chapter2解线性方程组的直接法

=>
m ik =
(k) a ik
a (k) kk
( ( ( a ijk + 1 ) = a ij k ) a kjk ) m ik ( b i( k + 1 ) = b i( k ) b k k ) m ik
i , j = k + 1,..., n i = k + 1,..., n
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Guass消元法例 Guass消元法例
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Guass消元法 Guass消元法
Gauss消元法 2,Gauss消元法 基本思想:对方程组逐个消元, 基本思想:对方程组逐个消元,化为一个同解 上三角方程组——消元过程;然后用回代法求 消元过程; 上三角方程组 消元过程 —回代过程 回代过程. 解—回代过程.
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Guass消元法 Guass消元法
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2.2 Guass消元法
1,三角形方程组的解—回代法 三角形方程组的解— 上三角方程组的一般形式: 上三角方程组的一般形式:
a11 x1 + a12 x 2 + + a1 n x n = b1 a 22 x 2 + + a 2 n x n = b 2 a nn x n = b n
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解线性方程组的方法
线性方程组的数值解法分为直接法和 线性方程组的数值解法分为直接法和迭代法 直接法 直接法:经过有限步计算就能得到方程组" 直接法:经过有限步计算就能得到方程组"准 确解"的方法.如消元法及其派生方法. 确解"的方法.如消元法及其派生方法. 迭代法:是一种逐次逼近法,从一个假设解开 迭代法:是一种逐次逼近法, 通过一系列的迭代求解, 始,通过一系列的迭代求解,最后产生满足精度要 求的近似解的方法. Jacobi迭代法 Seidel迭代 迭代法, 求的近似解的方法.如Jacobi迭代法,Seidel迭代 法. 本章主要学习解线性方程组的直接法. 本章主要学习解线性方程组的直接法.
1 第k次消元 Lk = 1 m k + 1, k m n ,k 1 1
x1 = b1 / a11 i 1 xi = (bi ∑ aik xk ) / aii k =1 (i = 2,3,,n)
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三角形方程组求解例
例1:用回代法解线性方程组
2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 6 0 .5 x 2 4 x3 = 4 - 2 x3 = 4
解: x3=2 x2=(-4+4*2)/0.5=8 x1=-13
主元a 主元 11
1 1 2 → 0.000100 1 1
回代得: 回代得:x = (1.0000 ,1.0000 )T
与准确解 x*=(9998/9999,10000/9999)T相差不大. 相差不大.
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Guass列主元消元法的程序实现
程序实现:二维数组存储增广矩阵( b),一维数组x ),一维数组 程序实现:二维数组存储增广矩阵(A b),一维数组x, 一维数组p={1,2,…,n} 记录方程组中方程顺序. p={1,2,…,n}— 一维数组p={1,2,…,n}—记录方程组中方程顺序. 第i (i=1,2,…,n-1)步主元消元 (i=1,2,…,n-1)步主元消元 ①选取r≥i ,满足|a[p[r]][i]| ≥ |a[p[j]][i]|, 其中j=i,i+1,…,n ②若|a[p[r]][i]|<ε,方程无解,退出. ③若i≠r,p[i] j=i+1,…,n 复杂度分析: 复杂度分析:O(n3)
其中
行变换相 当于左乘 初等矩阵
1 m21 1 L1 = m 1 n1
m i1 =
1 a i(1 ) (1 a 11 )
i = 2 ,3 , , n
( ( ( a ij2 ) = a ij1) m i1 a11j) (i, j = 2 . , n )
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不带行交换的消元过程
得到同解方程组的消元依据: 得到同解方程组的消元依据:
a1 a2 A = a i = (a i1 an a in )
ai 2
ai bi x = a j ai * c b j bi * c
ai bi x = a j b j
2 2 2
3 3
b1(1) ( b22 ) (3) b3 ( n 1) b n 1 ( bnn )
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Guass消元法 Guass消元法
以 a ( k ) 为枢纽,消去 kk
( a ikk ) , ( i = k + 1,..., n ) :
( a ikk ) a ( k ) m ik = 0 kk
( n 1)( n + 1) n!
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2.3
Gauss列主元消元法
Guass消元中位于主对角线(i,i)位置上的元素 称为主元. 主元消元法原理: 主元消元法原理:在第i步消元前,按照某种策略, 选取ari (r=i,i+1,…,n)作为枢纽(该数称为主元), 并进行方程位置的调整,再进行消元. 列主元消元法: 列主元消元法:在第i步消元前,选取 a ji , j = i, i +1,, n 中绝对值最大的作为主元.
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Guass消元法 Guass消元法
消元顺序: 消元顺序:
(1 a11 ) 1 1 1 1 (1 a 12 ) (2 a 22 ) (1 a13 ) (2 a 23 ) (3 a 33 ) ( a11)1 n ( a 22 )1 n ( a 33 )1 n ( a nn 1)1 1 n n 1 ( a 11) n ( a 22 ) n ( a 33 ) n ( a nn 1) 1 n (n a nn )
矩阵表示: 矩阵表示:Ax=b
a11 a 21 A= a n1 a12 a 22 an 2 a1 n b1 a2n b2 , b = b a nn n x1 x2 , x= x n
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线性方程组的应用
通解代入初始数据, 递归方程求解 — 通解代入初始数据,解 线性方程组 经济(线性规划) 实际应用中 — 经济(线性规划) ,科 学计算等 对线性方程组的研究, 对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早 1500年 记载在公元初《九章算术》 1500年,记载在公元初《九章算术》方程 章中. 章中.
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Guass列主元消元法例
例3:用Gauss消元和列主元法解线性方程组.
0 . 0001 x1 + x 2 = 1 x1 + x 2 = 2 小主元a11 小主元
[Guass]方程组的准确解为 方程组的准确解为x*=(9998/9999,10000/9999)T. 解: [Guass]方程组的准确解为
0.000100 1 1 A = ( A, b ) = 1 1 2
→
m21 =10000
1 1 0.000100 4 4 0 1.00 × 10 1.00 × 10
回代求解 x2=1.0000,x1=0.0000. 计算结果相当糟糕. 计算结果相当糟糕.
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原因:求行乘数时用了"小主元"0.0001作除数. 原因:求行乘数时用了"小主元"0.0001作除数. 作除数
Байду номын сангаас
aii ≠ 0, i = 1,2,, n
上三角方程组的解: 上三角方程组的解:
x n = bn / a nn n x i = (bi ∑ a ik x k ) / a ii k = i +1
i = n-1,n- 2 , ,1
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下三角形方程组的解— 下三角形方程组的解—回代法
下三角方程组的一般形式: 下三角方程组的一般形式: a11 x1 = b1 a x + a x = b 21 1 22 2 3 aii ≠ 0, i =1,2,, n an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn = bn 下三角方程组的解: 下三角方程组的解:
(1 (1 ( ( a11) a12) a11) b11) n ( 2) ( 2) ( 2) 0 a22 a2n b2 (1) (1) = ( A(2) , b(2) ) = L1 ( A , b ) 0 a (2) a ( 2) b(2) nn n n2
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2.4 消元过程与系数矩阵的分解
Gauss消元过程可以用矩阵乘法实现.分为两种情况: Gauss消元过程可以用矩阵乘法实现.分为两种情况: 消元过程可以用矩阵乘法实现 1.不带行交换的消元过程 1.不带行交换的消元过程 消元的每一步等价于左乘初等下三角矩阵, 消元的每一步等价于左乘初等下三角矩阵,即:对k=1,有 k=1,有
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p[r]
④以a[p[i]][i]为枢纽,消去a[p[j]][i] ,
消元法的计算中断
注意: 非奇, 注意:若A非奇,总可通过带有行交换或不带有行交换的 消元过程, 化成非奇三角矩阵.因此, 消元过程,将A化成非奇三角矩阵.因此, 回代求解 过程也可进行到底. 过程也可进行到底. 但实际中,A是否非奇异难以判定.算法应考虑: 但实际中,A是否非奇异难以判定.算法应考虑: ,A是否非奇异难以判定 1,消元过程某一步找不到非零元,于是计算中断. 消元过程某一步找不到非零元,于是计算中断.
Gauss消元法解线性方程组 消元法解线性方程组. 例2:用Gauss消元法解线性方程组. 2 x1 + 2 x2 + 3x3 = 3 4 x1+7 x2+7 x3=1 2 x +4 x +5 x =-7 =②-①*(4/2) - 1 2 3
① ② ③ ① ② ③ 2 4 -2 2 0 0 2 7 4 2 3 0 3 7 5 3 1 6 3 1 -7 3 -5 6 ① ② ③ 2 0 0 2 3 6 3 1 8 3 -5 -4
Guass列主元消元法例
解: [列主元]若上题在求解时将1,2行交换,即 列主元]若上题在求解时将1,2行交换, 1,2行交换
0.000100 1 1 A = ( A, b ) = 1 1 2
1 2 1 → 0 1.00 1.00
m21 = 0.0001
r1 → r2
(n 消元可进行到底, 2,消元可进行到底,但 a nn ) = 0 ,回代求解过程无法 进行. 进行.
算法设计要考虑以上情况,给出计算中断的信息. 算法设计要考虑以上情况,给出计算中断的信息.
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关于主元消元法
列主元算法在实际中应用较广. 列主元算法在实际中应用较广. 全面选主元"算法: "全面选主元"算法: 即在第k步消元前, 即在第k步消元前, k+1,…,n 1. 求|ap,q | =max | ai,j| (i,j= k+1,…,n ); 作为主元; 2. 交换 i与p行,j与q列,把ap,q作为主元; 交换x 3. 交换xj与xp. 误差分析与数值试验证明: 误差分析与数值试验证明: 稳定的" "全面选主元 "消去法是数值 "稳定的".
= ③ -①*(-2/2) = ③ -② *(6/3)
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Guass消元法效率及不足
程序实现: 程序实现:二维数组存储增广矩阵 A = ( A b ) 一维数组x 复杂度分析: 复杂度分析:O(n3) Guass消元法的不足: Guass消元法的不足: 消元法的不足 =0时无法继续消元 时无法继续消元; (1) aii=0时无法继续消元; 很小时, 很大,产生舍入误差, (2) aii很小时,aji/aii很大,产生舍入误差, 解失真. 解失真. O(n3/3) Cramer法则
第二章 解线性方程组的直接法 深圳大学计算机系
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2.1 引言
n元方程组的一般表示: 元方程组的一般表示:
a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 a x + a x + + a x = b 21 2 22 2 2n n 2 a n1 x1 + a n 2 x 2 + + a nn x n = b n