江西省白鹭洲中学高三数学上学期期中试题 文

数学试卷 （文科）
考生注意：
1. 本试卷设卷Ⅰ、Ⅱ两部分，试卷所有答题都必须写在答题卷上。

2. 答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3. 考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
1.若集合{}
0A x x =≥，且A B B =I ，则集合B 可能是 （ ）
A ．{}1,2
B ．{}
1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2.已知两个不同的平面,αβ和两个不重合的直线,m n ，有下列四个命题： ①若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥； ②若,,m m αβ⊥⊥则α∥β； ③若,m α⊥m ∥n ，n β⊂，则αβ⊥； ④若m ∥,,n ααβ=I 则m ∥n . 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.要得到3sin 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象只需将3sin 2y x =的图象 （ ） A ．向左平移
4个单位 B ．向右平移4个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8
π
个单位
4.若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 （ ） A ．1 B ．13-
C ．2
3
- D ．
5.已知焦点在y 轴上的椭圆
22
110x y m
+=的长轴长为8，则m 等于 （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．18
6.若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则2z x y =+的最大值等于 （ ）
A. 11
B. 10
C. 8
D. 7 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6= ( )
A. 63
B. 64
C. 31
D. 32 8.直线x －y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
－2x －1＝0有两个不同的交点的充要条件为 （ ） A ．－3＜m ＜1 B ．－4＜m ＜2 C ．m ＜1 D ．0＜m ＜1
9.若直线l 过点()0,A a ，斜率为1，圆2
2
4x y +=上恰有1个点到l 的距离为1，则a 的值为
（ ） A ．32 B ．32± C ．2± D ．2±
10.已知函数()f x 是R 上的可导函数，()f x 的导数()f x '的图像如图，则下列结论正确的是( )
A ．a, c 分别是极大值点和极小值点
B ．b ，c 分别是极大值点和极小值点
C ．f(x)在区间（a ，c ）上是增函数
D ．f(x)在区间（b ，c ）上是减函数
11.设1F 、2F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在
点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5
4
B ．2
C ．2
D ．
53
12.若直线:2x l y m =-+与曲线21:42
C y x =-有且仅有三个交点，则m 的取值范围是
（ ） A ．
()
21,
21-+ B ．()1,2 C ．()
1,21+
D ．()2,21+
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=o
，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的
中点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
_________.
14.若某几何体的三视图如右，该几何体的体积为2，则俯视图中的x =_________.
15.已知圆()()()2
2
:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为_________.
16.下列说法：
①“,23x
x R ∃∈>”的否定是“,23x
x R ∀∈≤”； ②函数sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=+
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最小正周期是π； ③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则()0f x '=”的否命题是真命题； ④()f x 是()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，0x >时的解析式是()2x f x =， 则0x <时的解析式为()2x f x -=-. 其中正确的说法是_________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17.(12分)已知直线:
14x y
l m m
+=- （1）若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；
（2）若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 是坐标原点，
求△AOB 面积的最大值及此时直线的方程．
18.(12分)如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=o
，AC BD O =I ．将菱形ABCD 沿 对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，22DM =． （1）求证：OM ∥平面ABD ； （2）求三棱锥B ﹣DOM 的体积．
19.(12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a S 在直线3
12
y x =-上． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列， 求数列1n d ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 20.(12分)已知函数()()2
1x
f x e
x
ax a =+-+，其中a 是常数.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在定义域内是单调递增函数，求a 的取值范围.
21.(12分)已知焦点在y 轴，顶点在原点的抛物线1C 经过点()2,2P ，以抛物线1C 上
一点2C 为圆心的圆过定点A （0，1），记,M N 为圆2C 与x 轴的两个交点． （1）求抛物线1C 的方程；
（2）当圆心2C 在抛物线上运动时，试判断MN 是否为一定值？请证明你的结论； （3）当圆心2C 在抛物线上运动时，记AM m =，AN n =，求
m n
n m
+的最大值． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分， 解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ， 且CB CE =.
（1）证明：D E ∠=∠；
（2）设AD 不是O e 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =， 证明：ABC ∆为等边三角形.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩
⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ， 求PA 的最大值与最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若,0,0>>b a 且
ab b
a =+1
1 （1）求3
3
b a +的最小值；
（2）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 白鹭洲中学2014-2015学年度
高三年级期中考试文科数学答案
1-6. A D C D C B 7-12. A A B C D B 13.4 14.2 15.
5
2
16. ①④ 8.试题分析：联立直线与圆的方程得：22
0210
x y m x y x -+=⎧⎨
+--=⎩，
消去y 得：2x 2
+（2m-2）x+m 2
-1=0，由题意得：△=（2m-2）2
-8（m 2
-1）=-4（m+1）2
+16＞0， 变形得：（m+3）（m-1）＜0，解得：-3＜m ＜1，
9. 试题分析： 圆上有1个点到直线的距离为1， 圆心到直线的距离等于3，圆心（0，0）
到直线l ：y=x+a 的距离为0032
2
a
a d -+=
=
=,解得
10. 试题分析：由已知得，在12PF F V 中，2122PF F F c ==，
由双曲线定义得，122PF a c ==，过点2F 作21F M PF ⊥，垂足为M ，则在2Rt PF M V 中有
，化简得
，
，得5
3
e =
． 11. 试题分析：构造函数g （x ）＝e x
·f （x ）－e x
，
因为g ′（x ）＝e x ·f （x ）＋e x ·f ′（x ）－e x ＝e x [f （x ）＋f ′（x ）]－e x >e x －e x
＝0，
所以g （x ）＝e x ·f （x ）－e x
为R 上的增函数．
又因为g （0）＝e 0
·f （0）－e 0
＝1，所以原不等式转化为g （x ）>g （0），解得x>0.
12. 试题分析：由题意得，曲线C 是由椭圆上半部分22
14x y +=和双曲线2214
x y -= 上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为12y x =-
，与直线1
:2
l y x m =-+平行； 当直线过右顶点时，直线与曲线C 有两个交点，此时，； 当直线与椭圆相切时，直线与曲线C 有两个交点，此时；
由图像可知，()
1,2m ∈时，直线与曲线C 有三个交点. 15. 试题分析：因为CPQ ∆的面积等于
1
sin 2
PCQ ∠,所以当90PCQ ∠=o 时CPQ ∆的面积最大，此时圆心到直线3y x =的距离为
22，因此325,2210
a a a -== 16. 试题分析：对于①，“∃x ∈R,2x
＞3”的否定是“∀x ∈R,2x
≤3”，因此①正确；
对于②，注意到sin ＝cos ，因此函数y ＝sin sin ＝
sin ·＝sin ，其最小正周期是＝，②不正确；
对于③，注意到命题“函数f(x)在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f(x)
在x ＝x 0处无极值，则f ′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x 3
，当x 0＝0时，③不正确；
对于④，依题意知，当x ＜0时，－x ＞0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x
，因此④正确
17. 试题解析：（1）直线过点,则
4
2
m
k
m
-
==
-
,则4
m=-
（2）由,则
则有最大值2,直线的方程为
18. 试题解析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．
又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴DO=，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=，AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，
∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．
由OD=2，，
所以.
19. 试题解析：（1）由题设知，
得，
两式相减得：，即，
又得，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
∴． 5分（2）由（Ⅰ）知，
因为，所以所以
8分
令，
则①
②
①- ②得 10分
12分20. 试题解析：(Ⅰ)由可得
．
当时,
所以曲线在点处的切线方程为
即
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
若是单调递增函数，则恒成
立，
即恒成立，∴，
，所以的取值范围为．
21. 试题解析：（1）由已知，设抛物线方程为，，解得．
所求抛物线
的方程为
．
（2）法1:设圆心，则圆的半径=
圆C 2的方程为．
令
，得
，得
．
（定值）．
法2:设圆心，因为圆过
，所以半径=，
因为
在抛物线上，，且圆被轴截得的弦长
=
（定值）
（3）由（2）知，不妨设
，
22.解：
（I ）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠， 由已知得CBE E ∠=∠，故.D E ∠=∠ ……5分 （II ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB=MC 知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上. 又AD 不是O e 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即.MN AD ⊥ 所以AD BC P ，故.A CBA ∠=∠
又CBE E ∠=∠，故.A E ∠=∠由（I ）知，
D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形 .…10分 23.解：
（I ） 曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨
=⎩，
，
（θ为参数）
直线l 的普通方程为260.x y +-= ……5分 （II ） 曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )p θθ到l 的距离为
3sin 6.d θθ=
+-
则)6sin 30d PA a θ=
=+-︒，其中a 为锐角，且4
tan .3
α=
当sin()1θα+=-时，PA 取得最大值，最大值为
5
当sin()1θα+=时，PA 取得最小值，最小值为
5
……10分 24.解：
（I 11
a b =
+≥，得2ab ≥，且当a b ==.
故33
a b +≥≥a b ==
.
所以33a b +的最小值为……5分
（II ）由（I ）知，23a b +≥≥
由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……10分。