2018-2019学年上海市控江中学高二上学期期中质量调研数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市控江中学高二上学期期中质量调研数
学试题
一、单选题
1．直线220x y ++=与直线210x y -+=的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直
D.重合
【答案】B
【解析】利用两直线中x 的系数积与y 的系数积之和为0，即可得到两直线垂直． 【详解】
由题意，直线220x y ++=与直线210x y -+=中，
可得12210⨯+⨯-=（），所以直线220x y ++=与直线210x y -+=的位置关系是垂直． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．
2．已知向量,,a b c ，若1a b ⋅=且a 与c 不平行，则下列结论不正确的是（ ） A.1b a ⋅= B.()()a b c a b c ⋅=⋅ C.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅
D.()()a b a b λλ⋅=⋅ 【答案】B
【解析】根据向量的数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律，即可求解． 【详解】
由题意，对于A 中，根据向量的数量积的运算，可得1b a a b ⋅=⋅=，所以A 正确； 对于C 中，根据向量的运算性质，可得()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，所以C 正确； 对于D 中，根据向量的运算律，可得()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅，所以D 正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的运算律及其应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算法则是解答的关键，属于基础题目．
3．如图已知(4,0),(0,4),(0,0)A B O ，若光线L 从点(2,0)P 射出，直线AB 反射后到直线OB 上，再经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为（ ）
A.2y x =-
B.24y x =-
C.12
33
y x =
- D.36y x =-
【答案】D
【解析】由点P 关于y 轴的对称点1(2,0)P -，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点2(,)a b P 列方程组求出4a =，2b =，从而求出直线:320MN x y -+=，联立
320
40x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩
，得M 点坐标，由此能求出光线L 所在的直线方程． 【详解】
由题意知，过点40A （,）和点(0,4)B 的直线为40x y +-=，且点20P （，）
， 设光线分别射在AB 、OB 上的M 、N 处， 由于光线从点P 经两次反射后又回到P 点，
根据反射规律，则,PMA BMN PNO BNM ∠=∠∠=∠
作出点P 关于OB 的对称点1P ，作出点P 关于AB 的对称点2P ，
则21
P MA PMA BMN PNO PNO BNM ∠=∠=∠∠=∠=∠， 所以12P N M P ，，，共线，
因为245P AB PAB ∠=∠=︒，所以2P A OA ⊥，
点P 关于y 轴的对称点120P -（，
） 设点P 关于直线40AB x y +-=：的对称点2P a b
（，）
(1)12
20402
2b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-∴⎨++⎪+-=⎪⎩，解得4,2a b == ∴直线2
:
242
y MN x =++，即320x y -+= 联立32040
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，得53
,22x y ==
∴直线3
2 :
522
2
y
PM x =--，即光线L 所在的直线方程为36y x =- 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 4．若数列{}n a 满足112a =
且1n a +=，则2018a 为（ ）
A.
6
3
B.
15
+ C.0
D.1
【答案】A
【解析】设n n a tan θ=
，而2tan
12
π
=，可得1tan tan 12n n πθθ+⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，得到12n n a a +=，再由周期性，即可求解．
【详解】
设n n a tan θ=
，而1sin 6
2tan
12
1cos
6
π
π
π
=
==
=+，
所以1tan tan
12tan 121tan tan 12
n n n n
a π
θπθπθ++⎛⎫=
=+ ⎪⎝⎭-，即1tan tan 12n n πθθ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
则()1211tan tan 12tan 1212n n n n n n a tan a ππθθθπθ++⎛⎫
⎛⎫
=+
=+⨯=+== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
所以201812168226
3a a a ⨯+====．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
二、填空题
5．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．
【答案】()21，
【解析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】
由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，
所以直线的一个方向向量为12-（，）
，所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为：21（，） 【点睛】
本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．
6．二元一次方程1
20x y x y +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______．
【答案】111210⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】根据二元一次方程组，求得增广矩阵，即可得到答案． 【详解】
由题意，二元一次方程120
x y x y +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵111210⎛⎫
⎪⎝⎭．
故答案为：111210⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查了增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题． 7．若(1,1),(2,1)a b =-=-，则⋅=a b ______．
【答案】3
【解析】直接利用向量的数量积的运算公式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，向量(1,1),(2,1)a b =-=-，
根据向量的数量积的运算公式，可得则213a b ⋅=+=． 故答案为：3． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．
8．行列式1
23
4
56789
中，6的代数余子式的值是______． 【答案】6
【解析】根据代数余子式的定义得到6的代数余子式2312
A 78
=，利用行列式的展开，
即可求得答案． 【详解】
由题意，可得6的代数余子式2312
(1827)678
A =-=-⨯-⨯=．
故答案为：6． 【点睛】
本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题． 9．若向量(,1),
(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．
【答案】0或-3
【解析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】
由题意，向量(,1),
(2,1),a x b x x x R ==-+∈，
因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为：0或3-． 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线10x y -+=的夹角为______． 【答案】15°
【解析】先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角，得到答案． 【详解】
由题意，直线l 的一个方向向量(1,3)d =，可得直线l 的斜率为1
= 所以直线l 的倾斜角为60°．
又直线10x y -+=的斜率为1，故直线10x y -+=的倾斜角为45°， 所以l 与直线10x y -+=的夹角为604515︒-︒=︒． 故答案为：15°． 【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的应用，其中解答中熟练应用直线的倾斜角和斜率的关系，求得两直线的倾斜角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．已知数列{}n a 是以1首项的等比数列，其各项和2S =，则{}n a 的公比q =______． 【答案】
12
【解析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为2，列出方程，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，因为2S =，可得，
12,||11a q q =<-且0q ≠，即12(1)q =-，解得1
2
q =． 故答案为：1
2
． 【点睛】
本题主要考查了无穷等比数列的前n 项和，而无穷等比数列的各项和，即当1q <且
0q ≠时前n 项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n 项和的极限
存在则可得1q <且0q ≠，这也是考生常会漏掉的知识点．
12．已知12(1,1),(2,3)P P =-=，若P 在12PP 的长线上，且122||2||PP P P =，则点P 的坐标为______． 【答案】7
,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式，即可求出结果． 【详解】
由题意，因为点P 在12PP 的延长线上，且122||2||PP P P =， 所以213PP PP =-，可得3
λ=-， 又由121123P P =
-=（，）、（，）， 设P x y （，），可得121(3)271132x x x λλ+-+-⨯=
==+-，121(3)3
4113
y y y λλ++-⨯===+-
所以点P 的坐标为7,42
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
故答案为：7
,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用，以及向量的共线条件的应用，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．． 13．已知向量||3,||2==a b ，且(2)()5a b a b -⋅+=，则a 在a b +投影为______．
【答案】【解析】由向量的数量积的运算公式，求得4a b ⋅=-，进而求得||5a b +=
，再利
用投影的公式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得22(2)()25a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=， 可得4a b ⋅=-，所以22
2||()25a b a b a a b b +=
+=+⋅+=，
又由
()||5
a a
b a b ⋅+==+a 在a b +
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的投影的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14．若直线l 经过点(2,1)M -，且以(0,3),(1,4)A B --为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是______．
【答案】[][0arctan3tan 2arc ππ⋃-，
，） 【解析】利用斜率公式，结合图象和反三角函数，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据斜率公式，可得3141
230(2)12
MA MB k k ---=
=-==---+，，
∵直线l 与0314A B --（，）、（，）为端点的线段相交， ∴直线l 的斜率k 满足23k -≤≤
∴直线l 的倾斜角的取值范围是[][0arctan3tan 2rac ππ⋃-，，）
故答案为：[][0arctan3tan 2arc ππ⋃-，，）．
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中分别求得直线,MA MB 的斜率，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理能力与计算能力，属于
基础题．
15．如图，在OAB 中,
OA a OB b ==，若点M 分AB 所成的比为2:1，若点N 分
OA 所成的比为3:1，OM 和BN 交于点P ，则OP 可用,a b 表示为______．
【答案】
33105
a b + 【解析】运用平面向量基本定理和三点共线，分别求得OP ，即可求得,λμ的值，得到答案． 【详解】
根据题意得，O ，P ，M 三点共线， 所以11
2()333
OP OM OB BM OB BA OA OB λλλλλ⎛
⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭……① 又B ，P ，N 三点共线，
所以33
()44
BP BN ON OB OA OB OA OB μμμμμ⎛⎫==-=-=-
⎪⎝⎭ 则3
(1)4OP OA OB μμ=
+-……..② 由①②得
132
,134
3λμλμ==-，所以29,510
μλ==， 所以33
105OP a b =
+． 故答案为：33105
a b + 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及三点共线的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，合理求得向量OP 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
题．
16．平面向量满足，则的最小值为______．
【答案】 【解析】因为
，即
，所以
，则，又
，联立两个等式可得
，因为
，所以
，即
，故
，应填答案。

三、解答题
17．设常数m R ∈，利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组，并对其解的情况进行
讨论：2(1)2x m y m
mx y ++=⎧⎨
+=⎩
【答案】见解析
【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出x y D D D ，，，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当21m m ≠-≠，时，（2）当1m =时，（3）当2m =-时，分别求解方程组的解即可． 【详解】
由题意，可得行列式21211(2)(1)1
m D m m m m m
+=
=⨯-+=+-（），
1221x m m D m +=
=--，
()22222
y m D m m m m
=
=+--（）（）
， （1）当21m m ≠-≠，时，0D ≠，原方程组有唯一组解，即11
21x m m y m ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，
（2）当1m =时，030x D D ==-≠，，原方程组无解；
（3）当2m =-时，000x y D D D ===，，，原方程组有无穷组解． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
18．已知(3,4),a b =-是与a 方向相同的单位向量，c 是与a 垂直的单位向量． （1）求b ；
（2）求a 与()b c -的夹角大小．
【答案】（1）3
4,55b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）4
π 【解析】（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．
（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．
【详解】
（1）由题意，向量(3,4)a =-，可得||5a =，
又由b 是与a 方向相同的单位向量，所以34,||55a b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
， （2）由c 是与a 垂直的单位向量，所以43,55c ⎛⎫= ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 当43,55c ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，可得17(,)55b c -
=--， 则173()(4)()()5cos 2||||a b c a b c θ⨯-+-⨯-⋅-===-，解得4πθ=， 当43,55
c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
时，可得71(,)55b c -=-， 则713(4)()()5cos 2||||5a b c a b c θ⨯+-⨯-⋅-===-⨯，解得4πθ=， 综上可得4πθ=
．
【点睛】
本题主要考查了向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19．已知直线l 上两个点()()0330A C ，
、，，其中O 为坐标原点． （1）若1433
OD OA OC =+，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系； （2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量OB mOA nOC =+，
则1m n +=
【答案】（1）点D 的坐标为()41，,点D 不在直线l 上（2）证明见解析
【解析】（1）运用平面向量的坐标表示，求得D 的坐标，即可判定，得到结果； （2）运用平面向量基本定理，求得(1)OB OC OA λλ=+-，进而求得,m n ，即可得到结果．
【详解】
（1）由题意，向量14033001404133
OD ==+=+=（，）（，）（，）（，）（，）， 所以点D 的坐标为(4,1)，又因为14133
+≠，所以点D 不在直线l 上． （2）因为点B 是直线l 上的一点()AB AC OC OA λλ==⋅-，
所以OB OA OC OA λλ-=-，即(1)OB OC OA λλ=+-，
又由OB OA nOC +=，可得得1,m n λλ=-=，
所以11m n λλ+=-+=
所以命题得证．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟
练应用平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．已知1
*113(1)(2)1,,2n n
n n n n n a b b a b n N -+++-+=-+=∈且12a = （1）求23,a a
（2）求{}n a 的通项公式；
（3）设{}n a 的前n 项和为n S ，求{}1n n S S +-的前n 项和．
【答案】（1）232a =-,38a =（2）12,12,2
n n n n a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数（3）见解析 【解析】（1）令1n =和2n =，结合数列的递推式计算可得所求值；
（2）讨论n 为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式； （3）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．
【详解】
（1）由题意，因为1
3(1)2n n b -+-=，可得()()
21
n n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数， 由11(2)1n n n n n a b b a +++=-+， 所以当1n =时，1221a a +=-，又由12a =，解得232a =-
， 当2n =时，2325a a +=，解得38a =．
（2）当n 为奇数时，1221n n n a a ++=-+，
当n 为偶数时，1221n n n a a ++=+，
可得n 为奇数时，121212n n n n a a ++++-=-，即有232n n n a a +-=⋅，
由3231532323232n n n a a a a a a ---=⋅-=⋅⋯-=⋅，，，， 累加可得32112142322232214
n n n n a a --⎛⎫- ⎪⎝⎭-=⋅++⋯+=⋅=--)(， 即有2n n a =（n 为奇数），
当n 为偶数时，111122222
n n n n a -=+-=-（
）， 综上可得12,12,2
n n n n a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数． （3）{}n a 的前n 项和为n S ， 当n 为偶数时31311222222224
n n n n n S --=++⋯++⋅-+++⋯+=（）（）， 当n 为奇数时，1124
n n n n n S S a --=+=+
所以当n 为偶数时，1112n n n n S S a +++-==
{}1n n S S +-的前n 项和为：
313512312222224
n n n n a a a -++++⋯+=-+++⋯++++⋯+（）（）1224n n +=-+， 当n 为奇数时，{}1n n S S +-的前n 项和为
21112222244n n n n +---++=-+ 综上可得，当n 为奇数时，所求和为11224
n n +--+，当n 为偶数时，所求和为1224
n n +-+． 【点睛】
本题主要考查了数列的通项公式，以及数列求和公式的应用，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．
21．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB BO ==，
AB BO ⊥，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形锯成AMN ，设直线MN 的斜率为k ，问：
（1）求直线MN 的方程；
（2）若OMP 的面积为OMP S ，求()OMP f k S =的表达式；
（3）若S 为AMN 的面积，问是否存在实数m ，使得关于S 的不等式()
212S m S ≥-有解，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）1142y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2）211132(1)22OPM k S k k ∆-⎛⎫=-≤≤ ⎪-⎝⎭
（3）存在，18m ≤ 【解析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线MN 的方程，得到答案；
（2）联立直线方程求出直线交点,M N 的坐标，进而求得k 的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由12
OPM S OM d =⋅，即可得到答案； （3）根据有解问题最值法，先分离变量,m S ，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解．
【详解】
（1）依题意，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线MN 的斜率为k ， 由直线的点斜式方程，可得直线MN 的方程为1142y k x ⎛⎫-
=- ⎪⎝⎭． （2）由题意，因为1AB OB AB OB ⊥==，，
可得直线OA 方程为y x =，直线AB 方程为1x =， 联立方程组11()42y k x y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，解得2121,4444k k M k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因为21044
k k -≥-，所以12k ≤或1k >， 又由11421y k x x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，解得21(1,)4k N +，∵2104k +≥，∴12k ≥- 所以1122
k -≤≤
由弦长公式可得OM = 又由点P 到直线OM
的距离为1
d =， 所以12111,232(1)22OPM k M S O d k k ∆-⎛⎫=⋅=-≤≤ ⎪-⎝⎭
． （3）由题意，可得114(1)4321AMN S k k ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦
， 设11141122t k k k ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪-⎝⎭
（），
令1m k =-，即113422t m m m ⎛⎫=+
≤≤ ⎪⎝⎭，函数t 在13[,]22为单调递增函数， 所以当12m =
时，t 的最小值为4t =，当32m =时，t 的最大值为203t =， 即2043t ≤≤，所以1143
AMN S ≤≤， 又212S m S ≥-（）且111232
S ≤-≤， 所以22111,s 1243111s m S s ⎡⎤≤=∈⎢⎥-⎣⎦⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，，可得21111s ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最小值为18， 所以实数m 的取值范围是18
m ≤
． 【点睛】
本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题，属于难题．。