高斯型空间光孤子相互作用的数值研究

第18卷 第3期强激光与粒子束
V o l .18,N o .3
2
006年3月H I G H P OW E R L A S E R A N D P A R T I C L E B E AM S
M a r .,2006
文章编号: 1
001-4322(2006)03-0381-04高斯型空间光孤子相互作用的数值研究
*
林晓东1, 吴正茂1, 夏光琼1, 陈建国2
(1.西南师范大学物理学院,重庆400715; 2.四川大学电子信息学院,成都6
10064) 摘 要: 通过数值模拟的方法,对高斯孤子在对数型饱和非线性介质中的相互作用进行了研究,考查了两光束间的相对振幅和相对相位对其相互作用的影响。

结果表明:高斯孤子之间的相互作用敏感地依赖于两光束间的相对振幅和相对相位。

在不同的振幅差异范围内,
光束间的主要作用交替地表现为相互排斥和相互吸引,并由于高斯孤子的不稳定性,导致了光束在碰撞后以一种尺寸周期性变化的呼吸模式传输。

随着相对相位的增大,两光束间始终持续地表现出强烈的排斥作用,直到相对相位增加到一个2π周期之后。

而且碰撞之后,光束也都以呼吸模式进行传输,其分离的角度越大,呼吸就越明显。

关键词: 高斯孤子; 对数型饱和非线性介质; 分步傅里叶变换法 中图分类号: O 437 文献标识码: A
空间光孤子由于其独特而优越的传输性能,
在全光通信、数据处理以及光传输等方面有着巨大的应用前景,自从人们首次发现光束的自陷现象以来,一直是研究的热点课题之一[1-4
]。

孤子之间的相互作用在很多方
面类似于粒子,因此在孤子的所有特性中,最吸引人的就是这种相互作用,或称为孤子间的相互碰撞[5-7]。

孤子
间的相互作用就象粒子一样,可以发生弹性碰撞、非弹性碰撞以及完全非弹性碰撞等行为,但这些研究成果多集中于克尔介质、液晶等非线性介质中的孤子碰撞效应。

前人的研究表明,
在克尔非线性介质中2维孤子是不稳定的,最终形成灾变自聚焦甚至光束分裂,而在具有饱和非线性的介质里,空间孤子能够稳定地存在[8-10
]。

本文在分析非线性薛定谔方程(N L S E )
的基础上,利用分步傅里叶变换方法[11],数值模拟了在一种对数型饱和非线性介质中的高斯型空间光孤子[12-14]的碰撞行
为,并研究了不同的入射参数对两个孤子碰撞行为的影响。

研究表明,在这样的饱和非线性介质中,孤子碰撞行为比克尔介质中的弹性碰撞情况要复杂得多,会产生孤子融合、分裂以及湮灭等新现象。

1 数值模型
为了便于分析,
我们考虑比较简单的光束在对数饱和介质中(1+1)D 的传输情况。

假设空间光束以连续波方式入射y 方向导引的平板波导,这时非线性薛定谔方程就与y 无关,因此可简化为
i ∂A ∂z +12k 0∂2
A ∂x 2+Δn k 0n 0
A =0(1
)式中:A 为电场时空慢变包络;波数k 0=n 0ω0/c ;Δn 为光强引起的折射率变化。

(1)式中第一项代表沿z 轴传输,
第二项代表衍射效应,第三项代表非线性效应。

对于对数型饱和非线性介质来说,
其非线性折射率变化部分为Δn =n 2l n (I /I t h )
(2
)这里I =|A |2
,I t h 为阈值光强,n 2为非线性折射系数。

于是可以得到光束在对数型饱和介质中的传输方程
i ∂A ∂Z +∂2
A 2∂
X 2+l n I I ()
t h A =0(3
)式中:Z =z N /k 0;X =ヘx N ,N =n 2k 2
0/n 0。

方程(
3)具有高斯型分布的孤子解[12]
A (X ,Z )=
B (Z )e x p -X 2
2σ2(Z
)
+i [α(Z )+β(Z )X 2{
}
](4)式中:B 是振幅;σ为光束振幅1/e 的宽度;α为位相;β为光束波阵面的曲率,
反映了位相弯曲的情况。

当高斯*收稿日期:2005-05-26; 修订日期:
2005-11-02基金项目:西南师范大学校青年科技基金资助课题(220-413044
)作者简介:林晓东(1975-),男,西南师范大学讲师,主要从事非线性光学、半导体激光器与光纤通信研究;l i n x d @s
w u .e d u .c n
光束以束腰入射到对数型饱和介质中且腰斑半径σ=σs ヘ
=2/2时,高斯光束获得自陷,形成孤子。

本文采用数值模拟的方法讨论(
4)式孤子解的相互作用。

我们应用分步傅里叶变换方法对(3)式进行数值求解。

第一步只考虑前ΔZ /2的衍射过程,对方程∂A /∂
Z =i ∂A 2∂
X 2求解得到A 1(ΔZ /2)=F -1{~A (0)e x p [-i (2πf X )2Δ
Z /4]}(5
)这里,~A (0)表示初始位置处光场的傅里叶变换,F -1表示逆傅里叶变换,f X 是光场的频谱。

第二步以A 1作为
输入光,解方程∂A 1/∂Z =-i [l n (|A 1|2
/I t h )]A 1,计算整个ΔZ 的非线性效应,得到A 2=A 1e x p [-i l n (|A 1|2
/I t h +1
)](6
)第三步再计算一次后ΔZ
/2的衍射过程,得到A (X ,ΔZ )=F -1{~A 2e x p [-i (2πf X )2Δ
Z /4]}(7
)这就是在介质中传输了ΔZ 距离之后的光场分布。

要得到传输距离为Z 的光场分布,
只需把Z 分解为若干个Δ
Z ,将(7)式计算的结果反复迭代就可以得到。

只要ΔZ 足够小,分步傅里叶变换法所得到的结果就是准确可靠的[11
]。

我们假设两个高斯孤子分别从介质中心Z 轴两侧以倾角α1和α2入射到介质中,
入射处光束中心与Z 轴分别相距为X d 1和X d 2,
两光束的相对相位为θ,振幅分别为B 1和B 2,因此我们研究的初始入射高斯孤子对为A 1(X ,0)=B 1(0)e x p [-i (X +X d 1-i X 01)22(Z i n 1+i Z 01)], A 2(X ,0)=B 2(0)e x p [-i (X -X d 2-i X 02)2
2(Z i n 2+i Z 02)
]e x p (i θ)(8
)式中:瑞利长度Z 0j =σ0j /2,(其中j =1,2),σ0j 为高斯光束的腰斑半径;Z i n j 为光束入射点与束腰的距离;
参量X 0j 与入射角αj 的关系为αj =a r c t a n (X 0j /Z 0j )。

2 计算结果及分析
图1表示不同振幅的高斯孤子相互碰撞的结果,计算中采用的参数为I t h =0.0001,X d 1=X d 2=2,σ0=σs ヘ=2/2,θ=0,α=0,
即两光束中心相距为4,以孤子条件平行入射到对数非线性介质中,且同相位。

计算结果表明,
当两孤子的振幅相同时,表现出周期性吸引和分离的现象,两光束就这样周而复始地相互缠绕在一起(见图1(a ));一旦两光束的振幅有了一点微小的差别,就会产生不同的碰撞效果。

光束相互周期性缠绕几次后最终还是分离开。

F i g .1 I n f l u e n c e o f r e l a t i v e a m p
l i t u d e o n t h eG a u s s i a ns o l i t o n i n t e r a c t i o n s 图1 相对振幅对高斯孤子间相互作用的影响
在振幅差别小于5%的范围内,
随着非等幅比例的不断增大,两孤子间融合的次数逐渐减少(但发生融合的位置不变),很快就完全分离开,两光束之间主要表现为相互排斥。

当振幅差别达到5%时,两光束就不再发生融合,而是发生类似于弹性碰撞的现象(见图1(b ))。

在这之后,随着振幅差别的逐渐增大,两光束之间再次表现出相互吸引的作用(见图1(c ))。

当振幅差别达到25%左右的时候,
两光束的吸引力和排斥力达到平衡,2
83强激光与粒子束
第18
卷
互不干扰地平行传输(见图1(d ))。

随着振幅差别进一步增大,两光束间的吸引力也增大,导致两光束在平行传输一段距离之后,再次融合。

当振幅差别达到80%左右的时候,两光束就表现为相互穿越的现象了,随着振幅差别的增大,其穿越角度也越大,而且穿越之后的两孤子分别以呼吸模式进行传输(见图1(e ))。

这种现象一直会持续到振幅差别为300%左右,这时由于两孤子之间的振幅差异太大,小幅孤子对大幅孤子几乎就没有什么影响了(见图1(f ))。

我们用不同的振幅基数进行了研究,结果表明:对于同样的振幅差别百分比,两光束的相互作用同样遵循以上规律。

这正好说明了高斯孤子不同于克尔孤子的最大特点:高斯孤子的传输行为与其振幅无关,而只与初始位相和光束尺寸有关。

图2表示两光束之间的相对相位对高斯孤子相互作用的影响。

计算中采用的参数为I t h =0.0001,B 1(0)=B 2(0)=1,X d 1=X d 2=2,σ0=σs ヘ
=2/2,α=0,即两光束中心相距为4,以孤子条件平行入射,且振幅相等。

F i g
.2 I n f l u e n c e o f r e l a t i v e p h a s e o n t h eG a u s s i a ns o l i t o n i n t e r a c t i o n s 图2 相对相位对高斯孤子间相互作用的影响
计算结果表明,
当两孤子相位相同(相对相位为零)时,两光束间同样表现出周期性缠绕现象(见图1(a ))。

但两光束的相互作用对相对相位十分敏感,一旦θ≠0,在θ<π/4的范围内,两光束最初都有一点吸引,然后马上就一直表现为相互排斥,永远分开(图2(a )～(
d ))。

而在π/4<θ<2π的范围内,虽然两光束间会存在持续的吸引力,但它们不再发生融合,而永不相遇地独立传播下去(图2(
e )和(
f ))。

这表明,随着相对相位的逐渐增大,两光束间的排斥作用也越来越强,直到θ=2π时,又回到了相对相位为零的状态。

我们看到,在以孤子条件平行入射且振幅相等相对相位不为零的情况下,两光束发生碰撞之后,各自也都以呼吸模式进行传输,而且其分离的角度越大,光束的呼吸就越明显。

对于以上高斯孤子的碰撞行为,可以定性解释为:我们把两个孤子间的相互作用理解为一个孤子对另一个孤子的干扰。

孤子本身是一个导引模,当它独自在介质中传输时,背景折射率是平坦的。

当它附近出现了另一个孤子时,则该孤子的背景折射率将发生改变。

一方面,当两孤子振幅相等时,它们对相互的背景折射率的影响是完全一样的,即这种作用是对称的,因此也就出现了孤子间的周期性缠绕现象(如图1(a ))。

当两孤子振幅出现差别时,这种对称作用失去平衡,就出现了排斥以及穿越的现象(如图1(b )～(e ))。

当两孤子振幅相差非常大时,小幅孤子对大幅孤子基本上没有什么影响。

另一方面,共相时,两孤子交叠处折射率因干涉加强而增加,导致孤子的背景折射率发生倾斜,两孤子之间的中心(X =0)处高,两边低,因此两孤子相互吸引,孤子间的相互作用表现为吸引碰撞;失相时,两孤子交叠处折射率因干涉相消而减小,导致孤子的背景折射率在两孤子之间的中心处低,而两边高,因此两孤子相互排斥,孤子相互作用表现为排斥碰撞。

从前面的分析中,
我们还可以看到一个值得注意的现象:和克尔介质有所不同,当两个高斯孤子相互融合、穿越之后,其各自的传输行为就表现为一种呼吸模式[12]
,即光束尺寸以准周期变化的一种空间孤子形态。

这是由于高斯孤子不象克尔孤子那样稳定,一旦受到碰撞,高斯孤子将具有一个偏离孤子条件的微小变化,孤子
就象处于势阱底部的粒子受到扰动而在势阱中来回周期性运动一样,变成了所谓的呼吸模式[15]。

3
83第3期
林晓东等:
高斯型空间光孤子相互作用的数值研究
3 结 论
我们数值模拟了高斯型空间孤子在对数型饱和非线性介质中的相互作用。

结果表明,
高斯孤子之间的相互作用敏感地依赖于两光束间的相对振幅和相对相位。

在同相位的情况下,
微小的振幅差异会导致高斯孤子间不同的相互作用,在不同的振幅差异范围内,光束间的主要作用交替地表现为相互排斥和相互吸引,并由于高斯孤子的不稳定性,光速在碰撞后以一种呼吸模式传输。

在同振幅的情况下,其相对相位的变化同样会影响高斯孤子间的碰撞行为,但与相对振幅的影响不同的是,随着相对相位的增大,两光束间持续地表现出强烈的排斥作用,直到相对相位增加到一个2π周期之后,再重复上一个周期的行为。

总之,高斯孤子间的碰撞行为比克尔孤子等的碰撞行为要丰富得多,因此,如何有效地利用高斯孤子间这些独特的碰撞行为,是值得我们深入研究的课题。

致 谢: 本论文的工作得到唐永林博士的热心指导,
在此表示衷心感谢！参考文献:
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u o 2
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f f e r e n t r e
g i o n s o f r e l a t i v e a m p l i t u d e ,t
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r e a t h e . K e y w
o r d s : G a u s s i a n s o l i t o n ; L o g a r i t h m i c s a t u r a b l en o n l i n e a rm e d i a ; S p l i t -s t e p F o u r i e r t r a n s f o r m 4
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