浑南区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

浑南区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）
A． B． C． D．
2．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
3．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
4．“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（）
A．充分非必要条件B．充分必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
5． 双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线与双曲线的右支交于
A B 、两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（ ）
A ．1+
B ．4-
C ．5-
D ．3+
6． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z
=2（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
7． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
8． 已知a=21.2，b=（﹣）﹣0.8，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 9． 下列推断错误的是（ ）
A ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1则x 2﹣3x+2≠0”
B ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2+x+1≥0
C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题
D ．“x ＜1”是“x 2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
10．抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）
A ．y=1
B ．y=
C ．x=1
D ．x=
11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．1:
D (1 12．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）
二、填空题
13．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 . 14．给出下列四个命题：
①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π； ②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0． 其中正确命题的序号是 ．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
16．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
17．8
1()x x
的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）
【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
18．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．
三、解答题
19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．
（1）求证：AC ⊥BC 1； （ 2）求证：AC 1∥平面CDB 1．
20．已知集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．
（1）求C R（A∩B）；
（2）若C={x|x≤a}，且A C，求实数a的取值范围．
21．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
23．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
24．已知函数f（x）=a﹣，
（1）若a=1，求f（0）的值；
（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f（x）为奇函数，判断|f（ax）|与f（2）的大小．
浑南区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B 2． 【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为．
故选B ．
3． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C.
4． 【答案】A
【解析】解：由x 2
+x+m=0知，
⇔
．
（或由△≥0得1﹣4m ≥0，∴
．）
，
反之“一元二次方程x 2
+x+m=0有实数解”必有
，未必有
，
因此“”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．
故选A ．
【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：设
1A F A B m
==，则12
,
2,
22B F m A F m B F m a
==--，因为
22AB AF BF m =+=，所以22m a a m --=，解得4a =
，所以212AF m ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭，在直角
三角形12AF F 中，由勾股定理得22542c m ⎛= ⎝，因为4a =，所以22
5482c a ⎛=⨯ ⎝，所以
25e =-考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方程，从而求出离心率的平方] 6． 【答案】B
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），则=a ﹣bi ，
由z
=2（+i ），得（a+bi ）（a ﹣bi ）=2[a+（b ﹣1）i]，
整理得a 2+b 2
=2a+2（b ﹣1）i ．
则
，解得．
所以z=1+i ． 故选B ．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
7．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．8．【答案】A
【解析】解：∵b=（﹣）﹣0.8=20.8＜21.2=a，且b＞1，
又c=2log52=log54＜1，
∴c＜b＜a．
故选：A．
9．【答案】C
【解析】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；
对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；
对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；
对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．
综上所述，错误的选项为：C，
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y2即为
y2=﹣x，
可得准线方程为x=．
故选：D．
11．【答案】D
【解析】
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.
12．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 14．【答案】 ①③④ ．
【解析】解：①∵
，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x 2﹣4x ﹣5=0，但当x 2﹣4x ﹣5=0时，不能推出x 一定等于5，故“x=5”是“x 2﹣4x ﹣5=0”成立
的充分不必要条件，故②错误；
③易知命题p 为真，因为＞0，故命题q 为真，所以p ∧（￢q ）为假命题，故③正
确；
④∵f ′（x ）=3x 2﹣6x ，∴f ′（1）=﹣3，∴在点（1，f （1））的切线方程为y ﹣（﹣1）=﹣3（x ﹣1），即3x+y ﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④． 故答案为①③④．
15．【答案】=
．
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2
B ．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2
，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．
C=，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ， 由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2
+ab ．
化简可得 5ab=3b 2
，∴ =．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++. 17．【答案】70
【解析】81
()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r r r r r
r T C x C x x
--+=-=-，所以当4r =时，常数项为
448(1)70C -=.
18．【答案】 2 ．
【解析】解：∵复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），
∴z=
，∴|z|=
=
=2，
故答案为：2． 【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的
模，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴CC 1⊥AC …
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB 2=AC 2+BC 2
，∴AC ⊥CB …
又C 1C ∩CB=C ，
∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ，
∴AC ⊥BC 1…
（2）设CB 1∩BC 1=E ，∵C 1CBB 1为平行四边形，
∴E 为C 1B 的中点…
又D 为AB 中点，∴AC 1∥DE … DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，
∴AC 1∥平面CDB 1…
【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．
那么：A∩B={x|6≥x≥3}．
∴C R（A∩B）={x|x＜3或x＞6}．
（2）C={x|x≤a}，
∵A C，
∴a≥6
∴故得实数a的取值范围是[6，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
21．【答案】
【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…
22．【答案】
【解析】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴，，．
设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．
则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．
===．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，
∴=，=（0，3，﹣4），
∵，∴，
∴，解得t=．
∴．
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），∴log a4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴．…
（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x），
∴，
即，解得1＜x＜3，
所以x的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．24．【答案】
【解析】解：（1）a=1时：f（0）=1﹣=；
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=．
∵y=2x在R是单调递增且x1＜x2
∴0＜2x1＜2x2，∴2x1﹣2x2＜0，
2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣a+，
解得：a=1．
∴f（ax）=f（x）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＞2或x＜﹣2时：|f（x）|＞f（2），
x=±2时：|f（x）|=f（2），
﹣2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．
【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．。