∠OAC=∠BAC-∠BAO=33°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=33°，
∴∠AOD=∠OAC+∠C=66°，
即弧AD所对的圆心角的度数为66°.
第二十四章 圆
3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：
①分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，
并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏".
②分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件
事才算完成.
人教版高中数学选修2-3
2
5
课堂练习
3. (2007年四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的
B
五位偶数共有______.
A.48个
B.36个
C.24个
D.18个
分析：
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时，万位数是3，4，5，其他随意，共有3×3×2×1=18
种；当个位数是4时，万位数是2，3，5，其他随意，共有3×3×2×1=18种
3
⊙O的半径为________ cm．
【解析】
设圆的半径是x，则PO=x+2，根据题意得：
PA² + AO² = PO² ，
∵PA=4cm，PB=2cm，
∴4² + x² = （x+2）² ，
解得：x=3.
∴O的半径为3cm.
随堂测试
所对的圆
3．如图，已知直线切⊙于点，为⊙的直径，若∠ = 123°，则
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，
11
则从甲地到丙地的不同的走法共有 ______种.
（2）甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加
31
校三好学生代表大会，共有______种不同的推选方法.
新知探究
1、分类加法计数原理
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘
坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解答
由题意画图如下：
新知探究
解：
从甲地到乙地有2类方法,
第一类方法:乘火车，有3种方法;
第二类方法:乘汽车，有2种方法.
所以从甲地到乙地共有3+2=5种方法.
∵AB与⊙O相切于点D,
OD⊥AB
∴ _______________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点,
AO是∠BAC的平分线
三线合一）
∴______________________,（
OE=OD
角平分线性质）
∴__________,（
即OE是⊙O的半径,
∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC,
思考
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA，
(1)过点A作直线l⊥OA（保留作图痕迹）
l
1
(2)直线l与⊙O有______个交点
O
A
d=r
(3)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______
D
相切
(4)直线l和⊙O的位置关系是______
切线判定定理
判定定理：经过半径的外端并且垂直于于这条半径的直线是圆的切线.
OM的长为点O到直线l的距离d,
o
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,
因此,CD与⊙O相交.这与已知条件
“直线与⊙O相切”相矛盾，所以OA与CD垂直.
A M
l
切线的性质定理
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质：
1.圆的切线与圆只有一个公共点。
2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。
业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此更具分类加法计数原理，这名同
学可能的专业选择共有
5+4=9（种）
新知探究
探究
如果完成一件事有三种不同方案，在第1类方案中有m1种方法，在第2类方案中有m2种方法，在
第3类方案中有m3种方法那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事有n种不同方
观察有什么特征
新知探究
知识要点
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n种不同的
方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
新知探究
例题1
在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，
具体情况如下：
第二步，从第二层取1本文艺书，有5种方法；
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
N=4×5=20
新知探究
探究
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法，做第3步有m3种方法
那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有n种不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
o
3.圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线作法：
作过切点的半径（连半径，得垂直）
A
l
练一练
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O
的切线。
【解题思路】过O点作AC边的垂线，若垂线段与半径长度相等，就可以证明AC是⊙O的切线
证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E,连接OD,OA.
A5
A6
A7
A8
A9
得到
新知探究
注意
上图是解决计数问题常用的“树形图”.
你能用树形图列出所有可能的号码
吗？
解：
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，
因此共有
6×9=54
个不同的号码.
观察有什么特征
新知探究
知识要点
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有 n种不同的方法. 那么完成这
Do Not Need Too Much Text
老师：
时间：2020.4
前言
学习目标
1.理解和掌握切线的判定定理的基础上理解和掌握切线性质定理。
2. 通过合作探究体会切线的判定和性质的联系。
3.通过合作讨论数学变化，提高自身的数学兴趣和探究精神。
重点难点
重点：切线的性质定理。
难点：切线的性质定理的应用。
把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
新知探究
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.
排列组合是一种重要的数学计数方
法. 是研究按某一规则做某事时，
一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出
发来学习这两个原理.
案，在每一类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
N=m1+m2+m3
新知探究
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座
位编号，总共能变出多少个不同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母
的号码
A
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
N=m1×m2×m3
新知探究
例题3
一名同学有7枚明朝不同古币和10枚清朝不同古币
(1）从中任取一枚，有多少种不同取法？
(2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？
分析
由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币，
（1）中要从中任取一枚，符合分类计数原理，
（2）中要从明清中各取一枚，符合分步计数原理.
新知探究
1.圆的切线与圆只有一个公共点。
2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。
3.
想一想切线还有什么性质吗？
生活中圆与直线相切的实例
在雨中旋转的雨伞
思考
如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA
与直线l是不是一定垂直呢？为什么？
解：OA⊥l ,理由如下：
假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l于点M,
少有1名女生，那么不同的选派方案种数_____
A .
A. 14
B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分步！
课堂练习
2（2007年全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的
一个小组，则不同的报名方法共有_____.
D
A．10种
B．20种
C. 25种
D . 32种
学生选小组N=
感谢各位的仔细聆听
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise
Do Not Need Too Much Text
课堂练习
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步：百、十、个位数各有5种取法，
所以可以组成
5×5×5=125
个三位数.
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理：
①是排列组合问题的最基本的原理；
②是推导排列数、组合数公式的理论依据；
解：
（1）该题应用分类计数原理，分两类：第一类，取明朝古币有7种；第二类，取清朝古币有
10种. 所以共有
7+10=17
种不同取法.
（2）该题应用分步计数原理，分两步：第一步，取明朝古币有7种；第二步，取清朝古币有
10种. 共有
7×10=70
种不同取法.
课堂练习
1（2008年福建卷7）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
新知探究
如果这名同学只能选一个专业，那么它共有多少种选择呢？
分析
由于这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共
同的强项的专业，因此符合分类加法计数原理的条件.
解：
这名同学可以选择两所大学中的一所，在A所大学中有5种专业选择方法，在B所大学中有4种专
老师：
时间：2020.4
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
课前导入
想一想 先看下面的问题
从我们班推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？
第1章 计数原理
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
第二十四章 圆
专题24.2.2 直线和圆的位置关系
（ 切 线 的 性 质 定 理 ）
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise
∴AC是⊙O的切线( 切线的判定定理)．
随堂测试
直角三角形
1．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______
．
【详解】
解：如图所示，
∵AB是直径，AC是切线，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
随堂测试
2．如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A点，PA=4cm，PB=2cm，则
③是求解排列、组合问题的基本思想.
2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别：
① 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可
以完成这件事；
②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成
后才算做完这件事.
课堂小结
件事共有
N=m×n
种不同的方法.
新知探究
例题2
书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有5本不同的文艺书，从书架的第1、2层各取1
本书，有多少种不同的取法？
分析 读题意可知，这是一个分步乘法计数题.
解：
从书架的第1，2，各取1本书，可以分成两个步骤完成:
第一步，从第一层取1本计算机书，有4种方法；
66° ．
心角的度数为__________
【详解】连接，
∵直线 切⊙于点，
∴ ⊥ ，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=123°，
∴∠OAC=∠BAC-∠BAO=33°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=33°，
∴∠AOD=∠OAC+∠C=66°，
即弧AD所对的圆心角的度数为66°.
第二十四章 圆
3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：
①分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，
并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏".
②分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件
事才算完成.
人教版高中数学选修2-3
2
5
课堂练习
3. (2007年四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的
B
五位偶数共有______.
A.48个
B.36个
C.24个
D.18个
分析：
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时，万位数是3，4，5，其他随意，共有3×3×2×1=18
种；当个位数是4时，万位数是2，3，5，其他随意，共有3×3×2×1=18种
3
⊙O的半径为________ cm．
【解析】
设圆的半径是x，则PO=x+2，根据题意得：
PA² + AO² = PO² ，
∵PA=4cm，PB=2cm，
∴4² + x² = （x+2）² ，
解得：x=3.
∴O的半径为3cm.
随堂测试
所对的圆
3．如图，已知直线切⊙于点，为⊙的直径，若∠ = 123°，则
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，
11
则从甲地到丙地的不同的走法共有 ______种.
（2）甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加
31
校三好学生代表大会，共有______种不同的推选方法.
新知探究
1、分类加法计数原理
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘
坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解答
由题意画图如下：
新知探究
解：
从甲地到乙地有2类方法,
第一类方法:乘火车，有3种方法;
第二类方法:乘汽车，有2种方法.
所以从甲地到乙地共有3+2=5种方法.
∵AB与⊙O相切于点D,
OD⊥AB
∴ _______________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点,
AO是∠BAC的平分线
三线合一）
∴______________________,（
OE=OD
角平分线性质）
∴__________,（
即OE是⊙O的半径,
∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC,
思考
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA，
(1)过点A作直线l⊥OA（保留作图痕迹）
l
1
(2)直线l与⊙O有______个交点
O
A
d=r
(3)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______
D
相切
(4)直线l和⊙O的位置关系是______
切线判定定理
判定定理：经过半径的外端并且垂直于于这条半径的直线是圆的切线.
OM的长为点O到直线l的距离d,
o
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,
因此,CD与⊙O相交.这与已知条件
“直线与⊙O相切”相矛盾，所以OA与CD垂直.
A M
l
切线的性质定理
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质：
1.圆的切线与圆只有一个公共点。
2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。
业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此更具分类加法计数原理，这名同
学可能的专业选择共有
5+4=9（种）
新知探究
探究
如果完成一件事有三种不同方案，在第1类方案中有m1种方法，在第2类方案中有m2种方法，在
第3类方案中有m3种方法那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事有n种不同方
观察有什么特征
新知探究
知识要点
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n种不同的
方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
新知探究
例题1
在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，
具体情况如下：
第二步，从第二层取1本文艺书，有5种方法；
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
N=4×5=20
新知探究
探究
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法，做第3步有m3种方法
那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有n种不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
o
3.圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线作法：
作过切点的半径（连半径，得垂直）
A
l
练一练
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O
的切线。
【解题思路】过O点作AC边的垂线，若垂线段与半径长度相等，就可以证明AC是⊙O的切线
证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E,连接OD,OA.
A5
A6
A7
A8
A9
得到
新知探究
注意
上图是解决计数问题常用的“树形图”.
你能用树形图列出所有可能的号码
吗？
解：
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，
因此共有
6×9=54
个不同的号码.
观察有什么特征
新知探究
知识要点
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有 n种不同的方法. 那么完成这
Do Not Need Too Much Text
老师：
时间：2020.4
前言
学习目标
1.理解和掌握切线的判定定理的基础上理解和掌握切线性质定理。
2. 通过合作探究体会切线的判定和性质的联系。
3.通过合作讨论数学变化，提高自身的数学兴趣和探究精神。
重点难点
重点：切线的性质定理。
难点：切线的性质定理的应用。
把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
新知探究
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.
排列组合是一种重要的数学计数方
法. 是研究按某一规则做某事时，
一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出
发来学习这两个原理.
案，在每一类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
N=m1+m2+m3
新知探究
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座
位编号，总共能变出多少个不同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母
的号码
A
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
N=m1×m2×m3
新知探究
例题3
一名同学有7枚明朝不同古币和10枚清朝不同古币
(1）从中任取一枚，有多少种不同取法？
(2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？
分析
由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币，
（1）中要从中任取一枚，符合分类计数原理，
（2）中要从明清中各取一枚，符合分步计数原理.
新知探究