2025年初升高衔接数学强化训练-衔接点01-十字相乘法因式分解(含解析)

衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（原卷版）
【基础内容与方法】
二次三项式的概念
（1）多项式c bx ax ++2，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把看作一个整体，就是关于
的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式)
)(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652
++x x .例2：分解因式：672
+-x x .考点练习：分解因式
1.24142++x x
2.36152+-a a
3.542
-+x x 4.2524x x +- 5.22-+x x 6.1522
--y y 7.24102--x x 8.2422
-+x x
类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2)
)(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=如：二次项系数不为1的二次三项式c
bx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1
c （2）21c c
c =2a
2
c
（3）1221c a c a b +=1
221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=)
)((2211c x a c x a ++例3：分解因式10
1132+-x x 考点练习：分解因式
1.6752-+x x
2.2
732+-x x 3.317102+-x x 4.101162++-y y 5.y
xy x 121752-- 6.2
24715y xy x -+7.2
225
4341y xy x --8.a
x a x ++-)12(22
9.5)6(11)6(222++-+x x x x
类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合
例4：分解因式2622
34+---x x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式
1.673676234+--+x x x x
2.)(2122
234x x x x x +++++3.1442
34+++-x x x x （二）待定系数法
例5：如果82
3+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.例6：分解因式61362
2-++-+y x y xy x .考点练习：
1.选用适当的方法分解因式
（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）675232
2+++++y x y xy x .2.当m 为何值时，多项式652
2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.3．已知：p y x y xy x +-+--146322
2能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.
衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（解析版）
【基础内容与方法】
二次三项式的概念
（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2-7(ab)+3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x+y 看作一个整体，就是关于x+y 的二次三项式．
类型一：对于二次项系数为1的二次三项式)
)(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：6
52++x x 【答案】)
3)(2(++x x 【解析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.
解：652++x x =32)32(2
⨯+++x x =)
3)(2(++x x 例2：分解因式：6
72+-x x 【答案】)
6)(1(--x x
【解析】解：原式=)
6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x =)
6)(1(--x x 考点练习：分解因式
1.24142++x x
2.36152+-a a
3.5
42-+x x 解：原式=)2)(12(++x x 原式=)3)(12(--a a 原式=)
1)(5(-+x x 4.2524
x x +- 5.22-+x x 6.1522
--y y 原式=)3)(8(-+x x 原式=)1)(2(-+x x 原式=)3)(5(+-x y
7.24
102--x x 8.2422
-+x x 原式=)2)(12(+-x x 原式=)4)(6(-+x x 类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式
如：二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2.
条件：（1）21a a a =1a 1c ，
（2）21c c c =2a 2c ，
（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=.
分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++.
例3：分解因式101132+-x x .
分析：
解：101132+-x x =)53)(2(--x x .
考点练习：分解因式
1.6
752-+x x 2.2732+-x x 3.317102
+-x x 解：原式=)2)(35(+-x x 原式=)2)(13(--x x 原式=)32)(15(--x x 4.10
1162++-y y 5.2212175y xy x -- 6.224715y xy x -+原式=)52)(23(+-+x x 原式=)4)(35(y x y x -+原式=)
45)(3(y x y x +-7.2
2254341y xy x --8.a x a x ++-)12(22
原式=)2)(5(41y x y x +-原式=))(12(a x x --9.5
)6(11)6(22
2++-+x x x x 原式=)1)(56)(1212(2+--+x x x x 类型三：十字相乘法的进阶
（一）换元法与十字相乘法综合
例4：分解因式2
62234+---x x x x 解：原式=)2162(222x x x x x +---=[]61(1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t x
x
∴原式=[]6)2222
---t t x （
=()10222--t t x =()()
2522+-t t x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =(
)()1225222+++-x x x x =)
2)(12()1(2--+x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式
1.6
73676234+--+x x x x 解：原式=)673676(222x
x x x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+3617)1(6222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=)
2476(22--y y x =)32)(83(2
+-y y x =)322)(833(2+---x x x x x =()()
2
3238322-+--x x x x =()()3)(212)(13-+-+x x x x 2.)
(2122234x x x x x +++++解：原式=1232(222x x x x x ++
++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++3)1(2)1(222x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t x x ∴原式=[]
32)222++-t t x （=()1222
++t t x =()
221+t x =2211⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x x =()221
++x x 3.1
44234+++-x x x x 解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+1141222x x x x x
设y x x =-
1，则21222+=+y x x ∴原式=22(43)x y y -+=2
(1)(3)x y y --=)31)(11(2----x x x x x =()()
13122----x x x x （二）待定系数法
例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.
【答案】解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++，
则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(2
3+++++.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧===4147c b a ，
∴b a +=21.
【解析】823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.
例6：分解因式61362
2-++-+y x y xy x .【答案】解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，
∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .
【解析】原式的前3项2
26y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++.
考点练习：
1.选用适当的方法分解因式
（1）2910322-++--y x y xy x ；
（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)
12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 2.当m 为何值时，多项式652
2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.【答案】解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++，
∵))((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y x +-+++-)()(2
2，
∴6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22，
对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=123m b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧==-=132m b a .
∴当m =-1时，)2)(3(65652222+--+=-+--=-++-y x y x y x y x y mx y x ；
当m =1时，)3)(2(65652
222+--+=-++-=-++-y x y x y x y x y mx y x .
【解析】原式的前2项22y x -可以分为))((y x y x -+，则原多项式必定可分为))((b y x a y x +-++.
3．已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.
【答案】解：设p y x y xy x +-+--1463222=)3)((b y x a y x +-++，∵)3)((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y xy x +-+++--)3()(3222，∴p y x y xy x +-+--1463222=ab y a b x b a y x +-+++-)3()(22，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+p ab a b b a 1436，解得⎪⎩
⎪⎨⎧===515p b a .
∴当p =5时，=+-+--p y x y xy x 1463222)13)(5(+-++y x y x .
【解析】原式的前3项2232y xy x --可以分为)3)((y x y x -+，则原多项式必定可分为)13)(5(+-++y x y x .。