二次函数区间最值问题专题训练

二次函数区间最值问题专题训练
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣5（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若抛物线与y轴的一个交点为A（0，﹣4），且当m≤x≤n时，y的取值范围是﹣5≤y≤n，结合函数图象，直接写出一个满足条件的n的值和对应m的取值范围．
2．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣且与x轴相交于点A（﹣6，0），与y轴相交于点C，直线l：y＝2x+b经过点C．
（1）求该抛物线与直线l的表达式；
（2）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠P AC＝45°时，求m的值．
3．【概念认识】
已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．
【数学理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是；
（2）求证：反比例函数y＝（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；
（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”
形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．
4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．（Ⅰ）当k＝2时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（Ⅲ）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（Ⅳ）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（x P，y P），当1≤x P≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
6．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
7．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；
（1）求点C的坐标；
（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．
①求二次函数的表达式；
②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，
D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．
8．如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；
若不存在，请说明理由．
9．综合与探究：
如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OA＝OC＝3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△ACD的形状并说明理由；
（3）如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求△CAN面积S与n的函数关系式及S的最大值；
（4）在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAB＝∠ABC，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知二次函数y＝mx2﹣10mx﹣2m2+26．
（1）求此二次函数图象的顶点坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），试求m的值；
（3）当m＜0时，若点（n，y1）、（n+2，y2）都在二次函数图象上，且y1＜y2．试求n 的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．
12．已知面积为1的等腰直角三角形的三个顶点均在抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，且a ＞0）上，其中直角顶点与抛物线顶点重合．
（1）求a的值；
（2）若直线y＝t（t≤4）与抛物线y＝ax2+bx（a＞0）有公共点．
①求t的取值范围；
②求关于t的函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值．
13．已知函数y1＝（x﹣m）2+m（x）和y2＝﹣（x﹣m）2+2（x m），其中m 为常数．在平面直角坐标系中，y1与y2的图象合在一起组成的图形记作G．
（1）当x＝m时，求y1的值（用含m的代数式表示）．
（2）当m＝﹣3时，点P（﹣2，a）和Q（﹣1，b）均在图形G上，比较a与b的大小关系．
（3）当图形G与直线y＝2有且只有两个公共点时，求m的取值范围．
（4）当﹣2≤x≤2时，图形G上最低点的纵坐标记作y min，若y min≥﹣，直接写出m 的取值范围．
14．已知函数y＝，将此函数的图象记为G．（1）当m＝1时，
①直接写出此函数的函数表达式；
②P（﹣1，a）在图象G上，求点P的坐标；
③当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）设图象G最低点的纵坐标为y0，当﹣7≤y0≤﹣2时，直接写出m的取值范围；
（3）矩形MNPQ的顶点坐标分别为M（m，m）、N（m+2，m）、P（m+2，0）、Q（m，0），若图象G落在矩形MNPQ内部的部分图象所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围；
（4）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣4，0），C（3，0），D（3，3），若函数y＝，在m﹣1≤x≤m+1范围内的图象与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，求m的取值范围．
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C，在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．
16．平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．
（1）当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB ＝90°，求点D的坐标；
（3）若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S，
①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；
②当时，直接写出m的取值范围．
17．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m﹣1）2和直线，m为常数，且m≥1．（1）若该抛物线的顶点在x轴上，
①求m的值；
②若直线与抛物线相交于M，N两点，点P为线段MN上一动点，过P作x轴
的垂线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（2）若直线与抛物线相交于A、B两点（B在对称轴的右边），且与抛物线的对称轴相交于C点，当CO＝CB时，求抛物线的顶点坐标．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c ≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与直线y＝﹣3有且只有一个公共点．
（1）直接写出抛物线的顶点D的坐标，并求出c与a的关系式；
（2）若点P（x，y）为抛物线上一点，当t≤x≤t+1时，y均满足﹣3≤y≤at2﹣3，求t 的取值范围；
（3）过抛物线上动点M（x，y）（其中x≥3）作x轴的垂线l，设l与直线y＝﹣ax+2a ﹣3交于点N，若M、N两点间的距离恒大于等于1，求a的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），过A作线段AB∥y轴（B在A下方），以AB 为边向右作正方形ABCD．设点B的纵坐标为m，二次函数y＝ax2﹣4ax的图象的顶点为E．
（1）AB＝．（用含m的代数式表示）；
（2）当点A恰好在二次函数y＝ax2﹣4ax的图象上时，求二次函数y＝ax2﹣4ax的关系式．
（3）当点E恰为线段BC的中点时，求经过点D的反比例函数的关系式；
（4）若a＝m+1，当二次函数y＝ax2﹣4ax的图象恰与正方形ABCD有三个交点且二次函数顶点E不位于直线BC下方时，直接写出m的值．
21．已知抛物线y＝ax2+bx经过点（2，8），（4，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P（x1，y1），Q（x2，y1）均在该抛物线上，且x1＜x2≤4，求的取值范围；
（3）若点A为抛物线上的动点，点B（3，7），则以线段AB为直径的圆截直线y＝所得弦的长是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．。