5.3 第2课时 诱导公式五、六课件ppt

诱导公式的综合应用
例 3 已知
√2 π
sin(π-α)-cos(π+α)= 3 ( 2 <α<π),求下列各式的值:
(1)sin α-cos α;
(2)sin
3π
2
3 π
-α +cos
2
+α .
解 由
√2
sin(π-α)-cos(π+α)= ,
3
得 sin α+cos
√2
α= 3 ,①
2
将①两边同时平方,得 1+2sin αcos α= ,
△ABC 的三个内角.
分析首先利用诱导公式化简已知的两个等式,然后结合sin2A+cos2A=1,求
出cos A的值,再利用A+B+C=π进行求解.
【规范答题】
解 由已知得
sin = √2sin,①
√3cos = √2cos,②
由①2+②2,得 3cos2A+sin2A=2sin2B+2cos2B,化简得,2cos2A=1,∴cos
=sin 31°= 1-cos2 31° =
π
(2)cos
=sin
6
π
3
+α =cos
1
-α =2.
π
2
-
π
3
-α
1-2 .
π
π
延伸探究 1 将例 1(2)的条件中的“3 -α”改为“3 +α”,求 cos
5π
解 cos
=-sin
6
π
3
+α =cos
1
+α =-2.
π
π
+ +α
2
3
5π
6
+α 的值.
3
+ =(
3
A.
√7
C.
4
B.-
4
4
答案 A
解析 cos
=sin
π
4
π
4
π
π
2
4
+ =cos 3
- = .
4
)
-
√7
D.4
3.已知sin 10°=k,则cos 620°=(
A.k
)
B.-k
C.±k D.不能确定
答案 B
解析 cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260°
α-sin
α)(cos
α+cos αsin
2
7
22
α+sin α)= -3 × 1-18 =-27 .
2
反思感悟 诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问
题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:
π
(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关系有: -α
3
2√2
A.
3
1
C.-3
5π
1
π
+α =3,且-π<α<- 2 ,则 cos
12
1
B.3
2√2
D.-
3
π
-α
(
等于
12
)
答案 D
解析 因为
π
所以 cos
12
5
12
π
π+α +
-α =sin
π
-α
=
,
12
2
π
2
-
π
12
-α
=sin
π
7π
5π
π
2
12
12
12
5π
12
+α .
因为-π<α<- ,所以- <α+ <- .
sin -cos
sin
+1
cos
sin
-1
cos
=
,
sin +cos
sin -cos
∴左边=右边.故原等式成立.
π
-
2
(-sin )-1
1-2si n 2
-2sin cos -1
sin +cos
.
,
反思感悟 三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到
√2
A=± 2 .
当 cos
√2
A= 时,cos
2
√3
B= .
2
π
π
又 A,B 是三角形的内角,∴A=4 ,B=6 .
7
∴C=π-(A+B)= π.
12
当 cos
√2
A=- 时,cos
2
√3
B=- .
2
又 A,B 是三角形的内角,
3
5
4
6
∴A= π,B= π,A+B>π,不符合题意.
π
π
7
综上可知,A=4 ,B=6 ,C=12 π.
π
π
π
π
π
π
2π
π
3π
与6 +α;3 +α 与6 -α; 4 +α 与4 -α 等.常见的互补关系有:3 +α 与 3 -α; 4 +α 与 4 -α
等.
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得
到答案.
变式训练 2 已知 cos
- =cos α,cos -
3π
2
=cos
3π
2
-
=-sin α,tan(π+α)=tan α,
1
1
所以左边=ta n 2 + cos (-sin )tan =
故等式成立.
1
si n 2
co s 2
1
+ -si n 2 =
co s 2 -1
si n 2
si n 2
3π
2
=
.
答案 -sin2α
解析 原式=-sin(7π+α)cos
=-sin(π+α) -cos
π
-
2
=sin α(-sin α)=-sin2α.
3π
2
-
1
6.求证:ta n 2 (-) +
1
sin
π
-
2
·cos
3π
2
证明 因为 tan(-α)=-tan α,sin
π
2
=-1.
·tan (π+)
数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角时原函数
值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.
课堂篇 探究学习
探究一
利用诱导公式化简求值
例 1(1)已知 cos 31°=m,则 sin 239°tan 149°的值是(
1- 2
A.
B. 1-2

1- 2
C.-
D.- 1-2
=-si n 2 =-1=右边.
本 课 结 束
[激趣诱思]
同学们听了老师的记忆口诀后,更是摸不着头脑,老师随后进行了解释,同
学们茅塞顿开,都拍手叫好.
这句话和我们学习的诱导公式有什么关系呢?
[知识点拨]
知识点:诱导公式五、六
名师点析 1.名称:诱导公式五、六,
π
±α的正弦(余弦)函数值,分别转化为α
2
的余弦(正弦)函数值.
2.符号:函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
=-cos 80°=-sin 10°=-k.
cos (3π-)
4.化简:
·tan(2π-α)=
sin (-π+)
答案 -1
解析 原式=
cos (π-)
·tan(-α)
-sin (π-)
=
-cos
-sin
·-
sin
cos
=-1.
.
5.化简:sin(-α-7π)·cos -
1.若 sin
π
2
+ <0,且 cos
π
2
- >0,则 θ 是(
)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 B
解析 因为 sin
二象限.
π
2
+ =cos θ<0,cos
π
2
- =sin θ>0,所以角 θ 的终边落在第
2.若 sin
π
4
3
π
4
4
- = ,则 cos

(2)已知 sin
π
3
1
-α =2,则 cos
π
6
+α 的值为
.
)
答案 (1)B
1
(2)
2
解析 (1)sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)
=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)·(-tan 31°)=-cos 31°(-tan 31°)
π
-
2
(sin +cos )2
= si n 2 -co s 2 =
tan +1
右边= tan -1 =
3π
-
2
tan (9π+)+1
=
tan (π+)-1
(-sin )-1 -2sin π+
1-2si n 2
(-sin )-1
1-2si n 2
3π
+
2
-1
=
=si n 2 +co s 2 -2si n 2
cos (π+)sin
cos
-cos cos +cos
1-cos +1+cos
=1+cos + 1-cos = (1+cos )(1-cos )
=1-co s 2 = si n 2 =右边.故原等式成立.
π
+
2
-sin
2
3π
+
2
= si n 2 .
探究三
3
微判断
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角.(
(2)在△ABC 中,sin
π
π
2
2
A+B
2
C
=cos .(
2
)
(3)sin( +α)=sin[ -(-α)]=cos(-α)=cos α.(
答案 (1)× (2)√
)
)
(3)√
微拓展
π
诱导公式一~六可以概括为α+k·2 (k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶
方法点睛 在△ABC中,常用到以下结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,
sin
cos

2

2
+

+

2
2
=sin
=cos
π
2
−
π
2

2
−

2

=cos ,
2

=sin .
2
当堂检测
π
6
+α
7π
+α
.
的值
6
反思感悟 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
口诀是“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究二
利用诱导公式证明三角恒等式
3
2
π
2
2sin - π cos +
例 2 求证:
1-2co s 2
-2sin
证明 ∵左边=
=
2sin
9
7
故 2sin αcos α=-9.
π
∵ 2 <α<π,∴sin α>0,cos α<0.
7
16
(1)∵(sin α-cos α) =1-2sin αcos α=1- -9 = 9 ,
2
4
∴sin α-cos α=3.
(2)sin
3 π
3 π
-α +cos
2
4
3
3
2
+α
=cos
α-sin
α=(cos
延伸探究 2 将例 1(2)增加条件“α 是第二象限角”,求 sin
解 因为 α 是第二象限角,所以-α 是第三象限角,
又 sin
π
3
-α =2,所以3 -α 是第二象限角.
所以 cos
所以 sin
=-cos
π
1
π
√3
-α
=.
3
2
7π
6
π
+α =sin π+ 6 +α =-sin
π
√3
-α
=
.
3
2
又 cos
5π
12
1
π
5π
π
+α =3>0,所以-2 <α+ 12 <-12 ,
5π
所以 sin(12 +α)=-
5π
2
1-cos ( 12
1 2
+ )=- 1-(3) =-
2√2
3
.
素养形成
诱导公式在三角形中的应用
典例 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=-√2sin(π-B),√3cos A=-√2cos(π-B),求
左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆
角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧
妙简捷的方法.
cos (π-)
变式训练 1 求证:
cos sin
-cos
证明 左边=
cos (-cos -1)
1
1
2
2
3π
-
2
+
-1
+
cos (2π-)
3.作用:利用诱导公式五或六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
4.简记:“函数名改变,符号看象限”.
微练习
9
1
若 sin( 2 +θ)=3,则 cos(2π-θ)=
答案
.
1
3
9

1

1
1
解析 因为 sin( 2 +θ)=3,所以 sin( 2 +θ)=3,因此 cos θ=3.于是
1
cos(2π-θ)=cos(-θ)=cos θ= .
2023
第五章
第2课时 诱导公式五、六
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
π
1.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式( ±α的正弦、余弦、正