第16节 二分法
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解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0， ∴在区间（1，1.5）内函数 f（x）=3x+3x﹣8 存在一个零点 又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0， ∴在区间（1.25，1.5）内函数 f（x）=3x+3x﹣8 存在一个零点， 由此可得方程 3x+3x﹣8=0 的根落在区间（1.25，1.5）内， 故选：B
解：设函数 f（x）=x3﹣2x﹣1， ∵f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（1.5）=﹣ ＜0， ∴下一个有根区间是（1.5，2）， 故选：C．
练习：用二分法求函数 f（x）在区间（1，2）内的零点近似值的过程中，经计算 得到 f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（2）＞0，则下一次应计算 x0=（ ）时，f （x0）的值． A．1.75 B．1.625 C．1.375 D．1.25
A．
B．
C．
D．
典例分析：
例 2：设 f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程 3x+3x﹣8=0 在 x∈（1，2）内近似 解的过程中得 f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，f（2）＞0 则方程的根应 落在区间（ ） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
解析：选 D 由图可知，图象与 x 轴有 4 个公共点，3 个穿过 x 轴，共有 4 个零点，其 中有 3 个变号零点．
A．0 C．4
B．1 D．3
2.下列函数中能用二分法解求：零能点用的二分是法（求函数零）点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
由图象可得，只有 C 能满足此条件． 故选：C．
在区间（0，0.5）上连续，可得其中一个零点 x0∈（0.0.5），使得 f（x0）=0， 根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 f（0.25）， 所以答案为：（0，0.5），f（0.25）． 故选 A．
典例分析：
例 3：用二分法研究函数 f（x）=x3﹣2x﹣1 的零点时，若零点所在的初始区间为 （1，2），则下一个有解区间为（ ） A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5）
由 f（2）f（ ）＜0
知根所在区间为（ ，2） 故选 B
解：由于 f（1.5）=﹣0.125＜0，f（1.5625）=0.12719726＞0， ∴函数 f（x）=x3﹣3x+1 在区间（1，2）上的零点为区间[1.5，1.5625]上的任何 一个值，∵精确度 0.1，∴近似值是 1.5，故答案为：1.5．
练习：用二分法研究函数 f（x）=x3+2x﹣1 的零点的第一次经计算 f（0）＜0，f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈_________，第二次计算__________，以上 横线应填的内容为（ ） A．（0，0.5），f（0.25） B．（0，1），f（0.25） C．（0.5，1），f（0解.7：5）由题意D可．知（：0对，函0数.5f） （，x）f（=x30+.21x2﹣51），∵f（0）＜0，f（0.5）＞0，且函数
解：二分法求函数 f（x）的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号， 而图中函数在零点 x3 的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出， 故选 C．
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 （2）下图是函数 f（x）的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点．给出下列四个 区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）
解：由图象可以看出函数在[﹣2.1，﹣1]，[1.9，2.3]，[4.1，5]，[5，6.1]上各 有一个零点对比四个选项，C 中的零点不能用二分法求，故选 C
A．[﹣2.1，﹣1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]
练习： 1.函数 f(x)的图象如图所示，函数 f(x)的变号零点个数为( )
高中数学 必修一
第二章 函数 第16节 二分法
第二章
第十六节
函数
二分法
必备新知
1.变号零点与不变号零点 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数 值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点 x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号 零点．如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.
二分法
课堂小结
课后练习
1.下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．
B．
C.
D．
解：由函数图象可得，A 中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，
故不能用二分法求零点；B，C，D 中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的
符号相反，故能用二分法求函数的零点，
故选：A．
2.用二分法研究函数 f（x）=x5+8x3﹣1 的零点时，第一次经过计算 f（0）＜0，f （0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A．（0，0.5）f（0.125） B．（0.5，1）f（0.25） C．（0.5，1）f（0.75） D．（0，0.5）f（0.25） 解：令 f（x）=x5+8x3﹣1，则 f（0）＜0，f（0.5）＞0， ∴f（0）•f（0.5）＜0，∴其中一个零点所在的区间为（0，0.5）， 第二次应计算的函数值应该为 f（0.25），故选：D．
解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0， ∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间（1，1.5）内， 取 x0=1.25． 故选：D．
典例分析：
解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438） 中，观察四个选项，与其最接近的是 C， 故应选 C
解：由图表知，f（1.5625）=0.003＞0，f（1.5562）=﹣0.0029＜0， ∴函数 f（x）=3x﹣x﹣4 的一个零点在区间（1.5625，1.5562）上， 故函数的零点的近似值（精确到 0.01）为 1.56，可得方程 3x﹣x﹣4=0 的一个近 似解（精确到 0.01）为 1.56， 故选：B
必备新知
2．二分法的原理 我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下一个小区间的方 法称为二分法．它是通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．
典例分析：
例 1：（1）用二分法求下图所示函数 （f xபைடு நூலகம்的零点时，不可能求出的零点是（ ）
3.在用二分法求方程 x3﹣2x﹣1=0 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间 （1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ） A．（1.8，2） B．（ ，2） C．（1， ） D．（1，1.2） 解：令 f（x）=x3﹣2x﹣1， 则 f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（ ）=﹣ ＜0
解：设函数 f（x）=x3﹣2x﹣1， ∵f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（1.5）=﹣ ＜0， ∴下一个有根区间是（1.5，2）， 故选：C．
练习：用二分法求函数 f（x）在区间（1，2）内的零点近似值的过程中，经计算 得到 f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（2）＞0，则下一次应计算 x0=（ ）时，f （x0）的值． A．1.75 B．1.625 C．1.375 D．1.25
A．
B．
C．
D．
典例分析：
例 2：设 f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程 3x+3x﹣8=0 在 x∈（1，2）内近似 解的过程中得 f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，f（2）＞0 则方程的根应 落在区间（ ） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
解析：选 D 由图可知，图象与 x 轴有 4 个公共点，3 个穿过 x 轴，共有 4 个零点，其 中有 3 个变号零点．
A．0 C．4
B．1 D．3
2.下列函数中能用二分法解求：零能点用的二分是法（求函数零）点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
由图象可得，只有 C 能满足此条件． 故选：C．
在区间（0，0.5）上连续，可得其中一个零点 x0∈（0.0.5），使得 f（x0）=0， 根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 f（0.25）， 所以答案为：（0，0.5），f（0.25）． 故选 A．
典例分析：
例 3：用二分法研究函数 f（x）=x3﹣2x﹣1 的零点时，若零点所在的初始区间为 （1，2），则下一个有解区间为（ ） A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5）
由 f（2）f（ ）＜0
知根所在区间为（ ，2） 故选 B
解：由于 f（1.5）=﹣0.125＜0，f（1.5625）=0.12719726＞0， ∴函数 f（x）=x3﹣3x+1 在区间（1，2）上的零点为区间[1.5，1.5625]上的任何 一个值，∵精确度 0.1，∴近似值是 1.5，故答案为：1.5．
练习：用二分法研究函数 f（x）=x3+2x﹣1 的零点的第一次经计算 f（0）＜0，f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈_________，第二次计算__________，以上 横线应填的内容为（ ） A．（0，0.5），f（0.25） B．（0，1），f（0.25） C．（0.5，1），f（0解.7：5）由题意D可．知（：0对，函0数.5f） （，x）f（=x30+.21x2﹣51），∵f（0）＜0，f（0.5）＞0，且函数
解：二分法求函数 f（x）的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号， 而图中函数在零点 x3 的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出， 故选 C．
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 （2）下图是函数 f（x）的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点．给出下列四个 区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）
解：由图象可以看出函数在[﹣2.1，﹣1]，[1.9，2.3]，[4.1，5]，[5，6.1]上各 有一个零点对比四个选项，C 中的零点不能用二分法求，故选 C
A．[﹣2.1，﹣1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]
练习： 1.函数 f(x)的图象如图所示，函数 f(x)的变号零点个数为( )
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第二章 函数 第16节 二分法
第二章
第十六节
函数
二分法
必备新知
1.变号零点与不变号零点 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数 值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点 x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号 零点．如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.
二分法
课堂小结
课后练习
1.下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．
B．
C.
D．
解：由函数图象可得，A 中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，
故不能用二分法求零点；B，C，D 中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的
符号相反，故能用二分法求函数的零点，
故选：A．
2.用二分法研究函数 f（x）=x5+8x3﹣1 的零点时，第一次经过计算 f（0）＜0，f （0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A．（0，0.5）f（0.125） B．（0.5，1）f（0.25） C．（0.5，1）f（0.75） D．（0，0.5）f（0.25） 解：令 f（x）=x5+8x3﹣1，则 f（0）＜0，f（0.5）＞0， ∴f（0）•f（0.5）＜0，∴其中一个零点所在的区间为（0，0.5）， 第二次应计算的函数值应该为 f（0.25），故选：D．
解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0， ∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间（1，1.5）内， 取 x0=1.25． 故选：D．
典例分析：
解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438） 中，观察四个选项，与其最接近的是 C， 故应选 C
解：由图表知，f（1.5625）=0.003＞0，f（1.5562）=﹣0.0029＜0， ∴函数 f（x）=3x﹣x﹣4 的一个零点在区间（1.5625，1.5562）上， 故函数的零点的近似值（精确到 0.01）为 1.56，可得方程 3x﹣x﹣4=0 的一个近 似解（精确到 0.01）为 1.56， 故选：B
必备新知
2．二分法的原理 我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下一个小区间的方 法称为二分法．它是通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．
典例分析：
例 1：（1）用二分法求下图所示函数 （f xபைடு நூலகம்的零点时，不可能求出的零点是（ ）
3.在用二分法求方程 x3﹣2x﹣1=0 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间 （1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ） A．（1.8，2） B．（ ，2） C．（1， ） D．（1，1.2） 解：令 f（x）=x3﹣2x﹣1， 则 f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（ ）=﹣ ＜0