2017-2018学年黑龙江省穆棱林业局第一中学高二上学期期中考试数学(文)试题 解析版

黑龙江省穆棱林业局第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试
数学（文）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】特称命题的否定为全称，所以命题“”的否定是“”.
故选C.
2. 将两个数交换，使，下列语句正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将两数进行交换需要第三个变量c，只需，，即可实现两数交换.
故选D.
3. 甲、乙两同学在10次测试中的成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示测试成绩的十位数，两边的数字表示测试成绩的个位数，则这10次测试中甲、乙两人测试成绩的极差分别为（）
A. 22，23
B. 17，21
C. 21，24
D. 24，25
【答案】B
【解析】甲测试成绩的极差为：35-18=17，，乙测试成绩的极差为：32-11=21.
故选B.
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】且.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
5. 已知双曲线的实轴长为2，虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知，，焦距为.
故选D.
6. 已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】C
【解析】，
.
故选C.
7. 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一个白球；③两球中至少有一个白球.其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【答案】A
【解析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件。

但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件。

故选A.
8. 从自然数1，2，3，4四个数中任取2个不同的数，则这2个数的差的绝对值等于2的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取两个数的情况为：，
其中有2个差的绝对值等于2，故概率为.
故选B.
点睛：本题主要考查样本估计总体及古典概型概率公式，，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写
出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
9. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）
A. 53
B. 62
C. 63
D. 71
【答案】C
【解析】执行程序框图可得：.
故选C.
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要
正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
10. 若椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，若到的距离的最大值为5，最小值为3，则该椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，故，
所以椭圆方程为：.
故选A.
11. 某健身中心，根据顾客体重来分析顾客的健康状态，现将顾客的体重数据进行整理后分成5组，并绘制频率分布直方图（如图所示），根据一般标准，顾客体重超过属于偏胖，低于属于偏瘦.已知图中从左到右第一，第三，第四，第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则顾客总数和体重正常的频率分别为（）
A. 800，0.50
B. 1000，0.50
C. 800，0.60
D. 1000，0.60
【答案】D
【解析】第二组的频率为，顾客共有人，
体重正常的频率为：.
故选D.
12. 已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点
，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，即.
又.所以，代入双曲线，化简得，所以.
故选C.
点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 某住宅小区有居民2万人，分別为本地人和外来人，从中随机抽取200人，调査居民是否使用共享单车作为交通工具，调查的结果如表所示，则该小区居民交通工具为共享单车的人数为__________．
【答案】
【解析】由表格数据可得：人
14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．【答案】
【解析】由，解得或.
“”是“”的充分不必要条件，所以.
点睛：设对应的集合分别为，则有以下结论：
（1）若的充分条件，则；
（2）若的充分不必要条件，则；
（3）若的充要条件，则。

根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。

15. 某天下班后，车间主任统计了车间不含工人的40名工人平均每人生产了个零件，如果把当成工人生产的零件数，与原来40名工人每人生产的零件数一起，算出这41名工人平均每人生产了个零件，那么为__________．
【答案】
【解析】由得，
由得，
由得，可知.
所以.
16. 已知椭圆的左、右顶点分别为,点是椭圆上一点，直线的斜率分别为
，若，则__________．
【答案】
【解析】由题意知，设，则.
.
又，所以.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知条件，条件若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】试题分析：由是的必要不充分条件，可知的解集是解集的子集，求解不等式即
可...................
试题解析：
条件为：，.
条件为：得.
由是的必要充分条件，有，得：.
18. 关于某实验仪器的使用年限(年）和所支出的维修费用 (万元)有如图的统计资料:
使用年限
维修费用
由表中的数据显示，与之间存在线性相关关系.试求：
（1）对的线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
附：， (参考数据：)
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意首先结合公式求得，，然后利用求得的值，即可确定回归方程；
（2）利用回归方程的预测作用，将x=10代入回归直线方程即可求得使用年限为10年时的维修费用．
试题解析：
（1），.
，，
所以.
（2）当时，（万元）.
点睛：本题考查回归直线方程，考查回归分析的初步应用．确定回归直线方程是关键．根据所给的表格求出本组数据的样本中心点，结合样本中心点在线性回归直线上求得a值，从而得出回归直线方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，即可得到结论．
19. 设双曲线的方程为：.
（1）求的实轴长、虚轴长及焦距；
(2)若拋物线的焦点为双曲线的右顶点，且直线与拋物线交于
两点，若(为坐标原点)，求的值.
【答案】（1）,,；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用的实轴长，虚轴长，焦距即可得解；
（2）先求得的方程为，可设，利用，可得
，即可得解.
试题解析：
（1）∵，，
∴.
∴的实轴长，虚轴长，焦距.
（2）∵的右顶点为，∴，∴，的方程为.
当时，，∴可设，
∵∴，∵，∴.
20. 现代医学表明，步行可提高机体代谢率，饭前饭后步行还能防治糖尿病.某健康中心对该中心10位老人饭前饭后步行的公里数（单位：）统计如图：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分组如表：
（1）完成上面频率分布表；
（2）根据上表，在给定坐标系中画出频率分布直方图.
【答案】（1）由表见解析；（2）由图见解析.
【解析】试题分析：（1）统计每组数据的频数和频率，统计进表格即可；（2）横坐标为分组，纵坐标为频率比组距，画出直方图即可.
试题解析：
（1）频率分布表为：
（2）频率分布直方图为：
21. 某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应该在高三年级抽取多少名？
（3）已知，求高三年级中女生比男生多的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）用频率估计概率，可将概率是0.19看作是频率，求出高二女生的人数，可求出x值，
（2）再用全校的人数减去高一和高二的人数，得到高三的人数，全校要抽取48人，做出每个个体被抽到的概率，做出高三被抽到的人数．
（3）设出高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生，男生数记为（y，z），因为y+z=500，且y，z∈N，列举出基本事件空间包含的基本事件有共11个，事件A包含的基本事件数，得到结果．
试题解析：
（1）∵，∴.
（2）高三年级人数为：，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：人. （3）设高三年级女生比男生多的事件为，高三年级女生男生数记为，
由（2）且，基本事件空间包含的基本事件有：
共11个，
事件包含的基本事件有：，共5个，
∴.
22. 如图，椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为，若，
与轴垂直，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由轴，知，，又由得解得，再由解方程，求出，即可；
（2）设直线的方程为：，，与椭圆联立，线段的垂直平分线方程为：，，得，结合韦达定理得：，
结合的范围即可得解.
试题解析：
（1）设，由轴，知，，
又由得，∴，∴，
又，，
∴，∴椭圆方程为.
（2）设，直线的方程为：，
联立消去得恒成立，
.
设线段的垂直平分线方程为：
令，得，
由题意知，为线段的垂直平分线与轴的交点，所以且，
所以.
点睛：本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的标准方程、椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系的应用，同时考查了向量的数量积的运算，解答时要认真审题，注意韦达定理、向量知识和椭圆性质的合理应用，审题有一定的难度，属于中档试题.。